数学学案：知识导航：圆的切线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2。2圆的切线自主整理1.当直线与圆有2个公共点时,直线与圆_____________;当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆_____________,此时直线是圆的_____________，公共点称为_____________；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.2.设⊙O的半径为r，直线l与圆心O的距离OH为d,则d〉r直线与圆_________________；d=r直线与圆_________________；d＜r直线与圆_________________。3。切线的判定定理:过半径外端且与这条半径_________________的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线_________________于经过切点的半径.4.切点与圆心的连线与圆的切线_________________，过切点且与圆的切线垂直的直线过_________________。5。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长_________________。6.弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的_________________.7。同弧（或等弧）上的弦切角_____________，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角_____________。8。三角形的三内角平分线的交点到三角形三边的距离，若以此交点为圆心,该点到边的距离为半径作圆,该圆必与三角形的三边都____________,该圆就是三角形的____________，三角形则是圆的____________三角形，该点称为三角形的____________.高手笔记1.圆的切线的性质定理及推论（1）圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点，否则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点;反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点；③过圆心。于是在利用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线。(3）另外，圆的切线还有两条性质应当注意:一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中，我们也利用它们来解决.2。切线的判定定理（1)切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在定理中要分清定理的题设和结论,强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图1。2-36的例子就不同时满足两个条件，所以都不是圆的切线.图1。2-36（2）用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件：①过半径的外端；②垂直于这条半径.因此在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这条直线与此半径垂直;否则需先向这条直线作垂线,再证此垂线段是圆的半径.3.切线长定理（1）我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长。切线长是一条线段的长，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点。注意切线是一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部分。(2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。图1。2-37(3）如图1。2-37,PA、PB是⊙O外一点向圆作的两条切线,切点分别为A和B，那么连结OA、OB、OP，因为PA、PB与⊙O相切于A、B两点，则有OA⊥AP，OB⊥BP，于是∠OAP、∠OBP都是直角.又OA=OB，OP=OP，所以Rt△AOP≌Rt△BOP,所以PA=PB，∠APO=∠BPO。(4)由切线长定理，可以得到圆外切四边形的一个重要性质：圆的外切四边形的两组对边和相等。利用这一性质可以方便地解决许多问题.4.弦切角（1）定义:顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.(2)弦切角的特点：①顶点在圆周上；②一边与圆相交；③一边与圆相切。(3）弦切角定义中的三个条件缺一不可。图1。2-38各图中的角都不是弦切角。图（1）中,缺少“顶点在圆上”的条件；图（2)中,缺少“一边和圆相交”的条件；图(3）中，缺少“一边和圆相切"的条件;图（4）中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图1。2-38（4)如图1.2—39所示，弦切角可分为三类：①圆心在角的外部；②圆心在角的一边上；③圆心在角的内部.图1.2—395.弦切角定理（1）弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.（2)定理的证明：由于弦切角可分为三类,即图1。2—40所示的情况,所以在证明定理时分三种情况加以讨论:当弦切角一边通过圆心时[图1.2-40（1）］，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角;当圆心O在∠CAB外时［图1。2—40(2）］，作⊙O的直径AQ,连结PQ,则∠BAC=∠BAQ—∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时［图1。2—40（3）］作⊙O的直径AQ，连结PQ,则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图1.2—40（3)在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手,通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要明确用运动变化的观点观察问题,进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.(4）由弦切角定理，可以直接得出一个结论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据。（5)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础。名师解惑1。判断一条直线是否是圆的切线,通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？剖析：判定切线通常有三种方法:（1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线。“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用(2），如果涉及到线段的位置关系等，通常选取（3）。2。到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角,它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点。它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？