四川省2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试卷（含解析）

四川省2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．在正方体中，为的中点，则（）A． B．C． D．3．已知直线与.若，则（）A． B．1 C． D．24．若方程表示一个圆，则的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知向量，，.若，，共面，则（）A．11 B． C．9 D．36．圆与圆的公共弦长为（）A．6 B．8 C．9 D．107．如图，平行六面体的所有棱长均相等，且，则异面直线AC与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（）A．B．点在圆的外部C．若直线平分圆的周长，则D．圆与圆外切10．已知点，，在直线上，则的值可能为（）A． B． C． D．311．若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（

）

A．若，则B．存在点H，使得平面C．线段长度的最小值是D．存在点H，使得三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为．13．已知直线过定点，则点的坐标为.；若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围为.14．已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知点，.(1)求直线MN的一般式方程；(2)求以线段MN为直径的圆的标准方程；(3)求（2）中的圆在点处的切线方程.16．在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点.(1)证明：平面.(2)求二面角的余弦值.17．已知圆（为常数）．(1)当时，求直线被圆截得的弦长．(2)证明：圆经过两个定点．(3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程．18．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点.(1)证明：平面PAB.(2)证明：.(3)试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为.(1)求的方程；(2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案1．【答案】C【详解】直线的斜率为，倾斜角为.故选：C2．【答案】B【详解】.故选：B3．【答案】B【详解】由于，所以，此时两直线方程分别为，不重合，符合题意，所以.故选：B4．【答案】D【详解】若方程表示一个圆，则，方程可化为，所以，解得，且不等于0，所以或.故选：D5．【答案】A【详解】依题意，，，共面，所以存在，使得，即，所以，解得.故选：A6．【答案】B【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，，，所以两圆相交，由两式相减并化简得，到直线的距离为，所以公共弦长为.故选：B7．【答案】A【详解】设棱长为，以为基底，则，，，所以异面直线AC与所成角的余弦值为：.故选：A8．【答案】B【详解】设，则，，因为，所以，即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.点在直线上，所以直线与圆有公共点，则，解得故选:B.9．【答案】ABD【详解】圆的半径为2，所以，A选项正确.所以圆的方程为，圆心为，半径为，，所以点在圆的外部，B选项正确.直线平分圆的周长，则直线过圆心，即，所以C选项错误.圆的圆心为，半径为，与的距离为，所以圆与圆外切，D选项正确.故选：ABD10．【答案】BC【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，即关于的对称点为，且，所以，当三点共线时取等号，故BC选项符合题意，故选：BC11．【答案】ABC【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四点共面，若，则，解得，A正确；对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，则，，，，故，，，，易得是平面的一个法向量，若平面，则，即，解得，符合题意，所以存在点H，使得平面，B正确，对于C：，当时，取得最小值，最小值为，C正确.对于D：若，则，得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.故选：ABC12．【答案】【详解】依题意设直线的一般式方程为：，因为直线过点，所以，得，所以直线的一般式方程为：．故答案为：．13．【答案】【详解】①将直线变形为，所以当时，无论取何值，所以定点的坐标为0,2，②曲线是化简变形后可得，其表示以2,0为圆心，为半径的圆在轴上半部分(包含交点)如图所示，

若要直线，与曲线有两个交点，则其在与之间，所以可得直线的斜率为，则，故的取值范围为，故答案为：14．【答案】【详解】如下图所示：正四面体的棱长为，设其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，则为正的中心，且平面，连接并延长交于点，则为的中点，且，，，因为平面，平面，则，可得，的面积为，正四面体的体积为，设正四面体的内切球的半径为，则，即，解得，可得，因为，，可得，当点位于正四面体的顶点时，取最大值，所以.故答案为：15．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）直线MN的斜率为，则直线MN的方程为，即.（2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即，半径，故所求圆的标准方程为.（3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为，故所求的切线方程为，即.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，，因为，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，进而.因为，所以.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O0,0,0，，，，，所以，.因为，所以，则，，又，平面，所以平面.（2）由（1）得，，，.设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为.易得平面的一个法向量为.设二面角的大小为，则，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.17．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）当时，圆，此时，圆的圆心为，半径．则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为；（2）由，得，令，因为为常数所以得，由解得或，所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为；（3）（方法一）设的中点为，不妨设，则点的坐标为．因为，所以，所以，解得，所以圆的标准方程为．（方法二）不妨设，因为，所以，解得，所以圆的标准方程为．18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在；答案见解析【详解】（1）因为，所以，因为平面，平面，所以平面PAB.（2）作交于，因为，所以，又，所以，又，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，即，所以，又E为AD的中点，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，所以平面，平面，所以.（3）设存在，作交与，由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，设直线CM与平面PBC所成角的为，则，解得，所以在线段PE上存在点，此时.19．【答案】(1).(2)证明