第05讲 平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第05讲平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。知识讲解极化恒等式恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形中,则在上述图形中设平行四边形对角线交于点,则对于三角形来说:极化恒等式的适用条件共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。考点一、极化恒等式求值1．（全国·高考真题）设向量满足，，则A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A方法一：基本方法【详解】试题分析：因为，所以………………①，又，所以…………②，②得，所以考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积．方法二：极化恒等式由极化恒等式可得：故选A．2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.方法四：极化恒等式设CD中点为O点，由极化恒等式可得：故选：B.1．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是.

【答案】方法一【详解】因为，，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．方法二：极化恒等式因为是上的两个三等分点,所以联立解得:所以2.如图,在中,已知,点分別在边上,且,若为的中点,则的值为________解：取的中点,连接,则,在中,,3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式.已知在中，是中点，，，则（

）A． B．16 C． D．8【答案】A【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可.【详解】由题设，可以补形为平行四边形，由已知得．故选：A．4．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16【答案】D【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.【详解】由题设，，，.故选：D考点二、极化恒等式求范围1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D方法一【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；方法二：极化恒等式记AB的中点为M，连接CM，则由极化恒等式可得：即故选：D2．如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________答案:2解:如图,取的中点,的中点,连接,则（当且仅当三点共线时等号成立.)由极化恒等式得2．（全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B方法一【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，方法二：极化恒等式解：取的中点,连接,取的中点,连接,由是边长为2的等边三角形,为中线的中点,则：所以.故选：．如图,在平面四边形中,,则的最大值为____解：取的中点,连接,由,由四点共圆,且直径为.则.所以.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______解：如图所示,取的中点为点到的距离,由极化恒等式,,,则已知的斜边,设是以为圆心,1为半径的圆上任意一点,则的取值范围是（）A.B.C.D.解：如图所示,在Rt上,不妨取的中点,则.设圆的半径为,而,则,,则,因此的取值范围是.故选：C1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为.【答案】【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解.【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接，当在点或点时，，当在弧中点时，，所以的取值范围为，因为，，所以，因为，所以，故，所以，即的取值范围为.故答案为：.2．（2023·天津红桥·二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，如图所示

因为菱形ABCD的边长为2，，所以,，设，则，因为，所以,,,当时，的最大值为.故选：B.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出，结合向量数量积定义和运算即可.3．（23-24高一下·北京昌平·期末）在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件得到，从而得到，又，结合图形，得，即可求出结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为，因为，，所以,，，，得到，所以，又因为，所以，又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号，所以，故选：B.【点睛】关键点点晴：设，利用向量数量积的坐标运算，得到，再利用圆的几何性质，即可求解.4．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值，进而得到答案．【详解】由，得，即，所以．因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，则MD⊥BC，，可得，，．以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，可得，圆M的方程为，设，则，结合，可得，因为A点在圆M：上运动，所以，可得当时，，达到最大值．综上所述，当时，有最大值．故选：D．【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.5．（23-24高一下·湖南常德·期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，设，根据三角形面积求得，设，利用平面向量的线性运算可得，结合和数量积的运算律和二次函数的性质计算即可求解.【详解】如图，设，则，

所以，得，又，所以，得，解得，所以，故，，设，则，所以，则，当时，取得最小值，且为.故选：B【点睛】方法点睛：本题考查平面向量与几何的最值问题，该类问题常见的处理方法为：（1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解；（2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解；（3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题.6．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是.【答案】【分析】一方面，而，，不重合，所以；另一方面，设中点为，那么，设在六边形的端点上，同理不妨设在六边形的端点上．分四种情况即可得，剩下的只需证明何时取等并且可以遍历中的每一个数．【详解】首先，，这里是最长的那条对角线的长度，等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾.所以.另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明：设中点为，那么，然后，设A所在的边的端点为，则，（这是因为，记，其中为原点，确定的，那么是一次函数，从而t属于时，有）所以我们可以不妨设A在六边形的端点上.同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上.此时分以下四种情况：(1)重合，此时，(2)为相邻顶点，此时，(3)相隔一个顶点，此时，(4)为对径点，此时，综上，，所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有，这就说明，互不重合时，有，然后，取等条件如图所示：具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点），使得，并且只沿着最近的轨道，这样在的情况下，互不重合同时设，那么，而连续，所以在的情况下，必定取遍，这就意味着，的取值范围就是，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：对分以下四种情况：(1)重合，此时，(2)为相邻顶点，此时，(3)相隔一个顶点，此时，(4)为对径点，此时1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．8 D．【答案】D【分析】由题意，圆心，半径为3，且和，再由，即可求解.【详解】圆，圆心，半径为3，如图，

