专题32 锐角三角函数及其应用（讲义）（3考点+25题型+3类型）

第32讲锐角三角函数及其应用目录TOC\o"1-2"\h\u考点一锐角三角函数 3题型01理解正弦、余弦、正切的概念 4题型02求角的正弦值 5题型03求角的余弦值 6题型04求角的正切值 7题型05已知正弦值求边长 8题型06已知余弦值求边长 9题型07已知正切值求边长 10题型08含特殊角的三角函数值的混合运算 12题型09求特殊角的三角函数值 12题型10由特殊角的三角函数值判断三角形形状 12题型11用计算器求锐角三角函数值 13题型12已知角度比较三角函数值大小 13题型13根据三角函数值判断锐角的取值范围 14题型14利用同角三角函数关系求解 14题型15求证同角三角函数关系式 14题型16互余两角三角函数关系 16考点二解直角三角形 17题型01构造直角三角形解直角三角形 18题型02网格中解直角三角形 19题型03在坐标系中解直角三角形 20题型04解直角三角形的相关计算 21题型05构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 22考点三解直角三角形的应用 25题型01仰角、俯角问题 27题型02方位角问题 34题型03坡度坡比问题 38题型04坡度坡比与仰角俯角问题综合 39考点要求新课标要求命题预测锐角三角函数利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函数值.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.解直角三角形能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.解直角三角形的应用

考点一锐角三角函数1.锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定义表达式图形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.锐角三角函数的关系：在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：tanA=sin2)互余两角的三角函数关系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°2332313【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.5.锐角三角函数的性质性质前提：0°＜∠A＜90°sinA随∠A的增大而增大cosA随∠A的增大而减小tanA随∠A的增大而增大易混易错1.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如tanA、sina、cosA.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方时,一般写成tannA,它与3.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关.4.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.题型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则A．35 B．34 C．45【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（）

A．sinα的值越大，梯子越陡 B．cosα的值越大，梯子越陡 C．tanα的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（）A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB题型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（

A．45 B．35 C．34【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（

A．21313 B．31313 C．【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（

A．355 B．175 C．3题型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（

A．45 B．35 C．43【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cos∠BAC的值为【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．题型04求角的正切值【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____．【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的长．题型05已知正弦值求边长【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则A．5003 B．5035 C．60【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（

）A．60sin50° B．60sin50° C．【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点A．10 B．24 C．48 D．50题型06已知余弦值求边长【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝45，则线段CE的最大值为_____【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值．题型07已知正切值求边长【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（

A．25+34 B．25+1 【变式7-1】（2023·山东日照·校考三模）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，则AD的长是___________【变式7-2】（2023·江西萍乡·统考二模）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA=25，tanA=12，反比例函数y=kx的图像经过OA的中点(1)求k值；(2)求△OBD的面积．【变式7-3】（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半径．题型08含特殊角的三角函数值的混合运算【例8】（2022·贵州·模拟预测）计算8+|−2|×cos45°A．2 B．32 C．22+【变式8-1】（2023·湖南株洲·校考一模）计算：12−1+【变式8-2】（2023·山东济南·模拟预测）计算：12+【变式8-3】（2023·山东聊城·统考一模）先化简，再求值：a+1−3a−1题型09求特殊角的三角函数值【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理数的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1−tan60°|的值为（A．1−3 B．0 C．3−1 题型10由特殊角的三角函数值判断三角形形状【例10】（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanB−3+2cosA．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【变式10-1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考二模）在△ABC中，sinA=cos90°−C=2A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【变式10-2】（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若sinA−32+12−cosB题型11用计算器求锐角三角函数值【例11】（2022·山东烟台·统考一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18＇，按键顺序正确的是（

）A．B．C．D．【变式11-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（已精确到0.001）11.3100.00314.7440.005题型12已知角度比较三角函数值大小【例12】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan【变式12-1】（2020·江苏扬州·统考一模）比较大小：sin81∘____tan47°(填“<”“【变式12-2】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为_____，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系__________．题型13根据三角函数值判断锐角的取值范围【例13】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（

）A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间【变式13-1】（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝13，则（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【变式13-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【变式13-3】（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α满足cosα＜22且tanα＜3，则αA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°题型14利用同角三角函数关系求解【例14】（2021·江苏扬州·统考一模）已知∠α为锐角，且sinα=513，则【变式14-1】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知CF=4，sin∠EFC=35，则

题型15求证同角三角函数关系式【例15】（2021·北京·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB=3，tan∠DBC=34【变式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若α为锐角，则sin2(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC(2)根据（1）中所画图形证明该命题．【变式15-2】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，题型16互余两角三角函数关系【例16】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简sin28°−cos28°A．sin28°−cosC．cos28°−sin【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）已知sin42°≈23，则cosA．53 B．13 C．32【变式16-2】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67【变式16-3】（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.

