《金版教程•高考数学复习创新方案》提升版第三章第4讲　二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数[课程标准]通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．幂函数(1)定义：函数eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．1．幂函数图象的特征(1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)．(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．2．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法(1)当α<0时，其图象可类似y＝x－1画出．(2)当0<α<1时，其图象可类似y＝xeq\s\up7(\f(1,2))画出．(3)当α>1时，其图象可类似y＝x2画出．3．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－eq\f(b,2a)∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))).(2)若－eq\f(b,2a)∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．1．(人教A必修第一册复习参考题3T5改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝()A．－9 B．9C．3 D．－3答案B解析因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故选B.2．若函数y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上()A．是增函数 B．是减函数C．先减再增 D．先增再减答案B解析∵函数y＝ax与y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，则y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．答案[－1，3]解析∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域为[－1，3]．4．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3)).若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________．答案－1解析∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α<0，故α＝－1.5．(人教B必修第二册4.4例1改编)比较下列各题中两个值的大小．(1)1.70.9________1.80.9；(2)(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))________3－eq\s\up7(\f(1,2)).答案(1)<(2)≤解析(1)因为幂函数y＝x0.9在[0，＋∞)上单调递增，且1.7<1.8，所以1.70.9<1.80.9.(2)因为幂函数y＝x－eq\s\up7(\f(1,2))在(0，＋∞)上单调递减，且|a|＋3≥3，所以(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))≤3－eq\s\up7(\f(1,2)).考向一幂函数的图象与性质例1(1)(2024·成都模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是()A．m＝4 B．f(x)是减函数C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数答案C解析函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足题意，排除A；当m＝－1时，f(x)＝x－1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝eq\f(1,－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C.(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c答案B解析由幂函数的图象可知在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B.(3)(2023·安阳三模)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．b>c>a答案C解析幂函数f(x)＝xα中，2f(2)＝f(16)，所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝xeq\s\up7(\f(1,3))，所以f(x)是定义域为R的增函数，又a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，且log42＝eq\f(1,2)，ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)，5－eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，所以ln2>log42>5－eq\s\up7(\f(1,2))，即f(ln2)>f(log42)>f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，所以b>a>c.故选C.幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．1．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案C解析从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限单调递减，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0，1，2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．故选C.2．(2023·海口三模)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a＜c＜b D．b＜c＜a答案A解析a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))＞1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，且0＜eq\f(8,27)＜eq\f(9,16)＜1，函数y＝xeq\s\up7(\f(1,4))在(0，＋∞)上是增函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))，所以c＜a.综上可知，c＜a＜b.故选A.考向二求二次函数的解析式例2若二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝－4x2＋4x＋7解析解法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2).又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用两根式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数f(x)有最大值8，即eq\f(4a（－2a－1）－a2,4a)＝8，解得a＝－4.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式．条件①：函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5；条件②：函数f(x)≤0的解集为{1}；条件③：方程f(x)＝0有两根x1，x2，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝10.解函数f(x)＝x2＋bx＋c，则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)，即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1.若选条件①，因为函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5，所以f(－2)＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3.