第05讲 利用导数证明不等式（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第05讲利用导数证明不等式（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第18题,17分利用导数证明不等式证明函数的对称性利用导数求函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题利用不等式求取值范围2021年新I卷，第22题,12分利用导数证明不等式利用导数求函数的单调区间(不含参)导数中的极值偏移问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能求出函数的极值或给定区间的最值3能进行函数转化证明不等式【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习知识讲解基本方法在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；（3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；（4）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.常见类型与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）．与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．考点一、直接法证明简单不等式1．（2024高三·全国·专题练习）求证：．2．（2022高三·浙江·专题练习）证明以下不等式：(1)；(2)；(3).1．（2023高三·全国·专题练习）求证：(1)（）；(2)；(3)（）．考点二、构造函数证明不等式1．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)求证：．2．（2024·重庆·模拟预测）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，3．（2024·山东济南·二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：.1．（2024·河北·三模）已知函数．(1)当时，证明：．(2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由．0．2．（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点.(1)求a；(2)证明：.3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：．考点三、转为两个函数类型证明不等式1．（全国·高考真题）设函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求

(2)证明:1．（2024高三·阶段练习）已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）当且，求证：.考点四、数列类型不等式的证明1．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．2．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．3．（2024·北京·三模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)求证：．（且）1．（2024·河北·三模）已知函数．(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：．2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)证明：时，；(2)证明：．3．（2024·江苏苏州·三模）已知函数.(1)时，求的零点个数;(2)若恒成立，求实数的最大值;(3)求证:.考点五、三角函数类型不等式的证明1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数(1)讨论的单调性；(2)若是的极大值点，求的取值范围；(3)若，证明：．1．2．3．4．2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（），.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：（）；(3)证明：（）.1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，(1)求的最小值；(2)证明：.2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数(1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标；(2)①当时，求在上的最小值；②证明：．考点六、切线放缩法证明不等式1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)求函数的极值；(2)当时，恒成立，求证：．1．（2023高二·上海·专题练习）已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.(1)求的值；(2)求的单调区间；(3)设，其中为的导函数.证明：对任意，.2．（2023·山东济南·一模）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若，求证：.1．（2024高三·全国·专题练习）求证：若，则．2．（2024高三·全国·专题练习）证明：当时，；3．（22-23高二下·河北沧州·阶段练习）求证：4．（2022高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性，并证明当时，.5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，证明：对一切，都有成立.6．（22-23高二下·北京·期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），.(1)求证：；(2)当时，求证：.8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知.(1)求并写出的表达式；(2)证明：.9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.10．（2023·广西南宁·一模），(1)讨论的单调性；(2)当时，证明；(3)证明对于任意正整数，都有.1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：．2．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数.(1)求函数在处的切线方程.(2)证明：.3．（2024·青海西宁·二模）已知函数．(1)若，求的极值；(2)若，求证：．4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.1．2．3．4．5．（2024·河北邢台·二模）已知函数，(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：.6．（2024高三·全国·专题练习）已知．(1)当时，求的极值；(2)对，求证：．7．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调区间(2)若函数，，证明：．8．（2024·北京昌平·二模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最小值；(3)若，当时，求证：．9．（2024·湖南长沙·三模）已知函数．(1)判断并证明的零点个数(2)记在上的零点为，求证;（i）是一个递减数列（ii）．10．（2024·四川南充·模拟预测）已知函数.(1)若函数在处切线的斜率为，求实数的值；(2)当时，恒成立，求实数的最大值；(3)当时，证明：1．（2019·北京·高考真题）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．2．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．3．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．4．（201