2023年福建省初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2023年福建省初中学业水平考试·数学一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.下列实数中，最大的数是()A.－1 B.0 C.1 D.21.D【解析】∵2>1>0>－1，∴最大的数是2.2.右图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是()2.D【解析】这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形．3.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是()A.1 B.5 C.7 D.93.B【解析】根据三角形的三边关系得4－3<m<4＋3，解得1<m<7，∴m的值可以是5.4.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1

040

000

000用科学记数法表示为()A.104×107 B.10.4×108C.1.04×109 D.0.104×10104.C【解析】1040000000＝1.04×109.5.下列计算正确的是()A.(a2)3＝a6 B.a6÷a2＝a3C.a3·a4＝a12 D.a2－a＝a5.A【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A(a2)3＝a2×3＝a6√Ba6÷a2＝a6－2＝a4≠a3×Ca3·a4＝a3＋4＝a7≠a12×Da2与a不是同类项，无法合并×6.根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43

903.89亿元，2022年的地区生产总值为53

109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程()A.43903.89(1＋x)＝53109.85B.43903.89(1＋x)2＝53109.85C.43903.89x2＝53109.85D.43903.89(1＋x2)＝53109.856.B【解析】根据题意得，43903.89(1＋x)2＝53109.85.7.阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是()A.∠1＝∠2且CM＝DM B.∠1＝∠3且CM＝DMC.∠1＝∠2且OD＝DM D.∠2＝∠3且OD＝DM7.A【解析】由作图步骤可知，OM平分∠AOB，CM＝DM，∴∠1＝∠2.8.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：分钟)，并制作了如图所示的统计图．

根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是()A.平均数为70分钟 B.众数为67分钟 C.中位数为67分钟 D.方差为08.B【解析】由题图可知，小亮该周每天校外锻炼时间的平均数为65＋67＋70＋67＋75＋79＋88,7＝73(分钟)，故A选项不正确；众数为67分钟，故B选项正确；小亮该周每天校外锻炼时间按从小到大排列为65，67，67，70，75，79，88，∴中位数为70分钟，故C选项不正确；方差为1,7×[(65－73)2＋2×(67－73)2＋(70－73)2＋(75－73)2＋(79－73)2＋(88－73)2]＝410,7，故D选项不正确．9.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝3x和y＝nx的图象的四个分支上，则实数n的值为(A.－3 B.－1C.13 D9.A【解析】如解图，设正方形在第一、二象限的顶点分别为A，B，∴点A在反比例函数y＝3x的图象上，点B在反比例函数y＝nx的图象上，∴设点A的坐标为(a，3a)(a＞0)．易得正方形的中心即为坐标原点，连接OA，OB，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM＋∠OAM＝90°.∵∠AOM＋∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM≌△OBN，∴BN＝OM＝a，ON＝AM＝3a，∵点B在第二象限，∴点B的坐标为(－3a，a)，∴n＝－解图10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率

π的近似值为

3.141

6.如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计

⊙O的面积，可得

π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得

π的估计值为(A.3 B.22C.3 D.2310.C【解析】圆的内接正十二边形的面积可以看作12个全等三角形组成，如解图，过点A作AM⊥OB于点M，∴∠AOB＝360°,12＝30°，在Rt△AOM中，sin∠AOB＝AMAO，∴AM＝AO·sin∠AOB＝1×sin

30°＝12，∴S△AOB＝12BO·AM＝12×1×12＝14，∴S圆＝14×12＝解图二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作＋10，那么出货5件应记作

________．11.－5【解析】∵进货10件记作＋10，∴出货5件应记作－5.12.如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为

________.

12.10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵O为BD的中点，∴OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，∴CD－DF＝AB－BE，∴CF＝AE＝10.13.如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为

________．13.10【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝10.14.某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：项目应聘者综合知识工作经验语言表达甲758080乙858070丙707870如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按

5∶2∶3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是

________．14.乙【解析】由题意可得，甲的成绩为75×50%＋80×20%＋80×30%＝77.5，乙的成绩为85×50%＋80×20%＋70×30%＝79.5，丙的成绩为70×50%＋78×20%＋70×30%＝71.6，∵79.5＞77.5＞71.6，∴被录用的是乙．15.已知

1a＋2b＝1，且a≠－b，则

ab－15.1【解析】∵1a＋2b＝1，∴bab＋2aab＝b＋2aab＝1，∴ab＝2a＋b，∴ab−aa＋b＝16.已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)，B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是

________．16.－1<n<0【解析】抛物线的对称轴为直线x＝－b,2a＝1，∵a>0，∴抛物线开口向上，∵y1<y2，∴若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧时，由题意可得2n不等式组无解；若点B在对称轴的左侧，点A在对称轴的右侧时，由题意可得2n解得－1<n<0，∴n的取值范围为－1<n<0.三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.计算：9－20＋|－1|.17.解：原式＝3－1＋1＝3.18.解不等式组：218.解：解不等式①，得x<1，解不等式②，得x≥－3，∴原不等式组的解集为－3≤x<1.19.如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.求证：AB＝CD.

19.证明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD.在△AOB

和△COD中，OA∴△AOB≌△COD(SAS)，∴AB＝CD.20.先化简，再求值：(1－x＋1x)÷x2－1x20.解：原式＝(1－x＋1x＝x−(x+＝－1x·＝－1x当x＝2－1

时，原式＝－12−1+21.如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC.(1)求证：AO∥BE；(2)求证：AO平分∠BAC.