所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.若选条件②，由函数f(x)≤0的解集为{1}，可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋1.若选条件③，方程f(x)＝0有两根x1，x2，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝10.由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c，又(x1＋x2)2＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋2x1x2，所以4＝10＋2c，解得c＝－3.所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.多角度探究突破考向三二次函数的图象与性质角度二次函数图象的识别例3(多选)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．b＝－2aB．a＋b＋c＜0C．a－b＋c＞0D．abc＜0答案AD解析由图象可知a＜0，f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝1，则b＝－2a，则b＞0，又f(0)＝c＞0，∴abc＜0，由于f(－1)＜0，则a－b＋c＜0，由于f(1)＞0，则a＋b＋c＞0.故选AD.识别二次函数图象应学会“三看”一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－eq\f(b,2a)＜0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.角度二次函数的单调性例4(1)(2023·济南二模)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是()A．f(1)<f(4)<f(2) B．f(4)<f(1)<f(2)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)答案B解析因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，又因为a<0，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2)．故选B.(2)(2023·上海徐汇区模拟)函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．答案(－∞，－3]和[0，3]解析由题意，f(x)＝x2－6|x|＋8＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋8，x≥0，,x2＋6x＋8，x<0，))所以当x≥0时，函数f(x)在[0，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增；当x＜0时，函数f(x)在(－∞，－3]上单调递减，在(－3，0)上单调递增．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－3]和[0，3]．1．决定二次函数单调性的两个关键因素2．利用二次函数单调性比较大小的两个常用方法(1)利用对称轴一侧的单调性比较大小(2)利用图象中对应点的高低关系比较大小当抛物线开口向上时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越高(或越低)，这个点的纵坐标越大(或越小)；当抛物线开口向下时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越低(或越高)，这个点的纵坐标越小(或越大)．(多选)(2024·济南一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D．3答案CD解析易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以函数g(x)图象的对称轴为直线x＝eq\f(k,2)≥1，则k≥2.故k的取值可以是2，3.角度二次函数的最值问题例5(2024·苏州模拟)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值．解(1)若f(0)≥1，则－a|－a|≥1，显然a<0，则－a(－a)≥1，即a2≥1，解得a≤－1，所以a的取值范围为(－∞，－1]．(2)当x≥a时，f(x)＝2x2＋(x－a)2＝3x2－2ax＋a2，此时f(x)图象开口向上，对称轴为直线x＝eq\f(a,3)，(ⅰ)当eq\f(a,3)≤a，即a≥0时，f(x)在[a，＋∞)上单调递增，此时f(x)min＝f(a)＝2a2；(ⅱ)当eq\f(a,3)>a，即a<0时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,3)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))上单调递增，此时f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))eq\s\up12(2)－2a·eq\f(a,3)＋a2＝eq\f(2,3)a2.当x≤a时，f(x)＝2x2－(x－a)2＝x2＋2ax－a2，此时f(x)图象开口向上，对称轴为直线x＝－a，①当－a<a，即a>0时，f(x)在(－∞，－a]上单调递减，在(－a，a]上单调递增，此时f(x)min＝f(－a)＝－2a2；②当－a＝a，即a＝0时，f(x)＝x2，f(x)在(－∞，0]上单调递减，此时f(x)min＝f(0)＝0；由①②得，当a≥0时，f(x)min＝－2a2.③当－a>a，即a<0时，f(x)在(－∞，a]上单调递减，此时f(x)min＝f(a)＝2a2.综上，当a≥0时，因为2a2≥－2a2，所以f(x)min＝－2a2；当a<0时，因为2a2>eq\f(2,3)a2，所以f(x)min＝eq\f(2,3)a2.故f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a2，a≥0，,\f(2,3)a2，a<0.))二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是()A．[0，4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))答案D解析二次函数图象的对称轴为直线x＝eq\f(3,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).角度与二次函数有关的恒成立问题例6已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．(1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范围；(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．解(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，由86－k≤0，得k≥86，即k的取值范围为[86，＋∞)．(2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，由－10－k≤0，得k≥－10，即k的取值范围为[－10，＋∞)．(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.由120－k≤2，得k≥118，即k的取值范围为[118，＋∞)．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是构造新函数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.(2023·保定模拟)已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5.(1)求f(x)的解析式；(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．解(1)根据题意得二次函数f(x)的顶点坐标为(2，3)，设f(x)＝a(x－2)2＋3，然后把点(3，5)代入得a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.(2)y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方⇔f(x)－(2x＋2m＋1)>0恒成立，令g(x)＝2x2－8x＋11－(2x＋2m＋1)＝2x2－10x＋10－2m，若g(x)＝2x2－10x＋10－2m>0恒成立，则Δ＝(－10)2－4×2×(10－2m)<0，解得m<－eq\f(5,4)，即实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,4))).