2023年南京市初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2023年南京市初中学业水平考试·数学一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3

830

000公顷.用科学记数法表示3

830

000是()A.3.83×106 B.0.383×106 C.3.83×107 D.0.383×1071.A【解析】3830000＝3.83×106.2.整数a满足19＜a＜29，则a的值为()A.3 B.4 C.5 D.62.C【解析】∵19<25<29，即19<5<29，∴整数a＝5，3.若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是()A.5 B.10 C.15 D.203.B【解析】∵等腰三角形的腰长为3，∴3－3＜等腰三角形的底长＜3＋3，即0＜等腰三角形的底长＜6，∴6＜等腰三角形的周长＜12，∴B选项符合题意．4.甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(单位：h)与行驶速度v(单位：km/h)之间的函数图象是()ABCD4.D【解析】根据题意，得100＝v·t，∴t＝100v(v>0)，∴汽车行驶时间t与行驶速度v之间是反比例函数，其图5.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是()A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里5.C【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x里，则CD＝(14－x)里，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD2＝AB2－BD2，即AD2＝132－x2，在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2，即AD2＝152－(14－x)2，∴132－x2＝152－(14－x)2，整理，得28x＝140，解得x＝5，∴，AD＝AB2－BD2＝132－52＝12(里)，∴S△ABC＝12解图6.如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是()A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm6.A【解析】如解图①，过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴OHBC＝AOAB，∴OH60＝AOAB，如解图②，过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴OHAD＝OBAB，∴OH90＝OBAB，∴OH60＋OH90＝AOAB＋OBAB，∴解图二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)7.计算：|－2|＝；（−2）7.2，28.若式子1x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围8.x≠2【解析】∵式子1x－2在实数范围内有意义，∴x－2≠0.9.计算12×6－18的结果是.9.32【解析】原式＝23×6－32＝62－32＝32.10.分解因式3a2－6a＋3的结果是.10.3(a－1)2【解析】3a2－6a＋3＝3(a2－2a＋1)＝3(a－1)2.11.计算23×44×（18）5的11.116【解析】原式＝23×(22)4×(2－3)5＝23×28×2－15＝23＋8－15＝2－4＝11612.某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34.若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为.12.35【解析】∵这组数据的众数为32，∴a＝32，把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，∴这组数据的中位数为34＋3613.甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y(单位：km)与行驶的时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示.甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶.若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v(单位：km/min)的取值范围是.13.32≤v≤9【解析】由题图得甲车的速度为18÷20＝910(km/min)，设甲车出发t

min后乙车追上甲车，∵乙车经过20

min～30

min追上甲车，∴t的取值范围为40≤t≤50.则910t＝v(t－20)∴v＝9t10（t－20）＝910－200t，∴v随t的增大而减小．当t＝50时，v取最小值，最小值为910－20050＝32，当t＝40时，v取最大值，最大值为91014.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在第一象限，且OA＝3.若反比例函数y＝kx的图象经过点A，则k的取值范围是14.0＜k≤92【解析】当点A为反比例函数y＝kx的图象与直线y＝x的交点时，k的值最大．∵OA＝3，∴点A在直线y＝x上时，A(322，322)，∴此时k＝322×322＝92，∵点A在第一象限，∴k＞0，∴k的取值15.如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F.若AB＝2，则⊙O的半径长为

.15.43【解析】如解图，连接OC，OF，CF，过D作DG⊥CF于点G，过E作EH⊥CF于点H，∴EH∥DG，∵EF，CD是⊙O的切线，∴∠OFE＝∠OCD＝90°，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠FED＝∠CDE＝120°，∴∠COF＝120°，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC＝30°，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵∠EHF＝∠DGC＝90°，CD＝EF，∴△CDG≌△FEH(AAS)，∴FH＝CG，EH＝DG，∴四边形EHGD是矩形，∴GH＝DE＝2，∵EF＝CD＝2，∠DCG＝∠EFH＝60°，∴FH＝CG＝12EF＝1，∴CF＝CG＋GH＋FH＝4，过O作OM⊥CF于点M，∴CM＝12CF＝2，∴OC＝CMcos30°＝433解图16.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F.若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm.16.25【解析】如解图，过点E作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4

cm，FB′＝1

cm，∴B′C＝CF＋FB′＝4＋1＝5(cm)，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5

cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴DF＝CD2－CF2＝3(cm)，由折叠的性质，得BC＝B′C＝5

cm，∠BCE＝∠B′CE＝12∠BCB′＝45°，∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，设CH＝EH＝x，则BH＝5－x，∵∠B＝∠D，∴tan

