数学学案：主动成长第一讲一平行线等分线段定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（)A。矩形 B.菱形 C。正方形 D.等腰梯形思路解析:连结梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的邻边相等，由此可以断定此四边形必为菱形.答案:B2。如图1-1—14，AB∥CD∥EF，AF、BE相交于O，若AO=OD=DF，BE=10cm,则BO的长为（)图1-1—14A。 B.5cm C。 D.3cm思路解析：根据AB∥CD∥EF和AO=OD=DF，有BO=OC=CE,所以.答案：A图1-1-153。如图1-1—15，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点,则DG=,CH=,AE=，CF=.思路解析:利用AD∥EF∥BC和E是AB的中点，根据平行线等分线87段定理，可得G、H、F分别是BD、AC、DC的中点,由此即得结论。答案：BGAHBEDF4.如图1-1—16，在△ABC中，E是AB的中点,EF∥BD,EG∥AC交BD于G，，若EG=5cm，则AC=；若BD=20cm,则EF=。图1-1-16思路解析:由E是AB的中点，EF∥BD，可得F是AD的中点,结合CD=AD，可以得到F、D是AC的三等分点,又由EG∥AC，可得EG等于AD的一半，FD=EG，由此可得两个结论.答案:15cm10cm图1-1—175.如图1—1-17，AB=AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP。若AB=6cm,则AP=;若PM=1cm，则PC=.图1—1—18思路解析:由AB=AC和AD⊥BC,结合等腰三角形的性质,有D是BC的中点，再由DN∥CP，可得N是BP的中点，P是AN的中点,由此,AP=,PM=.答案：2cm4cm6。如图1—1—18，已知AC⊥AB于A，DB⊥AB于B,OC=OD，连结OA、OB。求证:OA=OB图1—1-19思路分析：作OE⊥AB于E,可得一组平行线,利用O是CD的中点，得到E是AB的中点,结合线段垂直平分线的性质就有本题的结论.证明:作OE⊥AB于E。∵AC⊥AB,DB⊥AB，∴AC∥OE∥DB.∵O是DC中点，∴E是AB中点.∴OA=OB7.如图1—1—19，已知∠ACB=90°,AC=BC，CE=CF，EM⊥AF，CN⊥AF.求证:MN=NB.图1—1-20思路分析:由已知易得ME与NC平行，所以要说明MN=NB，只要点C是一条线段的中点即可，由此启发我们作辅助线CP。证明:延长ME交BC的延长线于P，由已知可得，Rt△EPC≌Rt△FAC。∴PC=CB。又∵EM⊥AF，CN⊥AF,∴PM∥CN.又∵C是BP的中点,∴N是MB的中点.∴MN=NB。8。已知线段AB，求作AB的五等分点.图1—1—21思路分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等份的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等份了.作法：(1)如图，作射线AM;（2）在射线AM上截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4（3）连结A5B,分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段9.梯形ABCD中,AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点。求证：△ECD为等边三角形。思路分析：一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE(或CE)与底边相交,构造全等三角形.证明:连结AC，过点E作EF∥AD交DC于F.∵梯形ABCD,∴AD∥BC。∴AD∥EF∥BC。又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）.∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。∴△EDC为等腰三角形。∵AB=BC，∠B=60°,∴△ABC是等边三角形。∴∠ACB=60°.又∵E是AB边中点,∴CE平分∠ACB.∴∠1=∠2=30°.∴∠DEF=30°.∴∠DEC=60°。又∵ED=EC,∴△DEC为等边三角形.走近高考10。如图1-1-22,已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED,DC的延长线交BE于F。求证:EF=BF.图1—1-22思路分析:在△EAB中，OF∥AB,要说明EF=BF，只要说明O是AE的中点，而O是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分,可以知道O是AE的中点,于是问题得证.证明:连结AE交DC于O,∵四边形ACED是平行四边形,∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）。∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥AB。在△EAB中，OF∥AB，又O是AE的中点，∴F是EB的中点.∴EF=BF.11.已知直线l1∥l2∥l3，任作两直线m、n，分别交l1、l2、l3于点A、B、C和D、E、F,如图1—1—23所示.图1-1-23图1-1—24图1—1—25(1）分别量出线段AB、AC、DE、DF的长,观察结论,你有什么发现？(2）把直线n沿DA方向平移到A点，得到直线n′，分别与直线l2、l3交于E′、F′，如图1-1—24，观察△ABE′与△ACF′，你有什么发现？说出你的猜测，并验证.（3）如图1—1-24,若继续把直线n平移使其经过B点，分别与直线l1、l3交于D″、F″，结果如何？(4）利用你的发现，判断图1-1—25中的相似三角形有几对？思路分析：对于线段的关系，尤其是四条线段的关系,很有可能是成比例,但要通过验证才能确定。而两个三角形在大小不一的情况下,又有了成比例的线段,就可以联想到两个三角形相似.要判断最后一个图形中有几对相似三角形，就要设法把图形分离出（2）（3)中的基本图形.解：（1）通过测量可得AB=1.5cm,AC=4cm，DE=1。15cm，DF=3。1cm，观察且计算可发现==0。375，=≈0.371，由于作图和测量都会有一定的误差，因此可以确定有==。（2）△ABE′∽△ACF′,由于AF′是由DF平移而来的，由平移的特征可得AE′=DE,AF′=DF，所以仍然