数学一单元测试：第三章基本初等函数（Ⅰ）（B卷）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精测试六第三章基本初等函数（Ⅰ)(B卷)【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答。共120分，考试时间100分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分)1。设n=，则n的值属于下列区间中的A。（—2，—1）B。（1，2)C。（—3,-2）D.（2，3）答案:D解析：n==log310.∵log39<log310<log327，∴n∈(2，3).2。已知集合A=｛y｜y=log2x，x>1},B=｛y|y=（)x，x〉1}，则A∩B等于A。｛y|0<y〈｝B。{y|0<y<1}C。｛y｜<y<1}D.答案：A解析：A={y|y>0},B={y|0<y〈},∴A∩B={y|0<y<}。3.已知0〈a<1，则方程a|x｜=｜logax｜的实根个数是A.1B。2C。3答案：B解析：函数y=a｜x|是偶函数，其图象关于y轴对称；函数|logax｜的图象是保留x轴的上半平面部分及与x轴的交点,而把x轴下半平面的部分沿x轴翻折而得到的.作出两个函数的图象,可知交点的个数是2，即方程有两个实根。4.设f（x)=则f［f(2）］的值为A。0B.1C。2答案：C解析：f(2）=log3（22—1)=1，f［f（2)］=f（1)=2e1—1=2.5.方程x-1=lgx必有一个根的区间是A.(0。1,0。2）B.（0.2，0.3）C。（0.3，0。4）D.（0。4,0.5）答案：A解析：可采用直接代入法求解。设f(x)=lgx—x+1。∵f（0。1)=lg0。1—0。1+1=—0.1<0,f(0。2）=lg0.2-0。2+1=lg0.2+0。8〉0,∴函数y=f(x)在（0。1,0。2)内必有一根。6.（探究题）下列函数的图象无论经过平移或沿某直线翻折都不能与y=的图象重合的有①y=2-x②y=2log4x③y=log2(x+1）④y=·4xA。0个B。1个C。2个D。3个答案：B解析:先化简函数表达式：①y=;②y=;③y=（x+1）;④y=.然后对比即可。原函数和①关于y=x对称;和②关于y轴对称;③是将②向左平移一个单位.7.函数y=e|-lnx｜-｜x-1｜的图象大致是答案：D解析：y=e|-lnx|—｜x-1|=8.已知f(x）=是（-∞，+∞）上的减函数,那么a的取值范围是A。（0，1）B.（0，）C.［）D。［，1）答案:C解析：依题意，有0〈a〈1且3a—1<0,解得0〈a〈.又当x〈1时，（3a-1）x+4a〉7a—1，当x≥1时，logax≤0,所以7a-1≥0。解得a≥.综上可知≤a<.9。(创新题）如图，函数y=f(x）的反函数y=f—1（x）的图象与y轴的交点为P（0，2），则方程f(x)=0在[1，4］上的根为A。x=4B.x=3C。x=2答案：C解析：∵y=f-1(x）的图象过（0，2）点，∴f-1（0)=2。∴f（2)=0，即方程f(x)=0在［1，4］上的根为x=2.10。定义在R上的奇函数f（x）满足：当x〉0，f（x）=2006x+log2006x，则在R上的方程f(x)=0的零点个数为A.1B.2C.3答案：C解析：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0.∵x>0时f（x）是增函数，且x趋于0时f（x）〈0,∴函数f(x）在（0，+∞）上有一个零点。又∵其图象关于原点对称，∴在（—∞,0）上也有一个零点.第Ⅱ卷（非选择题共80分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案需填在题中横线上）11。计算：=________________。答案：解析：原式==0.4—1-1+（-2)=。12.函数y=log3(9—x2)的定义域为A，值域为B，则A∩B=________________。答案：｛x｜—3<x≤2｝解析：由9—x2>0，得x2<9，∴—3<x<3，即A=｛x｜—3〈x<3｝.∵x2≥0,-x2≤0，0〈9-x2≤9，∴log3（9-x2）≤2，即B=｛y｜y≤2｝.∴A∩B={x|-3〈x≤2}.13.函数f(x)=ax+loga(x+1）在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值为________________。答案:解析：由题意，得a1+loga(1+1）+a0+loga（0+1)=a，即a+loga2+1=a。∴loga2=—1。∴a=.14。设0≤x≤2，则函数y=—3·2x+5的最大值是________________，最小值是______________.答案:解析：y=-3·2x+5=—3·2x+5.令t=2x,1≤t≤4,则y=,1≤t≤4.作出函数的图象，观察可知：当t=3时，ymin=×32—3×3+5=；当t=1时，ymax=×1—3×1+5=。三、解答题(本大题共6小题，共64分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤)15.(本小题满分10分）求满足logxy=1的x与y的关系式，并画出图象。解:因为logxy=1=logxx，所以y=x。又y〉0,x〉0且x≠1,从而x与y的关系式为y=x(x>0且x≠1),其图象如图所示:16。（本小题满分10分）设3x=4y=6z=t>1，求证:。证明:∵3x=4y=6z=t>1,∴x=,y=，z=.∴。17.（本小题满分10分)求函数y=(3+2x—x2）的单调区间和值域。解：由3+2x-x2>0，解得函数y=（3+2x-x2）的定义域是-1<x〈3.设u=3+2x-x2（-1〈x〈3）,又设-1<x1〈x2≤1，则u1〈u2，从而u1>u2，即y1〉y2，故函数y=(3+2x-x2)在区间(-1，1]上单调递减；同理可得，函数在区间（1，3）上单调递增.函数u=3+2x—x2(-1<x<3)的值域是(0,4］，故函数y=(3+2x—x2)的值域是y≥4,即y≥—2.18。(本小题满分10分）已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的一元二次方程x2—2x+lg(c2—b2)-2lga+1=0有相等实根，试判断△ABC的形状。解：由Δ=22-4［lg（c2-b2)—2lga+1］=0,得lg（c2-b2)=lga2，∴c2-b2=a2,即a2+b2=c2。∴△ABC为直角三角形。19。(本小题满分12分）已知函数f(x）=.（1）求f（x）的定义域；（2）判断并证明f(x）的奇偶性；（3）在(0,1）内，求使关系式f（x)>f(）成立的实数x的取值范围.解：(1)函数f(x)有意义，需解得-1〈x<1且x≠0.∴函数定义域为{x|-1〈x<0或0<x<1}.（2)函数f(x）为奇函数。∵f（—x)===—f（x）,又由（1）已知f（x)的定义域关于原点对称,∴f（x）为奇函数。（3)设0〈x1<x2<1，∵，又x1x2>0，x2—x1>0,∴>0。①又，∵1-x1〉0,1-x2>0,x1—x2<0,∴0〈。∴。②由①②,得f(x1)—f(x2）=>0，∴f(x）在（0，1）内为减函数.又f（x)>f（)，∴0〈x<为所求。20.（本小题12分）科学研究表明，宇宙射线大气中能够产生放射性碳14,碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟".动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期"为5730年.(1）设生物体死亡时，体内每克组织的碳14含量为1，试推算生物死亡t年后体内每克组织中的碳14含量P；（2）湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆汉墓的年代.解:（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减,所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：死亡年数123…t…碳14含量Pxx2x3…xt…因此，生物死亡t年后体