考点二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B2）三边之间的关系：a23）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°4）边角之间的关系：sinA=∠A所对的边斜边=ac，sinB=∠BcosA=∠A所邻的边斜边tanA=∠A所对的边邻边解直角三角形常见类型及方法：已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c,a)①②③∠B=90°－∠A两直角边(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一边和一锐角斜边和一锐角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角边和一锐角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角边和一锐角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③易混易错1.在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).2.已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.题型01构造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（

A．32 B．35 C．37【变式1-1】（2021·山东聊城·统考一模）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为（

A．2 B．52 C．5 【变式1-2】（2022·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【变式1-3】（2022·浙江杭州·校考一模）在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【变式1-4】（2022·河南安阳·模拟预测）公交总站(点A)与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点离公交总站的距离即AB的长（结果保留根号）．题型02网格中解直角三角形【例2】（2022·江苏常州·校考二模）已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则tanα+β=【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin∠ADC2的值是【变式2-2】（2022·四川广元·校考一模）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为_______．【变式2-3】（2021·北京延庆·统考一模）如图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠MON的值是______题型03在坐标系中解直角三角形【例3】（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点P1,2，那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα=【变式3-1】（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=A．−2,4 B．−43,23 【变式3-2】（2021·山东枣庄·校联考一模）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34【变式3-3】（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x．则点C到x轴的距离等于（

）A．acosx+bsinx B．acosx+b题型04解直角三角形的相关计算【例4】（2023·上海奉贤·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．【变式4-1】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____

cm．(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm．【变式4-2】（2022·上海金山·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB=12，则tan∠DEC【变式4-3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．题型05构造直角三角形求不规则图形的边长或面积【例5】（2022·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（

）A．34 B．32 C．3 【变式5-1】（2020·山西·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，AB=BC=2, ∠ABC=60°，过点D作DE//AC，DE=12AC【变式5-2】（2021·江西赣州·统考一模）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB=BE=ED=CD=14cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直径过CD的中点F（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：3≈1.732，sin16.07°≈0.2768，cos73.93°≈0.2768【变式5-3】（2022·山东烟台·统考二模）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，ΔBCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压柄ΔBCD按压到底时，BD转动到BD'，此时（1）求点D转动到点D'的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，【变式5-4】（2022·山西吕梁·统考一模）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈

考点三解直角三角形的应用解直角三角形的相关的名词、术语：1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形实际应用的一般步骤：1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．测量物体的高度的常见模型：1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.2）测量底部可以到达的物体高度模型需测量数据数量关系原理测量仪高m，水平距离n，倾斜角αtanh=m+n•矩形的性质与直角三角形的边角关系水平距离n，仰角α，俯角βtana=h=h1+h3）测量底部不可到达的物体的高度题型01仰角、俯角问题类型一利用水平距离测量物体高度【例1】（2023·陕西·模拟预测）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（

A．8(3−3)m B．8(3+3)m【变式1-1】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF=15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（

）A．15sin32° B．15tan64° C．【变式1-2】（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，【变式1-3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：2【变式1-4】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

类型二测量底部可以到达的物体高度【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为_______m（结果保留根号）．【变式2-1】（2020·广东梅州·统考模拟预测）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是____【变式2-2】（2023·广东中山·中山市华侨中学校考一模）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．（参考数据：sin37°≈0.60,【变式2-3】（2021·河北石家庄·校联考一模）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A,B,C,M在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）（参考数据sin14【变式2-4】（2023·浙江金华·统考二模）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度类型三测量底部不可到达的物体的高度【例3】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为________m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，

