数学学案：知识导学比较法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一比较法知识梳理1.比较法的种类比较法一般分为两种:_________和_________.2。作差比较法（1）作差比较法的证明依据：___________________.(2)基本步骤:①_________;②_________；③_________;④_________.3。作商比较法（1）作商比较法的证明依据：___________________.(2)基本步骤:①_________；②_________；③_________;④_________.知识导学比较法是证明不等式的最基本，最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用.在其一般步骤中，变形是证明推论中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断等号或分子分母的大小关系,而不是考虑变形后的表达式能否化简或值是多少。变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.一般地，证明幂，指数不等式时常用“商值比较”法,证明对数不等式时常用“差值比较法”.当“差"或“商"式中含有参数时，一般情况下都要对参数的取值进行分析，应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性。疑难突破1.比较大小关系的一般方法在比较大小关系的问题中，很多情况下是可以直接作差或作商比较的,但是为了得到准确的结果,可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预猜,这样在比较的过程中,不会因为疏忽或其他原因造成结果的错误，尤其是在多个数或数学式比较大小时，为避免两两比较的烦琐，可以提前预测，再进行比较.还有一类较为特殊的比较大小问题,如数列问题中,两个数或数学式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化，这就要注意对相关问题的讨论，大小关系一定或不一定，是首先应判断的.2.作商比较法中的符号问题在作商比较法中,〉1b>a是不正确的，这与a,b的符号有关，比如若a,b〉0,由〉1，可得b>a,但若a，b<0，则由〉1得出的反而是b〈a,也就是说,在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断，否则，结论将是错误的。对于此类问题，不外乎可分为含参数变量类的和大小固定的，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程。典题精讲【例1】已知a≥1，求证。思路分析：因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号，故可用求差法进行证明.又因为a≥1，所以不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明。证法一：∵（)-（)=〈0,∴。证法二：〈1,又〉0，〉0,∴原不等式成立。黑色陷阱：证法一中,不施行有理化,误认为〉0，同样，在证法二中,误以为。排除思维障碍的方法是要对不等式进行严格的论证.另外，根据左,右两边都含无理号的特点,也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号,都大于0时,两边平方是等价变形，否则要改变不等号。【变式训练】设a>b>0,求证:>.思路分析：可用作差比较法或作商比较法进行证明.证法一：-==〉0,所以原不等式成立。证法二：>1。∴原不等式成立。【例2】(经典回放）设a+b>0，n为偶数,求证：≥+.思路分析:注意到不等式两边的幂的结构，作差后，有公因式,即可化为几个因式相乘，即而可判断等号。证明：--=,当a>0，b〉0时，（an—bn）（an-1-bn-1)≥0，（ab）n〉0.所以≥0。故-n≥+。当a,b有一个为负值时，不妨设a>0,b<0，且a+b>0,所以a〉｜b｜,又n为偶数。所以（an-bn）(an-1-bn—1）>0。又(ab）n>0，故〉0.即〉+.综上，可知原不等式成立.黑色陷阱：本题极易造成以下错解：∵—-=，又n为偶数，∴（ab）n>0，又an—bn和an—1—bn—1同号.∴-—〉0.故>+。错误的原因是：n为偶数时，an—bn和an—1—bn—1不一定同号，这里忽略了在题设条件a+b〉0的情况下，应分a〉0,b〉0和a，b有一个负值两种情况加以讨论.【变式训练】已知a,b∈R+，n∈N+，求证：(a+b）(an+bn)≤2(an+1+bn+1）。思路分析：本题可以用作差比较法，但差式中a,b的大小关系需要讨论.证明：∵（a+b)（an+bn)—2（an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1—2an+1-2bn+1=a（bn—an）+b（an-bn）=(a—b）（bn—an).（1）若a〉b>0时,bn—an〈0，a—b〉0,∴（a-b)(bn-an）<0。（2)若b>a>0时,bn—an>0，a—b<0,∴（a-b）(bn—an)〈0。（3)若a=b〉0时,（bn—an)（a-b）=0，综上（1）（2)(3)可知，对于a,b∈R+,n∈N*，都有(a+b)(an+bn)≤2（an+1+bn+1)。【例3】（2005山东高考，21)已知数列｛an｝的首项a1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N+）。（1)证明数列{an+1}是等比数列;（2）令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1）,并比较2f′（1）与23n2-13n的大小。思路分析：在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化。（1）证明:由已知Sn+1=2Sn+n+5，∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,两式相减,得Sn+1—Sn=2(Sn—Sn—1)+1，从而an+1+1=2(an+1)。当n=1时，S2=2S1+1+5，∴a1+a2=2a1+6,又a1=5，故a2=11,从而a2+1=2(a1+1)。故总有an+1+1=2（an+1)，n∈N+。又∵a1=5,∴a1+1≠0,从而an+1+=2。即｛an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比的等比数列。（2)解:由（1)可知an=3×2n—1.∵f（x）=a1x+a2x2+…+anxn,∴f′（x)=a1+2a2x+…+nanxn—1。从而f′(1）=a1+2a2+…+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n（3×2n-1）=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)=3［n×2n+1-（2+…+2n)]-=3（n×2n+1-2n+1+2)-=3（n-1）·2n+1—+6.2f′（1)—（23n2-13n）=12(n—1）·2n-12（2n2—n-1)=12（n—1）·2n-12(n-1）（2n+1)=12(n—1）［2n-(2n+1）］（＊)当n=1时,（*）式=0，∴2f′(1）=23n2-13n;当n=2时，(*）式=—12〈0,∴2f′（1）<23n2—13n;当n≥3时，n-1〉0,又2n=（1+1）n=≥2n+2>2n+1，∴(n—1)［2n-（2n+1）］〉0。即（*)〉0,从而2f′（1）>23n2—13n。绿色通道:本题是典型的结论不唯一的比较大小的问题,在数列中，大小问题可能会随“n”变化而变化.往往n=1,2…前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题时，要时刻想着“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己问题是否需要讨论.【变式训练】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列.(1）求q的值；（2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解:（1)由题设2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q.又a1≠0,∴2q2—q—1=0。∴q=1或。（2）若q=1,则Sn=2n+.当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=>0,故Sn〉bn.若q=，则Sn=2n+·（)=。当n≥2时，Sn-bn=Sn—1=,故对于n∈N+,当2≤n≤9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn;当n≥11时,Sn〈bn.问题探究问题：在现实生活中，我们经常遇到这样一个问题：喝水用的杯子有高,有低，有粗,有细,有时感觉较粗低的杯子盛的水并不比细高的杯子盛的水少.事实是这样吗?举例说明.导思：容器的容积的大小是不能只依据直观感觉来比较的，要有具体的数据，依靠科学的理论才能判断，我们设定不同的情况下的数据,用比较法进行比较.探究:设一圆柱形的杯子A底面半径为r，高为h，另一圆柱形的杯子B的