《图的基本概念lly》课件

图的基本概念图是一种数据结构，它由节点和边组成。节点表示对象，边表示对象之间的关系。图的定义数据结构图是一种由节点（顶点）和连接节点的边组成的复杂数据结构，用于表示实体之间的关系。图形表示图可以用节点和边来直观地表示，节点表示对象，边表示对象之间的关系或连接。应用广泛图在计算机科学、社会网络、地理信息系统、交通规划、物流管理等领域有着广泛的应用。图的基本组成元素顶点图中的基本元素，可以表示城市、人、物品等。边连接两个顶点的元素，可以表示城市之间的道路、人之间的关系、物品之间的联系等。图的分类按边的方向分类无向图：边没有方向有向图：边有方向按边的条数分类简单图：每对顶点之间最多只有一条边多重图：每对顶点之间可以有多条边按顶点连接情况分类完全图：每对顶点之间都有一条边稀疏图：顶点之间连接较少无向图和有向图无向图无向图中的边没有方向，表示两个顶点之间的关系是双向的。有向图有向图中的边有方向，表示两个顶点之间的关系是单向的。简单图和多重图1简单图简单图中，两个顶点之间最多只有一条边，并且没有自环。2多重图多重图中，两个顶点之间可以有多条边，并且允许存在自环。完全图和稀疏图1完全图完全图是指任意两个顶点之间都有一条边的图。例如，一个有4个顶点的完全图，共有6条边。2稀疏图与完全图相反，稀疏图是指边数很少的图，边数远小于顶点数的平方。3应用完全图通常用来建模所有节点相互连接的网络，而稀疏图常用于表示社交网络或地理位置关系。邻接矩阵表示图1定义用一个二维数组存储图中顶点之间的关系。2元素数组中每个元素表示两个顶点之间是否存在边，若存在则为1，否则为0。3优点简单直观，易于实现。4缺点空间复杂度高，对于稀疏图浪费空间。邻接矩阵是表示图的一种常用方法，它可以直观地展示图中顶点之间的连接关系。对于稠密图，邻接矩阵是一种比较高效的表示方法。但对于稀疏图，邻接矩阵会浪费大量的空间。邻接表表示图1邻接表每个节点指向一个列表，列表包含与该节点直接相连的节点2空间效率比邻接矩阵更节省空间，特别是对于稀疏图3图遍历适用于图的遍历算法，例如深度优先搜索和广度优先搜索邻接表是一种常用的图存储结构，适用于各种图算法的实现。图的度和连通性节点度数图中每个节点的度数表示与该节点相连的边的数量。连通性连通性是指图中节点之间的连接程度，是图的重要性质之一。桥和割点桥是图中的一条边，如果删除它会导致图不连通，而割点是图中一个节点，如果删除它会导致图不连通。连通图与非连通图连通图图中的任何两个顶点之间都存在路径。简单来说，图中所有顶点都相互连接。非连通图图中至少存在两个顶点之间没有路径。这意味着图中存在至少两个独立的子图。连通性连通性是指图中顶点之间是否相互连接。连通图具有高连通性，而非连通图则具有较低的连通性。子图与诱导子图子图图G的子图是包含G的所有顶点和边的部分。子图可以是G中的一部分，也可以是G本身。诱导子图诱导子图由G中选取的顶点集V’及其所有边组成的子图。包含V’中所有顶点对之间的边，即使这些边在原始图G中不存在。路径和路径长度路径图中由一系列顶点和连接这些顶点的边所组成的序列，称为路径。路径可以是简单路径或回路，取决于路径中顶点的重复情况。路径长度路径长度是指路径中边的数量。路径长度可以用来衡量两个顶点之间的距离，也是图中一些算法的重要参数。简单路径和回路简单路径一条路径中没有重复的顶点，除了起点和终点可能相同。回路起点和终点相同的路径，且路径中至少包含一个顶点。简单回路除了起点和终点外，其他顶点都不重复。连通图的性质路径连通图中任意两个顶点之间都至少有一条路径。回路连通图中存在回路，即从一个顶点出发，经过若干条边，最后回到出发点。连通性连通图的连通性强，每个顶点都能与其他顶点直接或间接相连。连通分量非连通图中的子图连通分量是一个无向图中的最大连通子图，其中任意两个顶点之间都存在路径连接。图的连通性每个连通分量都是彼此分离的，图中可能存在多个连通分量。应用场景连通分量在网络分析、社交网络研究和数据挖掘等领域都有着广泛的应用。桥和割点桥桥是指图中的一条边，如果删除这条边会使图的连通性降低。桥的移除会导致图的连通分量增加，这在网络的可靠性方面至关重要。割点割点是指图中的一个顶点，如果删除这个顶点会使图的连通性降低。割点的移除会导致图的连通分量增加，这在网络的稳定性方面至关重要。