数学学案第二讲二圆锥曲线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、椭圆的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：（1)椭圆=1(a〉b>0）的参数方程是（θ为参数，且0≤θ〈2π）。(2）椭圆=1(b〉a>0)的参数方程是（θ为参数，且0≤θ〈2π）.以（x0,y0）为中心，半长轴为a，半短轴为b，焦点连线平行于x轴的椭圆的参数方程是（θ是参数）。方法点拨在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acosθ,bsinθ)。二、双曲线的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：(1）双曲线=1的参数方程为（φ为参数)；（2)双曲线=1的参数方程为（φ为参数）.以（x0，y0）为中心，半实轴为a,半虚轴为b,焦点连线平行于x轴的双曲线的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π，θ≠，）.方法点拨在利用研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asecφ,btanφ).三、抛物线的参数方程顶点在坐标原点的抛物线参数方程：抛物线y2=2px（p>0)的参数方程：（p〉0，t为参数，t∈R)，其中参数t可视为该抛物线y2=2px（p>0)上任一点P与抛物线顶点O所连直线OP的斜率的倒数。设抛物线上任一点P(x，y），则t=。以（x0，y0）为顶点，焦参数为p，对称轴平行于x轴的抛物线的参数方程是（t是参数）,其中参数t是抛物线上任意一点与顶点连线的斜率的倒数.辨析比较抛物线y2=—2px(p〉0）的参数方程：x=(p〉0,t为参数,t∈R);抛物线x2=2py(p>0)的参数方程：（p〉0,t为参数,t∈R）；抛物线x2=-2py(p〉0)的参数方程：（p>0，t为参数,t∈R）。问题·探究问题1举一些现实生活中的例子，说明圆锥曲线的参数方程同圆锥曲线的普通方程相比有何特点,圆锥曲线的参数方程在解题中有什么样的作用？探究：弹道曲线是炮弹飞行的轨迹。在军事上,当炮弹发射出去后，需要知道各个时刻炮弹的位置，很显然相应的位置与炮弹发射出去后的时间有着密切的关系，通过建立适当的坐标系，选择时间作为参数，很容易建立起相应的参数方程，这比根据已知条件直接去找炮弹飞行的普通方程方便得多，并且根据实际军事需要，这样也容易知道各个时刻炮弹所处的位置，有利于为现代战争赢得时间.这正是抛物线的参数方程在实际生活中的具体应用.当然圆锥曲线的参数方程的应用还不止这些，再比如：在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也用其参数方程的形式来予以研究。问题2在使用圆锥曲线的参数方程解题时,需要能够正确地把普通方程转化为参数方程。那么，在把普通方程转化为参数方程时,是否会出现不同的结果呢？探究：会。例如：椭圆=1的参数方程可以是x=的形式,也可以是的形式,它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆（通过消参数即可看出)，同样，对于双曲线、抛物线亦是如此.典题·热题例1已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹的普通方程。思路分析：本题有两种思考方式,求解时把点C的坐标设为一般的（x1,y1）的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ，3sinθ）的形式，从而予以求解。图2-2—1解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ).点G的坐标为（x，y），则由题意可知点A(6,0)、B（0,3）。由重心坐标公式，可知有由此消去θ，得到+（y—1）2=1即为所求。深化升华本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例2实数x、y满足=1,试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.思路分析:本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x—y的最大值与最小值。这时,根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.解:由已知可设则x—y=(4cosθ+1)—(3sinθ-2）=(4cosθ-3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3,其中cosα=,sinα=。当cos(θ+α）=1,即θ+α=2kπ,k∈Z时，cosθ=cos（2kπ-α）=cosα=,sinθ=sin(2kπ-α)=—sinα=.∴x=4×+1=,y=3×()-2=时,x—y的最大值为8.同理,当x=，y=时，x—y的最小值为—2.误区警示本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程;(2)在使用参数方程运算时不考虑α的实际取值。例3点P在圆x2+(y—2)2=上移动,点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标。思路分析：点P与点Q都是动点,PQ的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求。点P在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时,它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ转化为求圆心O′与Q的距离。点Q在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P的坐标。解：设Q（2cosα,sinα)，O′(0，2）,则O′Q2=（2cosα)2+（sinα—2）2=4cos2α+sin2α—4sinα+4=-3（sinα+)2+8+，故当sinα=时，O′Q2取最大值为，此时，O′Q=。当sinα=1时，O′Q2取最小值为1，此时，O′Q=1。又圆的半径为,故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+。P与Q的最小距离为PQ=1—=.PQ取最大值时，sinα=，cosα=，Q的坐标为(）或(，）；PQ取最小值时，sinα=1，cosα=0，点Q的坐标为（0,1）。深化升华本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例4设P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标.思路分析：由于P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一动点，因此四边形OAPB的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值。解：∵点P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点,∴设P(6cosθ,2sinθ）,θ∈（0,)(图略）.法一：直线AB方程为=1，即x+3y—6=0。欲使SOAPB最大，只需P到AB的距离最大.∵dP—AB=θ∈（0,),∴sin（θ+)〉0.∴当θ=时，dmax=.∴(S△APB)max==6(—1).∴(SOAPB)max=·6·2+6(-1)=.法二：SOAPB=S△POA+S△POB=·2·6cosθ+