专题22 特殊平行四边形（检测）

专题22特殊平行四边形综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（）1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC2．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）A．12 B．16 C．20 D．243．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．米 B．6米 C．米 D．3米4．如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．26．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（）A．4 B．2 C．4 D．28．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（）A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5°9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（）A．3 B．3.5 C．2 D．2.510．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AM∥BD，DM∥AC，若四边形AODM的周长为12，则BC的长为（）A．3 B．6 C． D．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为．12．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为．13．如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是．14．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，连接OE．下列结论：①△ODC是等边三角形；②CD＝BE；③BC＝2AB；④S△AOE＝S△COE．其中正确的有（填序号）．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P的坐标为．16．如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，点E在边CD上，连接AE，在AE上取点F，连接OF，若∠DOF+∠AED＝90°，tan∠CAE＝，则OF的长为．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（8分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：DE＝BF；（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．19．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是正方形AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．23．（10分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

专题22特殊平行四边形综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC【答案】B【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BDC＝∠CBD，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；B、∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；故选：B．2．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝4，∴菱形的周长为：4×4＝16；故选：B．3．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．米 B．6米 C．米 D．3米【答案】A【解答】解：如图，记AC与BD的交点为O．∵四边形ABCD是菱形，且周长为24米，∴AC⊥BD，AC＝2OA，∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝6米．∵AB＝AD，∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝6米，∴OB＝OD＝3米，又∵AC⊥BD，∴（米），∴（米）．故选：A．4．如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）【答案】A【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝5，即CD∥x轴，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故选：A．5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．2【答案】C【解答】解：如图，连接CE，在矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝8，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即AE的长为5．故选：C．6．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解；如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴G、B、E三点共线，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，设BE＝x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，∴BE的长为2．故选：A．7．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（）A．4 B．2 C．4 D．2【答案】B【解答】解：连接AC、CF，如图：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故选：B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（）A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE，∵∠E+∠ACE＝180°﹣45°＝135°，∴2∠ACE＝135°，∴∠ACE＝67.5°，∴∠BCE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠BCE的度数是22.5°，故选：D．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（）A．3 B．3.5 C．2 D．2.5【答案】D【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴AC＝2MN＝2×3＝6，∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，AC•BD＝24，即×6×BD＝24，∴BD＝8，∴OD＝BD＝4，在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，∵点M是AD的中点，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD＝2.5，故选：D．10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AM∥BD，DM∥AC，若四边形AODM的周长为12，则BC的长为（）A．3 B．6 C． D．【答案】D【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，∴AC＝BD，∠AOB＝60°，∵矩形对角线相互平分，∴OA＝OB＝OC＝OD，△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝OC＝OD∴在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，，∵AM∥BD，DM∥AC，∴四边形AODM是平行四边形，∵OA＝OD，∴四边形AODM是菱形，∴OA＝OD＝DM＝AM，∵菱形AODM的周长为12，∴AB＝3，∴，故选：D．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为3．【答案】3．【解答】解：解法一：过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴PE＝PF＝3，∴点P到直线AB的距离为3．解法二：过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠PAE＝45°，∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵AE＝PE，∴四边形AFPE为正方形，∴AE＝PF＝3，∴点P到直线AB的距离为3．故答案为：3．12．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为67.5°．【答案】67.5°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），∴∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故答案为：67.5°．13．如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接CE，，设DE＝x，则AE＝8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3，∴DE的长是3．故答案为：3．14．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，连接OE．下列结论：①△ODC是等边三角形；②CD＝BE；③BC＝2AB；④S△AOE＝S△COE．其中正确的有①②④（填序号）．【答案】①②④．【解答】解：∵在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AE平分∠BAD，∴，OA＝OB＝OC＝OD，∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，又∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠COD＝∠AOB＝60°，又∵OC＝OD，∴△ODC是等边三角形，故①正确；∵在矩形ABCD中，∠ABE＝90°，AB＝CD，又∵∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB，∴CD＝BE，故②正确；∵△OAB是等边三角形，∴AB＝OA，又∵OA＝OC，∴AC＝2AB，∵BC＜AC，∴BC＜2AB，故③错误；∵△AOE和△COE的底边OA＝OC，点E到AC的距离相等，∴S△AOE＝S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．16．如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，点E在边CD上，连接AE，在AE上取点F，连接OF，若∠DOF+∠AED＝90°，tan∠CAE＝，则OF的长为．【答案】．【解答】解：设AE与BD相交于点H，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴∠AOH＝90°，在Rt△AOH中，∵，∴，∵，∴，∴，根据勾股定理可得：，∵∠DOF+∠AED＝90°，又∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DOF＝∠EAD，∵∠OHF＝∠AHD，∴△OHF∽△AHD，∴，即，∴，故答案为：．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（8分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：DE＝BF；（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，∴∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF，又∵AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE＝BF．（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，又∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是矩形．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，∵CE＝BC，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AB＝DC，AE＝AB，∴AE＝DC，∴四边形ACED是矩形；（2）∵四边形ACED是矩形，∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，∴OA＝OC，∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC＝4，∴CD＝8．19．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）24．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点，∴AD＝BC，BD＝CD＝BC，∵AE＝BD，∴AE＝DC，∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD＝DC，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵平行四边形ADCE是菱形，∴S△ADC＝S△AEC，∵D是BC的中点，∴S△ADC＝S△ABD，∴菱形ADCE的面积＝三角形ABC的面积＝AC•AB＝6×8＝24．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC，∴四边形BDCE为平行四边形，∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，∴，∴四边形BDCE为菱形；（2）解：连接DE交BC于O点，如图，∵四边形BDCE为菱形，BC＝4，∴，∴∠ACB＝60°，∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°，∴DC＝2OC＝4，DO＝OC＝2，∴．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是正方形AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）4．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC，EN⊥CD∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE．（2）解：CE+CG的值是定值，定值为4．理由：∵EF＝DE．∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×2＝4．22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停