图的遍历图的遍历图的遍历是指从图中某一点出发，按照一定的规则访问图中所有顶点，并且每个顶点只访问一次的过程。深度优先搜索深度优先搜索（Depth-FirstSearch，DFS）是一种常见的图遍历算法，它从起点出发，沿着一条路径一直走到尽头，然后回溯到上一个节点，再选择另一条路径继续探索，直到所有节点都被访问过。广度优先搜索广度优先搜索（Breadth-FirstSearch，BFS）是一种基于层级思想的遍历算法，它从起点出发，逐层访问与起点相邻的节点，再访问这些节点的相邻节点，直到所有节点都被访问过。深度优先搜索(DFS)1算法原理深度优先搜索是一种图遍历算法，它从图中一个顶点开始，沿着一条路径一直走到底，再回溯到上一个顶点，继续探索其他路径，直到所有顶点都被访问过。2实现步骤DFS算法使用递归或栈来实现。首先，将起始顶点标记为已访问，然后依次访问与该顶点相邻的未被访问的顶点，并将这些顶点加入栈中。当栈为空时，算法结束。3应用场景深度优先搜索广泛应用于各种图论问题，例如寻找图中的所有连通分量、判断图中是否存在环路、寻找图中的最短路径等。广度优先搜索(BFS)1步骤1：初始化将起点加入队列，并将起点标记为已访问。2步骤2：遍历队列从队列中取出当前节点，访问其未访问的邻居节点。3步骤3：更新队列将所有邻居节点加入队列，并标记为已访问。4步骤4：重复步骤2-3直到队列为空，遍历结束。广度优先搜索是一种图遍历算法，以层级的方式探索图的节点。它从起点开始，一层一层地访问节点，直到到达所有节点。广度优先搜索常用于寻找最短路径或判断图的连通性。最短路径问题寻找最短路线在道路网络中，寻找两个指定点之间最短路径是实际生活中常见的问题。交通网络优化地铁线路图提供城市地铁网络的连接信息，可应用最短路径算法规划最优出行路线。数据传输效率在计算机网络中，最短路径算法用于优化数据传输路径，减少传输延迟。最小生成树1定义最小生成树是指连接图中所有顶点，且边权总和最小的树。2应用广泛应用于网络优化、电路设计和交通规划等领域。3算法常用的算法包括Kruskal算法和Prim算法。4优缺点优点在于能够有效地解决连接所有节点的最小成本问题，但对于大型图的计算效率可能较低。Kruskal算法初始化首先，创建一个空集合，用于存储最小生成树的边。排序对图中所有边进行排序，按照权重从小到大排序。遍历依次遍历排序后的边，如果边的两个端点不在同一个集合中，则将该边加入到最小生成树的集合中，并将两个端点所在的集合合并。重复重复步骤3，直到最小生成树的集合中包含n-1条边为止。Prim算法1初始化选择一个顶点作为起点，并将它加入到生成树中。2循环从生成树中所有与非生成树顶点相连的边中选择权值最小的边，并将这条边连接的顶点加入到生成树中。3重复重复步骤2，直到所有顶点都加入到生成树中。Prim算法是一种贪心算法，每次选择权值最小的边，直到所有顶点都被加入到生成树中。拓扑排序1定义拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的方法。排序后的结果满足：如果图中存在一条从顶点A到顶点B的路径，则在排序结果中，A必须排在B之前。2应用拓扑排序广泛应用于任务调度、项目管理、编译器优化等领域。它可以用来确定任务执行的顺序，避免出现循环依赖的问题。3算法拓扑排序算法通常使用深度优先搜索（DFS）实现。DFS的过程中，将每个顶点访问一次，并将其加入到排序结果中。结果是按照顶点访问顺序排列的。关键路径项目进度关键路径是指项目中决定项目总完成时间的最长路径。关键活动关键路径上的活动是影响项目进度的重要因素，一旦延误将导致项目整体延期。时间优化通过识别关键路径可以有效地管理项目时间，优化资源分配和进度安排。网络流问题流量守恒网络流问题中，每条边都具有容量限制，表示每条边能够传递的最大流量。流量平衡在源点流入的流量等于汇点流出的流量，这是网络流问题的基本性质。最大流问题求解网络中能够从源点到汇点传递的最大流量，这是一个经典的网络流问题。最小割问题寻找网络中能够使源点和汇点分离的最小容量边集，与最大流问题有着密切的关系。最大流算法核心目标最大流算法旨在寻找网络中从源点到汇点的最大流量。它是一种用于优化网络流问题的关键算法。应用领域最大流算法广泛应用于各种场景，例如交通网络、供应链管理和网络流量控制等。它可以帮助优化资源分配和网络效率。图的应用领域图在各个领域都有广泛的应用，例如：计算