广东省珠海市第十一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年广东省珠海十一中八年级（上）期中数学试卷及解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（）组．A．4，7，3 B．4，7，4 C．4，7，11 D．4，7，123．（3分）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（）A． B． C． D．4．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性5．（3分）在平面直角坐标系中，则与点B（﹣5，1）关于y轴对称的点B′的坐标为（）A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，﹣1） D．（5，1）6．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a5 B．（﹣a）2•（﹣a4）＝（﹣a）6 C．﹣a4•（﹣a）3＝（﹣a）7 D．﹣a4•a3＝﹣a127．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．① B．② C．③ D．①和②8．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（）A．12° B．15° C．18° D．22°9．（3分）在直角坐标系中，已知A（3，3），在x轴、y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个10．（3分）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB＝30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP＝4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．12二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知正n边形的每一个内角都等于144°，则n的值为．12．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为米．13．（3分）已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为．15．（3分）如图，△ABC的面积为9，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为．三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）16．（7分）计算：（1）a3•a6+（﹣2a3）3；（2）m（m﹣2）﹣2m（1﹣3m）．17．（7分）已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AB＝CD，AE＝DF，求证：BF∥CE．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格格点上，点B坐标为（3，1）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PC最短．四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：△ACD是等腰三角形．20．（9分）如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）．（1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简）（2）如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知m＝5米，n＝3米，那么修建观景台需要费用多少元？21．（9分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P、BQ⊥AD于点Q、PQ＝6，PE＝2．（1）求证：AD＝BE；（2）求AD的长．五、解答题（三）（共2小题，22题13分，23题14分，共27分）22．（13分）【模型定义】“手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．【模型探究】（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．【模型应用】（2）如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD．【拓展提高】（3）如图3，两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB﹣AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，则BD和CE的数量关系和位置关系是：．【深化模型】（4）如图4，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④AO＝OD；⑤∠AOB＝60°；⑥OC平分∠AOE；⑦OC平分∠BCD．恒成立的结论有．（选填序号）23．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝，当N在F→C路径上时，CN＝．（用含t的代数式表示）②当△MDC与△CEN全等时，求出t的值．

2023-2024学年广东省珠海十一中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：A．2．（3分）以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（）组．A．4，7，3 B．4，7，4 C．4，7，11 D．4，7，12【答案】B【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【解答】解：A、4+3＝7，4，7，3不能组成三角形，故本选项不符合题意；B、4+4＝8＞7，4，7，4能组成三角形，故本选项符合题意；C、4+7＝11，4，7，11不能组成三角形，故本选项不符合题意；D、4+7＝11＜12，4，7，12不能够组成三角形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（3分）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形高的定义判断即可．【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上，所以正确画出AC边上的高的是D选项，故选：D．4．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性【答案】D【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．5．（3分）在平面直角坐标系中，则与点B（﹣5，1）关于y轴对称的点B′的坐标为（）A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣5，﹣1） D．（5，1）【答案】D【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解．【解答】解：∵点B（﹣5，1）与点B′关于y轴对称，∴B′的坐标为（5，1），故选：D．6．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a5 B．（﹣a）2•（﹣a4）＝（﹣a）6 C．﹣a4•（﹣a）3＝（﹣a）7 D．﹣a4•a3＝﹣a12【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．【解答】解：A、（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）5＝﹣a5，该选项正确，符合题意；B、（﹣a）2•（﹣a4）＝a2•（﹣a4）＝﹣a6，该选项错误，不合题意；C、﹣a4•（﹣a）3＝a4•a3＝a7，该选项错误，不合题意；D、﹣a4•a3＝﹣a7，该选项错误，不合题意；故选：A．