B＝tan

D，∴EHBH＝CFDF，即x5－x＝43，解得x＝207，∴EH解图三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算(1－9x2)÷17.解：原式

＝x2－9＝（x＋3＝x＋18.解不等式组2x－18.解：令2x解不等式①，得x＜12解不等式②，得x＞－3，∴不等式组的解集为－3＜x＜12则原不等式组的整数解是－2，－1，0.19.如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F.求证BE＝DF.19.证明：如解图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，OB＝OD，∵AM∥CN，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE与△COF中，∠EAO＝∠FCOAO＝CO∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△解图20.社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题.(1)下列结论中，所有正确结论的序号是；①2011～2022年社会物流总费用占GDP比重总体呈先下降后稳定的趋势；②2011～2016年社会物流总费用的波动比2017～2022年社会物流总费用的波动大；③2012～2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年.(2)请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP相关的结论.20.解：(1)①③；【解法提示】2011～2022年社会物流总费用占GDP比重总体呈先下降后稳定的趋势，故①正确；2011～2016年社会物流总费用的波动范围为2.7，2017～2022年社会物流总费用的波动范围为5.7，故2011～2016年社会物流总费用的波动比2017～2022年社会物流总费用的波动小，故②错误；2012～2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年，故③正确．故正确的结论序号为①③.(2)根据统计图可得，从2011年到2022年我国的GDP逐年稳步增加；GDP的循环规律是5到7年增长，2年持平或衰退(答案不唯一，合理即可).21.某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览.(1)选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率；(2)选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为.21.解：(1)画树状图如解图①，解图①由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好是甲、乙的结果有2种，∴P(恰好是甲、乙)＝212＝1(2)12【解法提示】画树状图如解图②，解图②由树状图可知，共有24种等可能的结果，其中甲、乙在其中的结果有12种，∴P(甲、乙在其中)＝1224＝122.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30

℃，流速为20ml/s；开水的温度为100

℃，流速为15ml/s.某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60

℃的水(不计热损失)，求该学生分别接温水和开水的时间.22.解：设该学生接温水的时间为xs，根据题意，得20x×(60－30)＝(280－20x)×(100－60)，解得x＝8，∴20×8＝160(ml)，∵280－160＝120(ml)，∴120÷15＝8(s)，∴该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s.23.如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B.无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52′；无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′.AB＝10m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧.求无人机在C处时离地面的高度.(参考数据：tan

36°52′≈0.75，tan

63°26′≈2.00)23.解：如解图，延长DC交AB的延长线于点E，由题意，得DE⊥AB，CD＝5m，设BE＝xm，则AE＝AB＋BE＝(10＋x)m，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝36°52′，∴CE＝AE·tan

36°52′≈0.75(10＋x)m，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝63°26′，∴DE＝BE·tan

63°26′≈2x(m)，∵DC＋CE＝DE，∴5＋0.75(10＋x)＝2x，解得x＝10，∴CE＝0.75(10＋x)＝15(m)，∴无人机在C处时离地面的高度约为15m.解图24.如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面.在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD(不计折射)，AB∥CD.(1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变；(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm.在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大.①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为cm.24.解：(1)如解图①，设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN.∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，△OEF∽△OMN，△OEB∽△OMD，∴ABCD＝OBOD，EFMN＝OEOM，OBOD＝OEOM，∴EFMN＝AB解图①(2)①画出AB所在位置如解图②；【作法提示】以A为圆心，AB长为半径画圆，