21.证明：(1)∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；(2)∵∠ABE

与∠ACE

都是AE⌒所对的圆周角，∴∠ABE＝∠∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由(1)知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC.22.为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．22.解：(1)该顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，∴P(A)＝14，∴该顾客首次摸球中奖的概率为1(2)他应往袋中加入黄球．理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球的所有可能的结果列表如下：第二球第一球红黄①黄②黄③新红红，黄①红，黄②红，黄③红，新黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新新新，红新，黄①新，黄②新，黄③由表格可知，共有20种等可能的结果，(i)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1＝820＝2(ii)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2＝1220＝3∵25<35，∴P1<P2，∴他23.阅读下列材料，回答问题.任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图①.工具：一把皮尺(测量长度略小于

AB)和一台测角仪，如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图③.小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度

AB.其测量及求解过程如下：测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C，如图④，测得AC＝a

m，BC＝b

m；(ⅱ)分别在

AC，BC上测得

CM＝a3

m，CN＝b3

m；测得

MN＝c

求解过程：由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝a3，CN＝b∴CMCA＝CNCB＝1∴△CMN∽△CAB，∴MNAB＝又

∵MN＝c，∴AB＝__②__(m)．故小水池的最大宽度为***m.(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB用到的几何知识是

________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分)．23.(1)①∠C＝∠C；②3c；(2)相似三角形的判定与性质；(3)测量过程：(i)在小水池外选点C,

如解图，用测角仪在点B

处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β；(ii)用皮尺测得BC＝am.求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a.如解图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△CBD中，cos∠CBD＝BDBC，即cosα＝BDa，∴同理

，CD＝asinα.在Rt△ACD

中，tan∠CAD＝CD即tanβ＝asin

αAD，∴AD＝asin

αtanβ，∴故小水池的最大宽度为(acosα＋asin解图24.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C(4，3)，D(m，－34)，且m＜2，求证：C，D，E三点共线(3)小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．24.(1)解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)，B(3，0)，∴a＋b＋3∴抛物线的函数表达式为y

＝x2

－4x

＋3；(2)证明：设直线CE的函数表达式为y＝kx＋n(k≠0)，∵E为AB中点，∴E(2，0)．∵C(4，3)，∴4k＋n＝∴直线CE的函数表达式为y＝32∵点D(m，－34)在抛物线上，∴m2－4m＋3＝－3解得m＝32或m＝5又∵m＜2，∴m＝32，∴D(32，－3∵32×32－3＝－即点D(32，－34)在直线CE上，即C，D，E三点共(3)解：△ABP的面积为定值，S△ABP＝2.【解法提示】

∵C，D，E三点共线，即直线CD过定点E(2，0)，设直线CD的函数表达为y＝kx＋b，则0＝2k＋b，b＝－2k，y＝kx－2k＝k(x－2)，联立y＝k(x－2)y＝x2－4x＋3，得x2－4x＋3＝k(x－2)，整理得x2－(4＋k)x＋3＋2k＝0，Δ＝16＋8k＋k2－12－8k＝4＋k2＞0，∴xC＋xD＝4＋k，xC·xD＝3＋2k.设直线AD的函数表达式为y＝mx＋n，将A(1，0)，D[∴直线AD的函数表达式为y＝k(xD－2)xD－1x－k(xD－2)xD－1＝k(xD－2)xD－1

(x－1)，整理得y(xD－1)＋k(xD－2)＝k(xD－2)x①；同理可得直线BC的函数表达式为y＝k(xC－2)xC－3x－3k(xC－2)xC－3＝k(xC－2)xC－3(x－3)，整理得y(xC－3)＋3k(xC－2)＝k(xC－2)x②；∵直线AD与直线BC相交于点P，联立①②得

y(xD－1)＋k(xD－2)y(xC－3)＋3k(xC－2)＝xD－2,xC－2，∴y(xD－1)(xC－2)＋k(xD－2)(xC－2)＝y(xC－3)(xD－2)＋3k(xC－2)(xD－2)，∴y[(xD－1)(xC－2)－(xC－3)(xD－2)]＝2k(xC－2)(xD－2)，∴y(xDxC－2xD－xC＋2－xDxC＋3xD＋2xC－6)【一题多解】△ABP的面积为定值，其面积为2.【解法提示】如解图①，当C，D分别运动到点C′，D′的位置时，C，D′与D，C′分别关于直线EM对称，此时仍有C′，D′，E三点共线．设AD′与BC′的交点为P′，则P，P′关于直线EM对称，即PP′∥x

轴．此时，PP′与AM不平行，且AM不平分线段PP′，故P，P′到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP

与△AMP′的面积不相等，∴△AMP的面积不为定值．如解图②，当C，D分别运动到点C1

，D1的位置，且保持C1

，D1，E三点共线．此时AD1

与BC1

的交点P1

到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，∴△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP的面积不为定值．又∵△AMP，△MEP，△ABP中存在面积为定值的三角形，∴△ABP的面积为定值．在(2)的条件下，直线BC对应的函数表达式为y＝3x－9；直线AD对应的函数表达式为y＝－32x＋32，联立y＝3x－9y＝－32x＋32，解得25.如图①，