7．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．① B．② C．③ D．①和②【答案】C【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．故选：C．8．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（）A．12° B．15° C．18° D．22°【答案】A【分析】由∠FEB＝63°，∠FED＝45°，结合∠DEB＝∠FEB﹣∠FED，可求出∠DEB的度数，由∠ABC是△BDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠EDB的度数．【解答】解：∵∠FEB＝63°，∠FED＝45°，∴∠DEB＝∠FEB﹣∠FED＝63°﹣45°＝18°．又∵∠ABC是△BDE的外角，∴∠EDB＝∠ABC﹣∠DEB＝30°﹣18°＝12°．故选：A．9．（3分）在直角坐标系中，已知A（3，3），在x轴、y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个【答案】C【分析】作出图形，以AO为底边与腰长两种情况确定出点P的位置，即可得解．【解答】解：如图所示，AO为底边时，点P可以有两个位置，AO为腰长时，点P可以有6个位置，所以，符合条件的点P共有8个．故选C．10．（3分）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB＝30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP＝4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，得到△PMN的周长的最小值为FG，再证得△FOG为边长为4的等边三角形即可得出答案．【解答】解：作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，如图：∴MP＝MF，NP＝NG，∴△PMN的周长的最小值为FG，由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，OP＝OF，OP＝OG，∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝4，∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝4，∴△FOG为边长为4的等边三角形，∴FG＝4，∴△PMN的周长的最小值为4．故选：A．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知正n边形的每一个内角都等于144°，则n的值为10．【答案】见试题解答内容【分析】首先计算出每一个外角的度数，利用外角和除以外角度数可得边数．【解答】解：∵正n边形的每一个内角都等于144°，∴每一个外角都是180﹣144＝36（度），∴n＝360÷36＝10．故答案为：10．12．（3分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为12米．【答案】见试题解答内容【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC＝30°，由此得到AB＝2CB，而离地面米处折断倒下，即BC＝4米，所以得到AB＝8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【解答】解：如图，∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∴AB＝2CB，而BC＝4米，∴AB＝8米，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝12米．故答案为：12．13．（3分）已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为8．【答案】见试题解答内容【分析】由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则可得2m•4n＝2m•22n＝2m+2n，再把m+2n＝3代入计算即可．【解答】解：由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝23＝8．故答案为：8．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为18．【答案】见试题解答内容【分析】过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE的长，进而得出△ABD的面积．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝3，又∵AB＝12，∴△ABD的面积为×12×3＝18，故答案为：18．15．（3分）如图，△ABC的面积为9，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为．【答案】见试题解答内容【分析】延长AP交BC于D点，如图，先证明∠BAP＝∠BDP得到BA＝BD，则根据等腰三角形的性质得到AP＝DP，利用三角形面积公式得到S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，所以S△BPC＝S△ABC．【解答】解：延长AP交BC于D点，如图，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∵AD⊥BP，∴∠APB＝∠DPB＝90°，∴∠BAP＝∠BDP，∴BA＝BD，∴BP平分AD，∴AP＝DP，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPD+S△CPD＝（S△ABD+S△ACD），即S△BPC＝S△ABC＝．故答案为：．三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分）16．（7分）计算：（1）a3•a6+（﹣2a3）3；（2）m（m﹣2）﹣2m（1﹣3m）．【答案】（1）﹣7a9；（2）7m2﹣4m．【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项；（2）利用单项式乘多项式法则先算乘法，再合并同类项．【解答】解：（1）a3•a6+（﹣2a3）3＝a9﹣8a9＝﹣7a9；（2）m（m﹣2）﹣2m（1﹣3m）＝m2﹣2m﹣2m+6m2＝7m2﹣4m．17．（7分）已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AB＝CD，AE＝DF，求证：BF∥CE．【答案】见试题解答内容【分析】由AB＝CD，得AC＝DB，由AE∥DF，得∠A＝∠D，而AE＝DF，即可根据“SAS”证明△AEC≌△DFB，得∠ECA＝∠FBD，则BF∥CE．【解答】证明：∵AB＝CD，∴AB+CB＝CD+CB，∴AC＝DB，∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，在△AEC与△DFB中，．∴△AEC≌△DFB（SAS），∴∠ECA＝∠FBD，∴BF∥CE．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格格点上，点B坐标为（3，1）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PC最短．【答案】（1）画图见解答；点B′的坐标为（﹣3，1）．（2）见解答．【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）取点A关于x轴的对称点A''，连接A''C交x轴于点P，则点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．由图可得，点B′的坐标为（﹣3，1）．（2）如图，取点A关于x轴的对称点A''，连接A''C交x轴于点P，连接AP，此时PA+PC＝PA''+PC＝A''C，为最小值，则点P即为所求．