数学学案：知识导航：圆柱的截线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3。2圆柱的截线自主整理1.如果光线由___________发出，就得到中心投影（centralprojection）,而由__________得到的投影就是平行投影(parallelprojection).2。给定一个平面π及方向向量a,对于一个点P,过P作直线l∥a，l与平面π交于点P′，则P′就是点P按方向a在平面π上的__________.若把一个图形ω(点集）上的每个点都按a的方向投影到平面π上，成为平面π上的点（象）,所得图形ω′(象集)就是图形ω在平面π上的按a的方向的__________。当a⊥π时的投影也称为__________。3.不与方向向量平行的线段在平面上的投影,是由该线段的两个端点的__________所连成的线段。线段上的点分线段的比与它的象分投影所成线段的比__________.4。不与方向向量平行的两条平行的线段的平行投影仍为____________________，平行线段的投影的长度比__________原线段的长度比，特别地,当原线段与投影平面α平行时,象线段与原线段长度__________。5。设平面π与圆柱的轴所成的角为β。当β=90°时，平面π截圆柱所得的截线为__________；当0°＜β＜90°时，平面π截圆柱所得的截线为__________，该椭圆的长轴长A1A2=2a=__________，焦距F1F2=2c=__________，离心率e==__________高手笔记1.平行投影的性质（1）直线或线段的平行射影仍是直线或线段;（2）平行直线的平行射影是平行或重合的直线；(3）平行于投射面的线段，它的射影与这条线段平行且等长；（4)与投射面平行的平面图形，它的射影与这个图形全等；（5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行射影的比等于这两条线段长度的比.图1.3—152。如图1。3—15，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD,AD、BC与两圆相切,作两圆的公切线EF,切点分别为F1、F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1,交BC于G2,设EF与BC、CD的夹角分别为β、θ,则有如下结论：（1）G2F1+G2F（2）G1G2（3）=cosβ=sinθ。证明:根据切线长定理有G2F1=G2G2F2=G2∴G2F1+G2F2=G2B+G又∵G1G2=G1F2+F2由切线长定理知G1F2=G1F2G2=G2∴G1G2=G1D+G2连结F1O1，F2O2,容易证明△EF1O1≌△FF2O2。∴EO1=FO2。又∵O1A=O2∴EA=FC。于是可证得△FCG2≌△EAG1。∴G1A=G2∴G1G2=G1D+G1在Rt△G2EB中，cosβ==,∴G2F1=G2又∵β=90°—θ,∴G2F1=G2Ecosβ=G2由此得到结论:（1）G2F1+G2F（2）G1G2（3)=cosβ=sinθ。3。用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两底面平行时,截面是一个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时,截面是一个椭圆.图1.3-16证明:如图1.3-16,由上面的结论，当P与G2重合时,有G2F1+G2F当点P不在端点时，连结PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线,切点为K1、K2，根据切线长定理的空间推广，知PF1=PK1,PF2=PK2,所以，PF1+PF2=PK1+PK2=AD。由于AD是定值，故点P的轨迹是椭圆。名师解惑1.平行投影与中心投影的区别是什么？剖析：(1）平行投影的投影线相互平行,中心投影的投影线延长后交于同一点；（2）原图形中的平行线段经过平行投影得到的图形中仍然平行（或重合），但经过中心投影得到的图形中不一定平行;（3）平行投影不改变两线段的比例关系，中心投影改变两线段的比例关系.2.用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，那么如何确定该椭圆的准线呢?剖析：如图1.3—17,设球O1、O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α、γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1、l2，α、γ与β所成的二面角均为θ，母线与平面β的交角为φ。由于α、β、γ都是确定的,因此交线l2、l2也是确定的.这样,我们就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系.图1。3—17我们还是从特殊情况开始探究这种关系。由［笔记高手］第2条知,对于椭圆的长轴端点G2，有=cosφ=定值。当点P在椭圆的任意位置时,过P作l1的垂线，垂足为Q,过P作平面α的垂线，垂足为K1,连结K1Q，得Rt△PK1Q,则∠QPK1=φ。从而有=cosφ=定值。所以，椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值cosφ.我们把直线l1叫做椭圆的一条准线。同理，椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cosφ,所以l2是椭圆的另一条准线.讲练互动【例1】设平面π与圆柱的轴的夹角为β（0°＜β＜90°)，则平面π与圆柱面的截线椭圆的离心率e=______________.分析：利用结论：当0°＜β＜90°时，截线椭圆的离心率e=cosβ。答案：cosβ.绿色通道公式e=cosβ反映了平面π的倾斜程度和所截得椭圆的扁圆程度的关系。变式训练1.设平面π与圆柱的轴的夹角为60°,则平面π与圆柱面的截线椭圆的离心率e=_____________.解：e=cosβ=cos60°=.【例2】设平面π与底面半径为R的圆柱的轴的夹角为β（0°＜β＜90°），求平面π与圆柱面的截线椭圆的长半轴a，短半轴b,半焦距c的大小。分析：利用b=R,e==cosβ及b2+c2=a2等关系求解a、b、c。解：圆柱的底面半径恰好是椭圆的短半轴b=R,又e=cosβ==，即有cos2β=，得a2=,∴a=.由c=acosβ得c=,∴a=，b=R，c=.绿色通道当已知圆柱的底面半径及平面π与