数学学案：知识导航：球的性质（第二课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.3.1球的性质（第二课时）自主整理1。若平面α与球O相切,切点为M，则平面α内经过M的直线都与球O___________，平面α内不经过M的直线都与球O_____________。2。从球外一点可以引球的__________条切线，所有的切点组成球的一个___________.3.球外一点向球引的切线长相等。4。圆柱面与球相切，切点组成球的____________，该大圆所在平面与圆柱的轴____________。5。圆锥面与球相切,切点组成一个球的__________，该小圆所在的平面与圆锥的轴_________.高手笔记1.如何判定直线与球的位置关系？答：设球心O到直线l的距离为d，球的半径为R，则①若d>R，则直线与球相离；②若d=R，则直线与球相切；③若d〈R，则直线与球相交.2。过球面上一点M,如何作出球的切线？切线有多少条？答：只需连结OM(即球的半径),然后过M点作直线l⊥OM即可得直线l与球相切。这样的切线l有无数条，它们的集合恰好是过M点球的切面。3。球与圆柱面相切和球与圆锥面相切有什么相同点和不同点呢?答：不同点：球与圆柱面相切，切点组成大圆，球与圆锥面相切，切点组成小圆.相同点：切点都组成一个圆，且该圆都与圆柱面或圆锥面的轴垂直。名师解惑1.过球外一点引球的切线，则切线长如何求?剖析：设球心O到球外一点P的距离为d，球的半径为R，则切线长PT=.2。若球与圆柱面相切，对于圆柱面上任意一点P，点P所在的母线l′与球切于点C′，则PC′是球的一条切线,若从P向球任引一条切线PT，切点为T,则PT与PC′有什么关系？剖析:PT=PC′.3。若球与圆锥面相切,则从圆锥面上任取一点B,过B点的圆锥的母线VB与球切于S,过B作球的切线BT，切点为T，则这条切线有什么性质?剖析：这样的切线BT能作无数条，但BS是所有从B引出的球O的切线中唯一的在圆锥面上的切线，且有BT=BS。讲练互动【例1】求证：若平面α与球O相切，切点为M，则平面α内经过M的直线都与球O相切，平面α内不经过M的直线都与球O相离。图1.3-11分析：要证明直线与球面相切,只须证明d=R;要证明直线与球面相离，只须证明d>R。证明：如图1.3—11，因为平面α与球O相切于点M，所以OM⊥平面α.设平面α内的直线a经过M,则OM⊥直线a，即OM是点O与直线a的距离。所以直线a与球相切.而对于平面上不过M的直线b，作出O与直线b的距离ON,由于ON>OM,故b与球O相离.绿色通道本题除了利用d与R的大小关系来判断直线与球的位置这个方法之外，也可以利用直线与球面的交点的个数来判断直线与球的位置关系；具体方法如下：由于平面α与球O只有唯一公共点M,平面α内的点除M外都在球O外，故直线a上的点除M在球上外，其余的点都在球外,即直线与球只有唯一公共点，故直线与球相切。而平面α内不过M的直线上所有的点都在球O外,故直线与球O相离.变试训练1。求证：当直线l与球O相离时，经过l可以作一个平面与球O相切。证明:过O作OA⊥l，垂足为A，设l与O点确定的平面为α，过OA与α垂直的平面设为β，过A点在β内作球的切线AB,切点为B，则l与AB确定的平面γ即与球相切，下面证明这一点：因为l⊥AO且l⊥AB，故l⊥平面β，又∵lγ，∴β⊥γ，过O作平面γ的垂线,垂足一定在β与γ的交线AB上，由上面的作法知,垂足为B且B在球面上，故球心到平面γ的距离d=OB=R。即d=R,故平面γ与球O相切。（如图所示）【例2】求证:圆柱面与球相切，切点组成球的大圆，该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直.分析：利用圆柱面与球的形成过程证明.图1.3-12证明:如图1。3-12，如果取一个半圆O，并过与半圆直径AB垂直的半径OC外端作半圆的切线l。这时，半圆与直线l绕AB旋转就分别得一个球和一个圆柱,直线l不论旋转到什么位置都与球相切，而且过切点的球半径始终与轴AB垂直，从而所有的切点都在过球心O且与轴AB垂直的平面上,即切点组成了球的大圆，且该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直.这时圆柱面与球相切.绿色通道本题的证明方法是利用平面内的直线与半圆相切，然后通过旋转，把平面内的相切推广到空间中的相切关系。变试训练2.求证:圆锥面与球相切，切点组成一个球的小圆，该小圆所在平面与圆锥的轴垂直.证明:如图所示，如果取一个半圆O，并过与半圆直径不垂直的半径OP外端作半圆的切线l′,这时，半圆与直线l′绕半圆直径所在直线l旋转就分别得一个球和一个圆锥面，直绕l′不论旋转到什么位置都与球相切，过P点作l的垂面π′，设平面π′与l的交点为Q,则PQ⊥l，