四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：△ACD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为F，再连接AD即可求解；（2）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得到∠1＝∠C＝∠B＝36°，再根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到∠DAC＝∠ADC，再根据等腰三角形的判定即可求解．【解答】解：（1）如图所示：DF是AB的垂直平分线．（2）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝108°，∵DF是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠1＝∠B＝36°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣36°＝72°，∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+36°＝72°，∴∠DAC＝∠ADC，∴△ACD是等腰三角形．20．（9分）如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）．（1）请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简）（2）如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知m＝5米，n＝3米，那么修建观景台需要费用多少元？【答案】见试题解答内容【分析】（1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案；（2）根据（1）所求结合m＝5，n＝3求出观景台的面积，进而求出费用即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：（2m+n）（m+2n）﹣mn﹣（m﹣n）2﹣（2m+n）（m﹣n）＝2m2+4mn+mn+2n2﹣mn﹣（m2﹣2mn+n2）﹣（2m2﹣2mn+mn﹣n2）＝2m2+4mn+mn+2n2﹣mn﹣m2+2mn﹣n2﹣2m2+2mn﹣mn+n2＝﹣m2+7mn+2n2，答：观景台的面积为（﹣m2+7mn+2n2）平方米；（2）当m＝5，n＝3时，原式＝﹣25+7×5×3+2×9＝98（平方米），200×98＝19600（元）．答：修建观景台需要费用为19600元．21．（9分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P、BQ⊥AD于点Q、PQ＝6，PE＝2．（1）求证：AD＝BE；（2）求AD的长．【答案】（1）见解答；（2）14．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°，求出△ABE≌△CAD，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等求出∠CAD＝∠ABE，求出∠BPQ＝60°，∠PBQ＝30°，根据含30°角的直角三角形性质求出BP，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD＝∠ABE，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°，∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，∵PQ＝6，∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝12，又∵PE＝2，∴AD＝BE＝BP+PE＝12+2＝14．五、解答题（三）（共2小题，22题13分，23题14分，共27分）22．（13分）【模型定义】“手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．【模型探究】（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是AD＝BE．【模型应用】（2）如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD．【拓展提高】（3）如图3，两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB﹣AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，则BD和CE的数量关系和位置关系是：BD＝CE，BD⊥CE．【深化模型】（4）如图4，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④AO＝OD；⑤∠AOB＝60°；⑥OC平分∠AOE；⑦OC平分∠BCD．恒成立的结论有①②③⑤⑥．（选填序号）【答案】（1）60°；AE＝BE+DE；（2）见解析；（3）BD＝CE，BD⊥CE；（4）①②③⑥⑤．【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：BE＝AD，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB＝DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）先判断出△DAB≌△EAC，得出BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，进而判断出∠DBC+∠ECB，即可得出结论；（4）利用SAS证得△DCA≌△ECB，可得AD＝BE，故结论①正确．利用ASA证得△ACP≌△BCQ，可得CP＝CQ，故结论③正确．利用等边三角形的性质推出∠ACB＝∠CPQ，再运用平行线的判定可得PQ∥AE，故结论②正确．没有条件证出AO＝OD，故结论④错误．利用三角形外角性质可得∠AOB＝∠ACB＝60°，故结论⑤正确；过点C作CH⊥EQ于H，CG⊥DP于G，根据全等三角形的性质得到⑥正确；由PC＝QC，∠AOC＝∠EOC，OC＝OC，不能说明△POC与△QOC全等，∠BCO≠∠DCO，故结论⑦错误．【解答】（1）解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵∠CDE＝60°，∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60°；AD＝BE；（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB＝DE．∵DB＝DE，∠BDC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝EC，∴BD＝DE＝DC+CE＝DC+AD．∴AD+CD＝BD；（3）BD＝CE且BD⊥CE；理由：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．∴∠DAB＝∠EAC．在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，∵∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，∴∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，即∠DBC+∠ECB＝90°，∴∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（4）∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（SAS），∴AD＝BE，故结论①正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°．在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP＝CQ，故结论③正确．∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，