数学一本章整合学案第三章基本初等函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识建构综合应用专题1重根号的化简在初中学习二次根式时经常碰到形如根式的化简,在以后学习解斜三角形还将碰到这种类型的化简，可能有不少的同学不能正确地找到化简的方向，这将为以后的学习带来不小的困难。那就让我们在这共同努力，真正地掌握这类问题的解决方法，为以后的学习打下良好的基础.形如的根式都能化为的形式，如果能化简,则能够表示为a±b(a,b∈Q）的形式。【例题1】化简:。分析:需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质.解:=====2。绿色通道形如的化简关键是在最里的根号前变形出一个2,化为形式后找到两个合适的有理数a、b，使a+b=M,a·b=N,从而通过配方得到完全平方式。【例题2】化简：.分析:本题中虽然是两个二重根式的加法，实际是一个二重根式的化简，可以采用配方法、换元法等方法.解法一:原式＝====.解法二:设=x（x≥0),两边平方，得.整理得x2=14。∴x=或x=（舍去）.故.绿色通道形如的双重根号的化简主要用的是配方法,但针对问题的不同特点也可采用不同的方法，对同一个问题如果能尽量的一题多解将使思路开阔，起到练习一道题掌握一类问题的效果。专题2函数图象的平移、对称变换图象变换题因其集数形结合的数学思想、运动变化的观点于一体，又考查了函数图象的画法和相关函数的性质，对于知识的内化、数学能力的提升均起到促进的作用，故在教材乃至高考试题中均占有重要的一席之地,不容小视。下面总结一些常见的图象变换规律,供同学们参考。1。图象的平移变换：(1)水平平移：函数y=f(x±a)(a>0)的图象，可由y=f（x）的图象向左（+）或向右(-)平移a个单位而得到.如:将对数函数y=log2x的图象向左平移2个单位，便得到函数y=log2（x+2)的图象。（2）竖直平移:函数y=f(x)±b（b〉0）的图象，可由y=f（x)的图象向上（+）或向下（-）平移b个单位而得到.如:将指数函数y=x3的图象向下平移1个单位，便得到函数y=x3-1的图象.2。图象的对称变换：（1）y=f(-x）与y=f(x）关于y轴对称。(2）y=—f(x）与y=f(x)关于x轴对称。(3）y=—f（-x)与y=f(x)关于原点轴对称。(4)y=f—1(x）与y=f（x）关于直线y=x中心对称.如：对数函数y=log2x的图象与指数函数y=2x的图象关于直线y=x轴对称.（5）y=f(｜x|）的图象可将y=f（x)（x≥0)的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出x〈0的图象.如：先画出y=logx的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图形C2,C1和C2构成函数y=log｜x|的图象。（6）y=|f（x）｜的图象可保留y=f（x)(y≥0)的部分，再将y=f(x）(y<0)的部分沿着x轴从下方对称地翻折到上方。【例题1】求作函数y=log4（x2—2x+1）的图象。分析:先要找出这个函数所对应的基本初等函数，即y=log4x，然后再利用变换向目标靠拢。解：先对函数解析式进行化简,可得y=log2|x-1｜。可直接利用描点法作出y=log2x的图象，而后作其关于y轴的对称变换得到y=log2｜x|，再把其向右平移一个单位。过程如下:图3—1-黑色陷阱有时在作图前需要对解析式进行等价变形.如本题，如果不变形，则很难找到变换的路径。另外变换的过程中还要注意等价性，如本题就容易误写成y=log4（x—1）.【例题2】已知函数f（x)=.(1)试问f(x）图象可由y=图象经过怎样的变换得到？并作出图象.（2)指出f(x)的单调区间.分析：这里其实是函数的图象变换问题,可先从解析式的变换出发,再作图。图3—2—解:（1）y=y=1+y-1=，所以f（x)可由y=先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到。（2）y=的单调减区间是(—∞,0)和（0，+∞)，由（1）知f（x)的单调减区间为(-∞，—1)和(—1,+∞).绿色通道找出f(x)=的原形函数,是解决这个问题的关键，此外这里还利用了伸缩变换。【例题3】（1)画出函数y=log2（x+2）与y=log2(x-2）的图象，并指出两个图象之间的关系；(2)画出函数y=log2|x｜的图象，并根据图象指出它的单调区间.分析:画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,可利用y=log2x的图象进行变换。解：(1)函数y=log2x的图象如果向右平移2个单位就得到y=log2(x—2）的图象；如果向左平移2个单位就得到y=log2（x+2)的图象，∴把y=log2（x+2）的图象向右平移4个单位得到y=log2(x-2)的图象(如图3-3）。图3-3（2）当x≠0时，函数y=log2|x｜满足f（-x）=log2｜—x|=log2｜x|=f(x）,所以y=log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称。当x〉0时,y=log2x.因此先画出y=log2x（x〉0）的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的C2,C1与C2构成函数y=log2|x|的图象，如图3-4。图3—4由图象可以知道函数y=log2|x｜的单调减区间是(-∞，0），单调增区间是（0,+∞）.绿色通道图象法是求函数单调性的一种重要方法，如果函数图象易画或可以用图象变换的方法得到,则此类函数的单调区间和值域、最值等问题用图象法处理较方便。专题3抽象函数抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查对于一般和特殊关系的认识。可以说，这一类问题，是考查能力的较好途径，因此,在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势.常见的抽象函数的原型：f(x1·x2）=f（x1）+f（x2）对数函数，形如：y=logaxf（x1+x2）=f（x1)·f（x2)指数函数，形如：y=axf(x1+x2）=f(x1）+f(x2）正比例函数，形如：y=kx（k≠0）f（x1·x2）=f(x1）·f(x2)幂函数，形如：y=x2等【例题1】设函数f(x）（x∈R）为奇函数，f(1）=，f（x+2）=f（x）+f(2)，则f(5)等于（）A。0B.1C。解析：可以寻找出f(x）的原形函数f(x）=，也可以利用对应法则来求.∵f（x+2)=f（x)+f(2）,而f(5）=f（3+2)，∴f(5)=f(2）+f（3)=2f（2）+f(1），下面再求f（2)。又∵f（1）=f（—1+2），∴f（1)=f(-1）+f(2）f(2)=1。故f（5）=。答案：C绿色通道这是一个抽象函数求值问题，题设中没有给出f(x）的表达式，解决这类问题一定要抓住函数的对应关系，在本题中两次利用了f(x+2）=f（x）+f(2）这个对应关系.【例题2】函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件:①对任意的x∈R，有f(x)〉0；②对任意的x、y∈R，有f(xy）=[f（x）］y;③f（)>1。(1）求f（0）的值；(2）求证:f(x）在R上是单调函数；（3）若a>b〉c>0,且b2=ac，求证：f（a）+f（c)>2f（b).分析:（1）用赋值法；（2)只需要底数大于1即可;（3）可用均值不等式解决.(1）解：因为对任意的x、y∈R，有f（xy)=［f（x）］y，令x=1，y=x,则有f（x×1）=［f（1）］x，所以当x=0时，f（0)=［f(1)]0=1。(2）证明：因为f（)>1，所以f(1)=f(3×）=［f()］3〉1，所以f(x)=[f（1）］x是R上的单调增函数，即f（x）是R上的单调函数.（3）证明:f(a）+f（c)=［f(1)]a+［f(1)］c>2,而a+c