数学学案：知识导航综合法和分析法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5.3.2综合法和分析法自主整理1。一般地,从已知条件出发,利用某些不等式的_____________或_____________,经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立,这种证明的方法叫做_____________.2。一般地，从要证明的不等式出发，逐步寻求使它成立的________________条件,直至最后，把要证明的不等式归结为判定一个明显成立的不等式(已知条件、定理等),这种证明的方法叫做_______________.高手笔记1。综合法一般利用题设已知条件和基本不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式，其过程为“由因导果”。2。分析法通常采用“欲证——只需证--已知"的格式,书写要规范，其过程为“执果索因”.3.用综合法证明不等式往往要先用分析法分析其思路，再用综合法书写出其证明过程，是分析法的逆过程。名师解惑如何用综合法证明不等式？剖析：用综合法证明不等式时,主要利用重要不等式、函数的单调性以及不等式的性质在严密的逻辑推理下推导出结论.综合法证明问题的“入手处”是题目的已知条件或某些重要不等式。常用的重要不等式有:①若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”);②若a、b∈R+，则a+b≥（当且仅当a=b时取“=”）;③若a、b∈R+,则(当且仅当a=b时取“=");④若a、b、c∈R+,则a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”）;⑤若a、b、c∈R,则a2+b2+c2≥ab+bc+ca;⑥若a、b∈R+,则有（a+b)(+)≥4。选择使用哪个重要不等式作为证题的“原始出发点"或对已知条件的转化是证题的关键，这需要对要证明的结果有充分的分析，可以联系平时学习过程中积累下来的数学结论或知识作出判断.例如在证明a2+b2+c2≥ab+bc+ac时,除了用作差比较法以外,还可从重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac入手,利用不等式的性质来进一步推理得出结论；再如证明sinx+≥5〔x∈(0,］〕,并不是使用重要不等式a+≥2（a∈R+),因为这里的0<sinx≤1，而a〉0,范围不同,等号取不到，所以是利用正弦函数sinx的有界性以及形如函数y=x+的函数的单调性来证明的。所以在利用综合法证明问题时,必须积累一定的经验,还要记忆一些数学式子的独特结构以便在证明过程中利用已经证明过的结论和方法来证明问题。讲练互动【例1】已知a、b、c都是正数，求证：分析：不等式的两边都是和式结构，左边含有根式，右边不含根式，所以需要把左边的根号去掉，而本题通过两边平方不能去掉根号，只能把被开方数改写为一个数的平方,从而去掉根号,联想到，而这个不等式的入手点是a2+b2≥2ab。证明:∵a、b、c都是正数,∴a2+b2≥2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2.∴.同理,∴≥(a+b）++,即（a+b+c)成立.绿色通道不等式的结构比较整齐，从形式上很容易联想重要不等式定理,可以从不等式定理入手进行分析转化,逐步证出.变式训练1。a、b、c∈R,求证：a2+b2+c2≥ab+3b+2c-4。证明：∵a2+≥ab,+3≥3b，c2+1≥2c,∴（a2+)+（b2+3)+(c2+1）≥ab+3b+2c，即a2+b2+c2≥ab+3b+2c-4成立。【例2】已知a、b都是正数，且a+b=1,求证：（a+）2+（b+)2≥.分析:因为已知条件是两正数之和为定值,可利用重要不等式去证明。而所要证明的结论也是两个数的平方和,可以转化为a+b，利用已知条件完成.证法一：∵a〉0,b>0，a+b=1，∴1=a+b≥2,即≤。∴≥2，+≥2≥4。∴(a+)2+（b+)2≥≥,即(a+)2+（b+)2≥.当且仅当a=b=时取“="。证法二:∵a〉0,b>0,a+b=1,∴1=a+b≥2.∴ab≤.∴≥4,-ab≥-.∴+≥≥8.∴（a+)2+（b+）2=a2+2++b2+2+=(a2+b2）+（+）+4=(a+b)2—2ab+(+）+4≥1—+8+4=，即(a+)2+(b+)2≥成立.绿色通道本题是带有条件的不等式,可利用条件结合不等式的结构,在基本不等式的基础上进行变形、推理，得出结论.另外本题还可以把“1”看作一个量进行代换.证明如下：∵a+b=1，∴(a+)2+(b+）2=a2+b2+++4=a2+b2++4=a2+b2+1++1++4=6+a2+b2+2（+)+()≥6+a2+b2+4+2=12+a2+b2≥12+成立.变式训练2。已知a、b、c∈R+，且互不相等，abc=1，求证:<++.证明：∵a、b、c∈R+，且互不相等，abc=1,∴+>2=2=2.同理,+>2=2，+〉2=2。∴2（++）>2+2+2,即++〉成立。3。已知x、y都是正数,且x+2y=1，求证：≥3+.证明：∵x、y都是正数，x+2y=1,∴=+=3+(）≥3+成立.【例3】已知等差数列｛an}，首项a1〉1，公差d>0，n∈N,且n>1,求证:lgan+1·lgan-1<（lgan)2。分析:不等式的左边为对数相乘，没有运算法则,可利用已知条件和重要不等式定理转化为对数之和进行运算。证明：∵{an｝为等差数列,∴an—1=an—d,an+1=an+d.∴an—1·an+1=an2-d2。又∵a1>1,d>0，∴an>1.∴lgan+1>0,lgan—1〉0.∴lgan+1·lgan-1≤=［lg（an+1·an—1）]2=[lg（an2—d2）]2<（lgan2)2=(lgan）2。绿色通道本题为数列与不等式的综合题，可根据已知条件逐步翻译，找到an+1，an—1,an之间的关系，同时考虑到对数的运算法则，需将对数之积转化为对数之和，才能进一步运算，并与右边相对照证出.变式训练4。若a、b、c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg〉lga+lgb+lgc。证明:∵a、b、c为不全相等的正数,∴≥>0，≥〉0,≥>0,且上述三个式子中“=”不同时成立。∴lg+lg+lg>lg+lg+lg=lg(··）=lgabc=lga+lgb+lgc,即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc成立.【例4】已知a〉b>0，求证：。分析：本题所要证明的不等式比较复杂,由条件a〉b>0不易得出所要证的不等式,可先从要证的不等式分析变形，从中找到证明的线索.证明:要证不等式成立.只需证〈a+b-2〈成立，即证()2<(）2<（）2.只需证。∵a>b>0,∴<1<。∴<1<,即<1〈.只需证<1<.∵a〉b〉0,∴<1〈成立.∴原不等式成立.绿色通道用分析法证明不等式，要注意分析法的固定格式，每一步都应是上一步的充分条件.变