剖析：圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用,将这些知识总结对比列表如下，你可以在比较中把握其异同点，从而快速、准确的应用。名称圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上的;两边和圆相交顶点在圆上；一边和圆相交；另一边和圆相切图形有关定理①圆心角的度数等于它所对的弧的度数②在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半弦切角等于它所夹弧所对的圆周角有关推论四者关系定理的推论圆周角定理推论弦切角定理的推论角与弧的关系∠AOB的度数=的度数∠ACB的度数=的度数∠ACB的度数=的度数讲练互动图1.2-41【例1】如图1.2-41所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径.求证：⊙O与CD相切。分析：欲证⊙O与CD相切只需证明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径即可。证明:过O点作OE⊥CD，垂足为E,∴AD∥OE∥BC。∵O为AB的中点，∴E为CD的中点。∴OE=（AD+BC).又∵AD+BC=AB,∴OE=AB=⊙O的半径。∴⊙O与CD相切。绿色通道在不知道圆与直线是否有公共点的情况下通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一。变式训练图1.2-421。如图1.2-42,已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连结OC.∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是⊙O的切线。图1.2-43【例2】如图1。2-43所示,已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD=3cm，BE=7cm.（1）求⊙O的半径；（2）求线段DE的长。分析:（1）连结OC，证C为DE的中点。在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.对于(2）则连结AF，证四边形ADEF为矩形，从而得到AD=EF,DE=AF，然后在Rt△ABF中运用勾股定理,求AF的长。解:(1）连结OC.∵MN切半圆于点C，∴OC⊥MN。∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE。∵OA=OB，∴CD=CE。∴OC=（AD+BE）=5（cm）。∴⊙O的半径为5cm。(2）连结AF。∵AB为半圆O的直径，∴∠AFB=90°,∴∠AFE=90°。又∠ADE=∠DEF=90°，∴四边形ADEF为矩形。∴DE=AF,AD=EF=3（cm）。在Rt△ABF中，BF=BE-EF=4（cm)，AB=2OC=10（cm）.由勾股定理，得AF=，∴DE=（cm).绿色通道在梯形当中,最常见的辅助线是高，通过作高，可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关计算;当题目中涉及圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系.变式训练图1.2-442.如图1.2—44，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G,若小圆的半径为2，EF=4，试求EG的长.解:连结GC，则GC⊥ED。∵EF和小圆切于C，∴EF⊥CD,EC=EF=2.又CD=4,∴在Rt△ECD中，有ED=。∵EC2=EG·ED，∴EG=图1。2-45【例3】如图1.2—45,AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长。分析：∠BAE为弦切角,于是∠BAE=∠C,再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C。∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE。又∵∠C+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°。则有BE=1，AB=，BC=，AC=2。绿色通道本题应用弦切角、解直角三角形的知识，此题为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系。变式训练图1.2-463.如图1。2-46，AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F。求证：EF∥BC。证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC。∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC。∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC。图1.2—47【例4】如图1.2—47,△ABC内接于⊙O,AB=AC，直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AC、BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长.分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系;对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.(1）证明：∵XY是⊙O的切线，∴∠1=∠2。∵BD∥XY，∴∠1=∠3。∴∠2=∠3.∵∠3=∠4,∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD。(2)解：∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB。∴。∴AC·CE=BC2，即AC·(AC—AE)=BC2。∵AB=AC=6,BC=4，∴6（6—AE）=16.∴AE=(cm）。绿色通道本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件。变式训练4。如图1.2—48，半径为3cm和2cm的⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A、B为切点，两圆的内公切线交AB于点Q。求PQ的长。图1.2—48解法一:连结AP，BP，则在△APB中有QA=QP=QB,∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即2（∠1+∠4)=180°,∴∠1+∠4=90°,∴PQ是Rt△APB斜边上的中线.过O2作O2H⊥O1A解法二:如图所示，连结QO1，QO2.∵QP、QA分别切⊙O1于P，A∴∠1=∠2，同理∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即2（∠2+∠3）=180°，∴∠2+∠3=90°,∴∠O1QO2=90°。又∵QP⊥O1O2,∴∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴Rt△O1PQ∽Rt△QPO2，∴PQ2=PO1·PO2=6,PQ=6（cm).【例5】如图1.2—49所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点。（1)求证：AD∥OC；（2）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值.图1.2-49分析：对于（1）,连结OD、BD，证AD⊥BD，OC⊥BD；对于（2)，连结BD，证△ABD∽△OCB即可。（1）证明:连结OD、BD.∵BC、CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，O