当OQ与⊙A相切于点H时，此时CD最大为CQ.此时AB所在位置为AH.②80.【解法提示】如解图②，由①可知OQ与⊙A相切，∴∠AHG＝90°，∴∠AHG＝∠OPG＝90°，又∵∠HGA＝∠PGO，∴△AGH∽△OGP，∴AGOG＝AHOP＝1836＝12，∴设AG＝x，则OG＝2x，PG＝18＋x，在Rt△OPG中，根据勾股定理，得OP2＋PG2＝OG2，∴362＋(18＋x)2＝(2x)2，整理，得x2－12x－540＝0，解得x1＝30，x2＝－18(舍去)，∴AG＝30，∵PG∥RQ，∴由OPOR＝AGCQ，∴36解图②25.已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(a为常数，a≠0).(1)若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点；(2)若a＝－1，求证：当－1＜x＜0时，y＞0；(3)若该函数的图象与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，则a的取值范围是.25.(1)证明：∵b2－4ac＝(－2a)2－4×a×3＝4a2－12a＝4a(a－3)，a＜0，∴4a＜0，a－3＜0，∴4a(a－3)＞0，∴该函数的图象与x轴有两个公共点；(2)证明：将a＝－1代入y＝ax2－2ax＋3中，得y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵－1＜0，∴当－1＜x＜0时，y随x的增大而增大，当x＝－1时，y取得最小值，最小值为y＝0，∴当－1＜x＜0时，y＞0；(3)解：a＞3或a＜－1.【解法提示】由抛物线解析式可得对称轴为直线x＝－－2a2a＝1，且过定点(0，3)，分两种情况讨论：①当a＞0时，∵该函数的图象与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，∴当x＝1时，对应的y值在x轴下方，∴a－2a＋3＜0，解得a＞3；②当a＜0时，∵该函数的图象与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，∴当x＝－1时，对应的y值在x轴下方，∴a＋2a＋3＜0，解得a＜－1；综上所述，a的取值范围是a＞326.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，

于点E，F，射线AF交直线BC于点G.(1)求证：AC＝CG；(2)若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数；(3)当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由.26.(1)证明：如解图①，连接AO并延长交BC于点M，∵AB＝AC，∴AM⊥BC，∴∠AME＝90°，∴∠E＋∠EOM＝90°，∵AC⊥EF，∴∠ADO＝90°∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∵∠EOM＝∠AOD，∴∠E＝∠OAD，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵∠OAD＋∠DAF＝∠OAF，∠E＋∠G＝∠OFA，∴∠DAF＝∠G，∴AC＝CG；解图①(2)解：如解图②，连接AO并延长交BC于点M，连AE，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAM＝∠CAM＝12∠BAC，∠ABC＝∠ACB，BM＝CM设∠BAC＝4α，则∠BAM＝∠CAM＝2α，∠ABC＝∠ACB＝12(180°－∠BAC)＝90°－2α，由(1)知AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA＝12∠ACB＝45°－α，∴∠BAG＝∠BAC＋∠CAG＝4α＋45°－α＝45°＋∵EF⊥AC，且EF过圆心O，∴EF垂直平分AC，∴CE＝AE，∵BM＝CM，EB＝CG，∴EM＝GM，∴AM垂直平分EG，∴AE＝AG，∴CE＝AG，∵EB＝CG，∴EB＋BC＝BC＋CG，∴CE＝BG，∴AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∴45°＋3α＝90°－2α，解得α＝9°，∴∠BAC＝4α＝36°；解图②(3)解：当CG＝6，BE＝0；当CG＞6时，BE随CG的增大而增大；当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．理由如下：①如解图③，当CG＝6时，连接AO并延长交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠AME＝90°，BM＝CM＝12BC＝3由(1)知AC＝CG，∴AB＝AC＝CG＝6，∵BC＝6，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∵EF⊥AC，∴此时点B于点E重合，∴BE＝0；②如解图④，当CG＞6时，连接AO并延长交BC于点M，由(1)可得AC＝CG，∠E＝∠CAM，∠EDC＝∠AMC＝90°，∴△ACM∽△ECD，∴ACEC＝CMCD，由(1)可得CD＝12AC，∵AC＝CG，∴CGBE＋6＝3CG2，∴BE＝16CG③如解图⑤，当3＜CG＜6时，连接AO交BC于点M，同理得△ACM∽△ECD，∴ACEC＝CMCD，∴∵AC＝CG，∴CG6－BE＝3CG2，∴BE＝－16CG综上所述，当CG＝6，BE＝0；当CG＞6时，BE随CG的增大而增大；当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．解图27.在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ(0°＜θ＜180°)，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换.若顺时针旋转，记作T(A，顺θ，k)；若逆时针旋转，记作T(A，逆θ，k).例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的12，得到△A2BC2，这个变换记作T(B，逆50°，1(1)如图②，△ABC经过T(C，顺60°，2)得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C；(保留作图痕迹)(2)如图③，△ABC经过T(B，逆α，k1