数学学案第二讲一曲线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即（*）.并且对于t的每一个允许值,由方程组（＊）所确定的点M(x,y）都在这条曲线上，那么方程组(＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x、y的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程.在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x，y之间满足的等量关系F（x，y)＝0，这样得到的方程F(x，y）＝0就是曲线的普通方程;而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x,y间接地联系起来，此时可得到方程组即点P的运动通过变量t的变化进行描述.若对t的每一个值，由方程组确定的点（x，y）都在曲线C上;反之,对于曲线C上的每一个点（x，y)，其中x,y都是t的函数，则把方程组叫做曲线C的参数方程，其中的t称为参数。在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.疑点突破参数的选取应根据具体条件来考虑。但有时出于题目需要,也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少。一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x、y的相互关系比较明显,容易列出方程.深化升华参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法,因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量。二、圆的参数方程1.圆心在原点、半径为r的圆的参数方程：（θ为参数)。2。圆心为O1(a，b）,半径为r的圆的参数方程：(θ为参数）。参数θ的几何意义是:以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角（其中O为坐标原点,P为圆上一动点).圆的参数方程还可以表示为x=（θ为参数).方法归纳有时从参数方程看不出它是否表示圆，可通过消去参数转化为普通方程判断其是否表示圆。三、参数方程和普通方程的互化1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。2。化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t,先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ（t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0,求得另一关系y=φ(t）〔或x=f(t）〕。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。误区警示在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.四、参数方程与普通方程的区别与联系最明显的区别是其方程形式上的区别；更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系.曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来对于曲线上任意一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值。尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但它们之间又有着密切的联系,这种联系表现在两方面:（1)这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式,是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程,而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程.需要注意的是,在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程(在表示同一曲线时)的等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响.联想发散需注意的是，不是所有的参数方程都可以化为普通方程,有些虽然可以化为普通方程，但是普通方程非常复杂，不便于对其性质的研究，如圆的渐开线和摆线的参数方程,一般都是研究其参数方程.问题·探究问题1曲线的参数方程和普通方程既有各自的优点也有各自的缺点.为了利用各自的优点，有时候需要把参数方程转化为普通方程，有时候需要把普通方程转化为参数方程.那么，如何把一个参数方程化为普通方程，把一个普通方程化为参数方程呢?在普通方程与参数方程互化的过程中，又需要注意哪些问题呢？探究：把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法;把普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，是消参的逆过程，即选定合适的参数t,先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕,再代入普通方程F(x,y)＝0，求得另一关系y=φ(t）〔或x=f(t）〕。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标）。在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，如（t为参数），通过消参数得到方程y2=—（x-1)，而事实上由x=cos2t可知0≤x≤1，而由y2=—(x-1）可知其中x≤1,显然两个范围不同，即两个方程所表示的曲线就不是同一条曲线,可以说y2=-(x-1)就不是的普通方程.故在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性,即它们二者要表示同一曲线。问题2圆是我们最常见的曲线，利用圆的参数方程可以解决许多与圆有关的问题。那么,你能推导出圆的参数方程吗？其形式是否唯一呢？参数的意思是什么？探究：利用换元即可得到相应圆的参数方程。例如：圆(x-a)2+（y-b)2=r2（r〉0）,可以先将该方程化为(=1,然后令（其中θ为参数）.于是就得到该圆的参数方程为(其中θ为参数）.由此可见，对于圆的参数方程来说，也有多种不同的表现形式,有些参数方程有时也许一下子看不出是否表示圆,这时可考虑通过消去参数转化为普通方程从而达到目的(对于其他曲线必要时也可类似考虑)。这里参数θ的几何意义是:以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角（O为坐标原点，P为圆上一动点）。典题·热题例1已知某条曲线C的参数方程为（其中t是参数，a∈R），点M(5,4）在该曲线上.(1)求常数a;（2)求曲线C的普通方程.思路分析:根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上.由点M的坐标适合曲线C的方程,从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程。解：(1）由题意可知有∴a=1.(2）由已知及（1）,可得曲线C的方程为.由第一个方程，得t=。代入第二个方程,得y=(）2,∴（x—1)2=4y为所求.深化升华把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法等，在消参过程中一定要注意其等价性。例2已知圆x2+y2=1,点A(1，0)，△ABC内接于该圆,且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，求BC的中点的轨迹方程.思路分析：本题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决相关问题的题目，涉及到多个点的坐标。解：如图2—1—1所示,M为BC的中点，由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍)。在△BOC中，OB=OC=1，所以OM=.所以点M的轨迹方程为x2+y2=。图2-1—1图2—1-2又因为x≥时，如图2-1-2.虽然∠BOC=120°，但∠BAC=(360°—120°）=120°≠60°,所以点M的轨迹方程为x2+y2=（x〈)，如图2-1—2.误区警示本题主要容易忽视隐含的范围x〈，忽视了这个范围则本题的解答就不严谨，并且很多资料上的答案也都没有这个范围，像这样的求轨迹的问题一定要注意这一点.例3已知实数x、y满足(x-1）2+(y—2）2=25,求x2+y2的最大值与最小值.思路分析：这样的题目可考虑数形结合，把满足(x—1）2+（y—2)2=25的x、y视为圆(x—1）2+（y—2)2=25上的动点，待求的x2+y2可视为该圆的点与原点之间的距离的平方，结合图形易知结果或考虑利用圆的参数方程来求解。解：实数x、y满足（x—1)2+（y-2）2=25视为圆（x-1）2+(y-2)2=25上的点，于是可利用圆的参数方程来求解，设代入x2+y2=（1+5cosθ)2+（2+5sinθ）2=30+（10cosθ+20sinθ)=30+105cos(θ+α）,从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为30+105，30—105.深化升华本题中出现了圆的方程，像这样的问题，题目本身是以代数题的形式出现,而实际上在考虑相关问题时常常应该和图形联系起来，这样对于问题的解决常能事半功倍。例4圆M的方程为x2+y2—4Rxcosα—4Rysinα+3R2=0(R〉0）.（1）求该圆圆心M的坐标以及圆M的半径；(2）当R固定,α变化时,求圆心M的轨迹,并证明此时不论α取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆.思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟哪个是真正在变，而像这样的具体题目尤其容易犯