第06讲 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第06讲利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题（2类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第18题,17分利用导数研究不等式恒成立问题证明函数的对称性利用导数求函数的单调性利用导数证明不等式利用不等式求取值范围2023年新I卷，第19题,12分利用导数研究不等式恒成立问题含参分类讨论求函数的单调区间2023年新Ⅱ卷，第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题利用导数求函数的单调区间(不含参)利用导数研究函数的零点根据极值点求参数2022年新Ⅱ卷，第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题含参分类讨论求函数的单调区间裂项相消法求和2020年新I卷，第21题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程2020年新Ⅱ卷，第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能求出函数的极值或给定区间的最值3恒成立，恒成立，4有解，有解，【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习知识讲解恒成立问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）②，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）恒成立问题的解决策略=1\*GB3①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；=4\*GB3④换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．能成立（有解）问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）若的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要②，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要能成立（有解）问题的解决策略=1\*GB3①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；=4\*GB3④换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．考点一、利用导数解决函数恒成立问题1．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．2．（2023·全国·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．3．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．1．（2024·广东汕头·三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值．2．（2024·江苏苏州·三模）已知函数.(1)时，求的零点个数;(2)若恒成立，求实数的最大值;(3)求证:.3．（2024·浙江温州·模拟预测）函数(1)求的单调区间.(2)若在时恒成立，求的取值范围.4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，.（注：是自然对数的底数）(1)若无极值点，求实数的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.考点二、利用导数解决函数能成立（有解）问题1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意有解，求的取值范围.3．（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：；(3)设，若存在实数使得，求的最大值.1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；(2)若，使成立，求的最小值.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．3．（2024·山西运城·一模）已知，函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：存在唯一的极值点；(3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.1．（2023高三·全国·专题练习）设函数，若当时，求的取值范围．2．（2023高三·全国·专题练习）已知，实数使得对恒成立，求实数的最大值．3．（2023高三·全国·专题练习）设函数．(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的值．4．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数(1)求的单调增区间；(2)方程在有解，求实数m的范围.5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围．6．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：，．7．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．(1)求，的值与函数的单调区间；(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．8．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)对于，使得，求实数的取值范围．9．（2024·吉林白山·二模）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若，求实数的取值范围.10．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．1．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求实数的取值范围.2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．(1)讨论的单调性和极值；(2)若时，有解，求的取值范围．3．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围.4．（2024·山东德州·三模）设函数，，曲线在点处的切线方程为.(1)求的值;(2)求证:方程仅有一个实根;(3)对任意，有，求正数的取值范围.5．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数．(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；(2)若函数恒成立，求的取值范围．6．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)令，若恒成立，求实数a的取值范围.7．（2024·四川泸州·二模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，求实数a的取值范围．8．（2024·广东梅州·一模）已知函数.(1)若是函数的一个极值点，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范围；(3)证明：（为自然对数的底数）.9．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数.(1)求过原点的切线方程；(2)求证：存在，使得在区间内恒成立，且在内有解.10．（2024·贵州安顺·二模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．1．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．2．（2020·山东·高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．3．（2020·全国·高考真题）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）