为弦的中点，，共线时等号成立，.故选:D.2．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（

）A． B．3 C．1 D．2【答案】A【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.【详解】设的中点为，因为，，所以，，则，因为，所以，即的最大值是.故选：A.【点睛】关键点点睛：设的中点为，将化为，是解决本题的关键.3．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解.【详解】由题，所以由点P在斜边BC的中线AD上得，故，故选：A.4．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据结合数量积的运算律求解即可.【详解】取中点，连接，因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上，所以当在点或点时，取得最大值，当在弧中点时，取得最小值，的取值范围为，又因为，，，所以，因为的取值范围为，所以的取值范围为，的取值范围为，故选：B5．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图中，O为AB中点，（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取中点，则由极化恒等式知，，要求取值范围，只需要求最大，最小即可.由图，可知最大时，P在D点，即，此时，最小时，P在O点，即，此时.综上所得，取值范围为:.故选：D.6．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用数形结合及极化恒等式，化，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，，则，且，因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动．设M是AB的中点，由极化恒等式得：，因为，此时，即的最小值为，故选：D．7．（23-24高一下·湖北·期中）在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】利用图形将转化成，代入即得，根据的面积为4得，利用进行放缩，由即得最小值.【详解】如图，分别过点，作于，于，取中点,连接.易得，因，，则，故①又的面积为4，因点E，F分别是线段的中点，易得,故的面积,即得，由图知，,则由①可得：,当且仅当且时等号成立，即的最小值是4.故选：C.8．（23-24高一下·湖南张家界·期中）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】连接，则，利用向量数量积的运算律即可求解.【详解】连接，如图所示：则，根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，故，即的取值范围是，故选：C9．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合即可得解.【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径为，因为，又，即，可得，所以的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量数量积的运算法则将转化为，从而得解.10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要，有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形，已知与为全等的正六边形，且，点P为线段（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.【详解】取线段的中点，则，，由图可知，当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、、、、、，设点，当点在线段上运动时，，，则，所以，；则的范围为，即的取值范围为.故选：C.1．（21-22高二上·浙江衢州·期末）已知点P在圆上，已知，，则的最小值为.【答案】【分析】推导出极化恒等式，即，结合最小值为，求出的最小值.【详解】由题意，取线段AB的中点，则，，两式分别平方得：①，②，①－②得：，因为圆心到距离为，所以最小值为，又，故最小值为：.故答案为：2．（21-22高一下·浙江·期中）正方形ABCD的边长为2，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面内一点，且满足，则·的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由得到为直线与的交点，再由极化恒等式·，由即可求解.【详解】设，可得，故三点共线，又三点共线，故为直线与的交点.·，又，可得·，又，所以·.故选：D.3．（21-22高一下·江西·期中）已知点是正六边形内部（包括边界）一动点，，则的最大值为．【答案】48【分析】通过分析图形，将求解的最大值，转化为求正六边形内部（包含边界）一点到边中点的距离的最大值，利用几何意义解决问题【详解】如图，设的中点为，连接，则则．因为点为正六边形内部（包括边界）一动点，所以当点与点或点重合时，取得最大值;在中易知，所以最大值为．故答案为：48.4．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（

）A．6 B．12 C．24 D．32【答案】C【分析】利用极化恒等式进行转化可求最大值.【详解】如图：分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF．又，所以由极化恒等式得，，所以．连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，由，，得，所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上．所以EF的最大值为，所以的最大值为24．故选：【点睛】知识点点睛：极化恒等式：在中，若为中点，则.5．（23-24高一下·浙江·期中）已知中，，，若在平面内一点满足，则的最大值为【答案】【分析】设的中点为，则根据题意知为边上的中线的靠近的7等分点，化简得，利用余弦定理得，利用基本不等式可得，再利用，两边平方，化简即可得到答案.【详解】如图，设的中点为，因为，所以，所以为边上的中线的靠近的7等分点，所以，在，由余弦定理可得：，即，利用基本不等式可得：，即，当且仅当时取等号；因为为的中点，则，两边同时平方可得：，所以，即为等边三角形时，，所以；故答案为：6．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．-1【答案】C【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.【详解】如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，只需考虑点E在边上的运动情况即可，因为，，知，即，则，①当点E在边上运动时，设，则，则,当时，最小值为；②当点E在边上运动时，设,则,则，当时，的最小值为；综上，的最小值为；故选：C．【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.7．（2023高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（）

A． B．C． D．【答案