数字信号处理-Lecture-3

数字信号处理

第三讲中国地质大学(北京)地球物理与信息技术学院电子信息工程教研室制作1第二章离散时间信号与系统

2.TheDiscrete-TimeSignalsAndSystems2.1引言2.2离散时间信号2.3离散时间系统2.4常系数线性差分方程2本讲的主要内容常见序列TypicalSequences序列周期性Periodicity

离散时间系统（一）Discrete-TimeSystems3

几种常用序列

单位采样序列δ(n)，也称单位冲激序列

UnitSampleSequence414

单位阶跃序列u(n)UnitStepSequence

δ(n)

和u(n)之间的关系为：δ(n)=u(n)-u(n-1)它的实质为u(n)的后向差分

25矩形序列RectangleSequence3RN(n)和

(n)、u(n)的关系：

RN(n)＝u(n)−u(n−N)6实指数序列RealExponentialSequencea为实数。当|a|<1时，序列是收敛的；当|a|>1时，序列是发散的。表示0<a<1时的图像：47复指数序列ComplexExponentialSequence58正弦型序列SinusoidalSequence69序列的周期性PeriodicityofSequences如果序列x(n)对所有n存在一个最小的正整数N，满足x(n)=x(n+N)，

那么称序列x(n)是周期性序列，周期为N。设连续正弦信号为：x(t)=Asin(Ω0t+φ)角频率为Ω0=2

f0，信号的频率为f0，周期为T0

=1/f0，用采样周期T对x(t)进行采样

x(n)=x(t)|t=nT=Asin(ω0

nT+φ)

令ω0=Ω0T0，x(n)=Asin(ω0

n+φ)

x(n+N)=Asin[(n+N)

ω0+φ]=Asin[nω0+Nω0+φ]510当Nω0=2πk时，x(n)=x(n+N)。此时，正弦序列为周期序列，周期满足N=2πk/ω0。

对2π/ω0分类讨论：（1）当2π/ω0为整数时，k=1时，2π/ω0

为最小正整数，所以周期为2π/ω0

。（2）当2π/ω0不是整数，而是有理数时，即2π/ω0=p/q，其中p与q为互素的整数，则2πq/ω0=p=N为最小正整数，此时 序列的周期N大于值2π/ω0=p/q。（3）当2π/ω0是无理数时，对任何k都不能使N为11φ=0，

ω0=2π/10，A=1正弦序列周期序列，周期N=10正整数，此时正弦序列不是周期的。12由以上可知：这表明，若2π/ω0为整数，就表示连续正弦信号的周期应为采样时间间隔的整数倍；若2π/ω0为有理数，就表明T0与T是互素的整数。如ω0=2π·3/14则有因而可得14T=3T0

即，14个采样间隔等于3个连续正弦信号的周期。所的采样信号的周期为14。1314对于连续时间正弦信号x(t)=Asin(Ω0t+φ)或者x(t)=Acos(Ω0t+φ)，随着Ω0的增加，震荡愈来愈快；对于离散时间正弦信号x(n)=Asin(Ω0n+φ)或者x(n)=Acos(Ω0n+φ)，当ω0从0增加到π时，震荡愈来愈快，当ω0从π增加到2π时，震荡反而变慢，如下图所示（cos(nω0)

）:随着ω0从0增加到π[a~d]，序列震荡加快；随着ω0从π增加到2π[d

~a]，序列震荡反变慢。1516对于几个不同ω0值的cos(nω0)变化情况17

周期序列和周期

PeriodicSequencesandPeriods如果x1(n)是一个周期为N1的序列，x2(n)是一个周期为N2的序列，其和x(n)=x1(n)+x2(n)将恒为周期序列，且其周期为

gcd(N1,N2)表示与的最大公约数。18例题：19解:

(a)所以，x(n)是以N=16为周期的。

(b)x1(n)是以N1=24，x2(n)是以N2=36为周期的，x(n)的周期为20(c)

0=0.2，2

/0.2=10

，为无理数，故它不是周期序列。(d)是以N1=32，而是以N=34为周期的，故x(n)是以为周期的。

21任意序列的表示

RepresentationofArbitrarySequences可以将任意序列表示成单位采样序列的移位加权和，即

这是因为只有m=n时，δ(n-m)=1，所以同样，上式x(n)的表达式可看成x(n)和δ(n)的卷积。622用单位抽样序列表示任意序列x(n)23由此可见，x(n)可表示为

x(n)＝a−3

(n+3)+a2

(n−2)+a6x(n−6)可看成单位采样序列的移位加权和，亦可表示成x(n)与δ(n)的卷积和。啊！真棒！任意序列都可以用单位采样序列的线性叠加来表示！24序列的能量EnergyofSequences

序列x(n)的能量E

定义为序列各采样值的平方和，即7能量守恒25†线性系统

linearsystems†时不变系统

invariant-timesystems†因果系统

causalsystems†稳定系统

stablesystems†可逆系统

reversalsystems一个离散时间系统为

y(n)=T[x(n)]表明输入信号x(n)经过转换后变为输出信号y(n)。

2.3离散时间系统

TheDiscrete-TimeSystems离散时间系统T[·]x(n)y(n)系统分类

Classification

26§线性系统linearsystems离散时间系统满足T[ax(n)]=aT[x(n)]

称此系统具有均匀性（亦称为齐次性homogeneity，比例性）。若离散时间系统满足

T[x1(n)+x2(n)]=T[x1(n)]+T[x2(n)]则称该系统具有可加性(addition)。既具有均匀性又具有可加性的离散时间系统叫做离散时间线性系统，或说系统具有线性。27输入为x1(n)、x2(n)时，且输出分别为y1

(n)、y2

(n)，即y1(n)=T[x1

(n)]，y2(n)=T[x2

(n)]当输入为x(n)=a1x1

(n)+a2x2

(n)时，输出一定为

y(n)=a1y1

(n)+a2y2

(n)（a1、a2为任意常数）即

T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1

(n)]+a2T[x2

(n)] =a1y1(n)+a2y2(n)例题:

说明y(n)=9x(n)+5是一非线性离散时间系统。28解：

y1(n)=T[x1

(n)]=9x1(n)+5

y2(n)=T[x2

(n)]=9x2(n)+5所以

a1y1(n)+a2y2(n)=9a1x1(n)+9a2x2(n)+5(a1+a2)但是

T[a1x1(n)+a2x2(n)]=9[a1x1(n)+a2x2(n)]+5因而

T[a1x1(n)+a2x2(n)]≠

a1y1(n)+a2y2(n)所以此系统不是线性离散时间系统。29例题：已知输入x(n)和输出y(n)满足以下关系式

y(n)=log[x(n)]

讨论此系统是否是离散时间线性系统。解：1.讨论可加性，令y1(n)、y2(n)分别是输入为

x1(n)、x2(n)时的输出，若系统具有可加性，则当输入x(n)=x1(n)+x2(n)时，输出应为y(n)=y1

(n)+y2

(n)，但在此系统中，

y(n)=T[x(n)]=log[x(n)]=log[x1

(n)+x2(n)]

≠log[x1

(n)]+lo