【变式3-1】（2023·山东东营·校联考一模）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）【变式3-2】（2023·天津·模拟预测）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan【变式3-3】（2022·浙江绍兴·校考一模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据：sin33°≈0.54,【变式3-4】（2023·四川宜宾·校考一模）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点E,F（E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间的距离m，点O1,O2到地面的距离O1【变式3-5】（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos题型02方位角问题【例4】（2023·山东泰安·统考一模）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为________海里．（参考数据：sin37°≈35，cos【变式4-1】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3【变式4-2】（2023·湖南岳阳·校联考一模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【变式4-3】（2022·重庆·重庆一中校考一模）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：2≈1.414，7【变式4-4】（2023·重庆江北·校考一模）如图所示，在一次海上救援演习中，游艇A按计划停泊在搜救艇B的南偏东30°方向上，同时，在搜救艇B的正南方向，与搜救艇B相距40海里处还设置了另一支搜救艇C，此时游艇A在搜救艇C的东北方向上，随着演习正式开始，游艇A按计划向搜救艇B与C同时发出求救信号，并在原地等待救援．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，(1)在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距多少海里？（结果保留根号）(2)若搜救艇B与C同时收到游艇A的求救信号，它们同时出发实施救援行动，搜救艇B沿BA行驶，搜救艇C西东沿CA行驶，其中搜救艇B的速度为每小时25海里，搜救艇C的速度为每小时16海里，请通过计算判断哪支搜救艇先到达游艇A的所在地？【变式4-5】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，一条自西向东的道路上有两个公交站点，分别是B和C，在B的北偏东60°方向上有另一公交站点A．经测量，A在C的北偏西30°方向上，一辆公交车从B出发，沿BC行驶15003−1500米到达D处，此时D在A的西南方向．（参考数据：2≈1.414(1)求CD的距离；（结果保留根号）(2)该公交车原计划由D→C行驶，其平均速度为400米/分，但当行驶到D点时，接到通知，DC段道路正在维修，需要沿D→A→C绕道行驶，为了尽快到达C站点，绕道时其平均速度提升到500米/分．那么原计划所用时间和实际所用时间相比，哪个更少？请说明理由．（结果保留1位小数）题型03坡度坡比问题【例5】（2022·江苏南通·校考一模）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为

________米（结果保留根号）【变式5-1】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是_______【变式5-2】（2023·上海静安·统考一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，则迎水坡AB的坡角【变式5-3】（2020·河南周口·统考一模）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD题型04坡度坡比与仰角俯角问题综合【例6】（2022·山东济南·校考一模）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【变式6-1】（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα=45．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：3【变式6-2】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡，坡面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：2≈1.41，3

(1)求坡面BC的长度？（结果保留根号）(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到0.1）

第32讲锐角三角函数及其应用答案解析考点一锐角三角函数题型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，则cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则A．35 B．34 C．45【答案】C【分析】根据三角函数的定义得到BCAB=35，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到【详解】解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sin∴BC设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得：AC=A∴cos故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（）

A．sinα的值越大，梯子越陡 B．cosC．tanα的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α【答案】A【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinαcosαtanα陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（）A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB【答案】D【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝ac，则a=c·tanA＝ab，则b＝acosB＝ac，则a＝ccosB故选：D．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【答案】A【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，∴∠A的大小没有变，∴tanA的值不变．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c∴sinB=bctanB=ba故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．题型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（

A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【详解】解：连接OA∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=BP∠APD=∠BPD∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故选A．【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（

A．21313 B．31313 C．【答案】A【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．【详解】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt△ACB中，AB=A根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ACAB∴sin∠ADC=2故选A．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（

A．355 B．175 C．3【答案】D【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得线段AC【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°，∴AC=A∴sin∠ACB=故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．题型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【答案】C【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，∵每个小正方形的边长为1，∴AC=5设AD=x，则BD=5−x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10−(5−x)解得x=2，∴cos∠BAC=故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（

A．45 B．35 C．43【答案】A【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．【详解】解：连接AD，如右图所示，∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值为45故选：A．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cos∠BAC的值为【答案】2【分析】根据AC2=12+32=10，BC2【详解】如图，∵AC2=12∴AC∴△ABC是直角三角形，∠∴cos∠故答案为：2【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝∴cos∠ECB＝BCEC＝2210∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝1010∴cos∠CDA的值为1010【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．题型04求角的正切值【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____．【答案】3【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝12∠ABC【详解】连接BC、AC，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案为：33【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，证得OF为△ABC的中位线，求出OF【详解】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点O作OF⊥BC于F，∵CE=OA,sin∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=AB∵OA=OB，OF∥AC，∴BFCF∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF为△ABC的中位线，∴OF=12∴tan∠CEO=OF【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的长．【答案】(1)1(2)CH【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=12【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,∴DG=CG-CD=2，AD∥∴△ADK∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴GK=∴tan∠GFK（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF−AB=3−1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=∴CH=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．题型05已知正弦值求边长【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则A．5003 B．5035 C．60【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC故选D．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（

）A．60sin50° B．60sin50° C．【答案】A【分析】先求出∠B=180°−88°−42°=50°，再用三角函数定义，求出AD=AB×sin【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠A=88°，∠C=42°，∴∠B=180°−88°−42°=50°，在Rt△ABD中，AD=AB×∴点A到BC的距离为60sin故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8)，将点C坐标代入解析式可求k的值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，∴OC=OA=10，∵sin∠COA=∴CE=8，∴OE=∴点C坐标(6,8)∵若反比例函数y=kx(k>0,x>0)∴k=6×8=48故选C．【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．题型06已知余弦值求边长【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 【答案】B【分析】根据余弦的定义即可求解．【详解】解：∵∠C=90°,cos∴AB=AC故选B．【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝45，则线段CE的最大值为_____【答案】6.4【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函数的性质求【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，∵AB＝AC，∴BG＝CG，∵∠ADE＝∠B＝α，∴cosB＝cosα＝BGAB＝4∴BG＝45∴BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BD∴CE＝﹣110x2+8＝﹣110（x﹣8）2当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.故答案为：6.4.

【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值．【答案】（1）300；（2）11722；（3）【分析】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，先根据现有条件求出AK，然后即可求出平行四边形ABCD的面积；（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，先证明ΔPEA≅ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，DE=12，再证明ΔGBF~ΔECF，得出BFCF（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，根据已知推出点F在与直线AA'夹角为α2且经过点A'的直线上运动，设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=413，根据RtΔ【详解】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，∵AB//CD，∴∠ADK=∠DAB，∵cos∠DAB=5∴DK=AD⋅cos∴AK=A∴平行四边形ABCD的面积为AB×AK=25×12=300；（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，∴∠ADP=∠P，∵∠DAB=α，DC//AB，∴∠ADP=∠DAB=α，∴∠P=α，又∠AEF=∠C=α，EA=EF，由∠PEA+∠CEF=180°−α，∠EFC+∠CEF=180°−α，∴∠PEA=∠EFC，∴ΔPEA≅ΔCFE，∴CE=AP=13，PE=CF，∴DE=CD−CE=25−13=12，由（1）得AK=12，∴在RtΔAKD中，KD=5，∴PD=10，∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，∴BF=CF−CB=22−13=9，∵BG//CE，∴ΔGBF~ΔECF，∴BF∴9∴BG=117（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A∵EA=EA∴点A'、F在⊙E∵∠AEF=α，∴∠AA∴点F在与直线AA'夹角为α2设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点当点F与H重合时，CF取得最小值，易得RtΔA∴∠QCH=∠MA又∠DCB=α，∴∠BCH=α∴ΔQCR为等腰三角形，∴CQ=CR，由（2）得CR=22，MD=5，∴CQ=22，又CM=CD+DM=25+5=30，∴MQ=CM−CQ=30−22=8，∴在RtΔA'MQ由RtΔA∴A∴4∴CH=66即CF的长度的最小值是6613【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解题的关键．题型07已知正切值求边长【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（

A．25+34 B．25+1 【答案】B【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，∵∠ABC=90°，tan∠BAC=∴tan∠DAP=∴DPAD∵AD=2，∴DP=1，∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，∴△ADP∽△ABC，∴APAC∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，∴∠DAB=∠PAC，APAC∴△ADB∽△APC，∴ADAP∵AP=A∴PC=AP⋅DB∴PD+PC=1+25，PC−PD=2在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD<DC，∴25当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为25故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．【变式7-1】（2023·山东日照·校考三模）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，则AD的长是___________【答案】2【分析】如图，连接AB，设AD,BC交于点E，根据题意可得AB是⊙O的直径，∠ADB=90°，设AC=m，证明△CED∽△AEB，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出AE,ED，根据Rt△ABC，勾股定理求得m=5a【详解】解：如图，连接AB，设AD,BC交于点E，∵∠ACB＝90°∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵tan∠CBD＝13∴DE在Rt△DEB中，BE=∵CD∴∠CBD=∠CAD，∴tan∠CAD=∴设AC=m则CE=1∵AC＝BC，∴EB=2∴DE=10Rt△ACE中，AE=∴AD=AE+ED=2∵DB∴∠ECD=∠EAB,又∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴CD∵CD=a，∴AB=10∵AC=BC=m，∴AB=2∴2解得m=5∴AD=2故答案为：22【点睛】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．【变式7-2】（2023·江西萍乡·统考二模）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA=25，tanA=12，反比例函数y=kx的图像经过OA的中点(1)求k值；(2)求△OBD的面积．【答案】(1)2(2)3【分析】（1）在RtΔACO中，∠ACO=90°，tanA=12，再结合勾股定理求出OC=2，AC=4，得到A（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据AD∥y轴，选择AD为底，利用S△OBD【详解】（1）解：根据题意可得，在RtΔACO中，∠ACO=90°，∴AC=2OC，∴OC∴OC=2，AC=4，∴A2,4∵OA的中点是B，∴B1,2∴k=2；（2）解：当x=2时，y=1，∴D2,1∴AD=4−1=3，∴S△OBD=S【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的k，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．【变式7-3】（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若