课时作业一、单项选择题1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上()A．是增函数 B．不是单调函数C．是减函数 D．不能确定答案A解析因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即eq\f(m,m－1)＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增．故选A.2．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：①是偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是()A．y＝x－1 B．y＝x－2C．y＝x3 D．y＝xeq\s\up7(\f(1,3))答案B解析对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确，不符合题意；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合题意；同理可判断C，D中的函数不符合题意．故选B.3．若幂函数f(x)的图象过点(2，eq\r(2))，则函数y＝f(x)＋1－x的最大值为()A．1 B.eq\f(5,4)C．2 D.eq\f(7,3)答案B解析设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，eq\r(2))，∴f(2)＝2α＝eq\r(2)，则α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\r(x)，∴y＝eq\r(x)＋1－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)，∴函数的最大值为eq\f(5,4).故选B.4．(2024·上海黄浦区模拟)如图所示是函数y＝xeq\s\up7(\f(m,n))(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则()A．m，n是奇数且eq\f(m,n)＜1B．m是偶数，n是奇数，且eq\f(m,n)＜1C．m是偶数，n是奇数，且eq\f(m,n)＞1D．m，n是奇数，且eq\f(m,n)＞1答案B解析由幂函数的性质可知，y＝xeq\s\up7(\f(m,n))与y＝x恒过点(1，1)，即在第一象限的交点为(1，1)，当0＜x＜1时，xeq\s\up7(\f(m,n))＞x，则eq\f(m,n)＜1，又y＝xeq\s\up7(\f(m,n))的图象关于y轴对称，∴y＝xeq\s\up7(\f(m,n))为偶函数，∴(－x)eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,（－x）m)＝xeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,xm)，又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数．故选B.5．(2023·北京海淀一模)设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为()A．1 B．－1C.eq\f(－1－\r(5),2) D.eq\f(－1＋\r(5),2)答案B解析由题意知b>0，a≠0，所以二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象不关于y轴对称，故排除第一、二个函数图象，当a>0时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)<0，故第四个图象也不满足题意，当a<0时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)>0，开口向下，故第三个函数图象满足题意．此时函数图象过坐标原点，故a2－1＝0，解得a＝±1，由于a<0，故a＝－1.故选B.6．(2024·福州模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1，3]恒成立”的()A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析若f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝2－4m<0，,f（3）＝18－6m<0，))解得m>3，又{m|m>3}是{m|m>2}的真子集，所以“m>2”是“f(x)<0对x∈[1，3]恒成立”的必要不充分条件．7．(2023·合肥包河区校级模拟)若0<x1<x2，则下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq\r(x)；⑤f(x)＝eq\f(1,x)中，满足条件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≤eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)(0<x1<x2)的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案D解析若满足条件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≤eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)(0<x1<x2)，则函数图象在y轴右侧为一条直线或下凸曲线，根据函数图象易得④f(x)＝eq\r(x)不满足，其余都满足．故选D.8．(2023·苏州三模)设函数f(x)＝eq\r(ax2－2ax)(a<0)的定义域为D，对于任意m，n∈D，若所有点P(m，f(n))构成一个正方形区域，则实数a的值为()A．－1 B．－2C．－3 D．－4答案D解析由已知可得，ax2－2ax≥0.因为a<0，所以x2－2x≤0，解得0≤x≤2，所以D＝[0，2]．因为y＝x2－2x在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x2－2x在x＝1处取得最小值－1，所以y＝a(x2－2x)在x＝1处取得最大值－a，所以函数f(x)＝eq\r(ax2－2ax)在x＝1处取得最大值eq\r(－a).因为f(0)＝f(2)＝0，所有点P(m，f(n))构成一个正方形区域，所以eq\r(－a)＝2，所以a＝－4.故选D.二、多项选择题9．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是()A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．图象过点(3，0)答案ABD解析易知二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，图象与x轴的两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段长为2，A，D正确；将x＝0代入二次函数的解析式得y＝3a，故B可能正确；顶点的横坐标为2，故C错误．故选ABD.10．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列函数中，与函数f(x)＝x4是“亲密函数”的是()A．y＝xeq\s\up7(\f(2,3)) B．y＝2|x|－1C．y＝eq\f(x2,1＋x2) D．y＝eq\f(x2,2)答案ABD解析易知函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)，选项中四个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与函数f(x)＝x4保持一致，但是y＝eq\f(x2,1＋x2)＝1－eq\f(1,1＋x2)的值域为[0，1)，y＝xeq\s\up7(\f(2,3))＝eq\r(3,x2)≥0，y＝2|x|－1≥0，y＝eq\f(x2,2)≥0.故选ABD.11．已知幂函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，则下列结论正确的是()A．f(－32)＝eq\f(1,16)B．f(x)的定义域是RC．f(x)是偶函数D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3]答案ACD解析幂函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，∴m＋eq\f(9,5)＝1，∴m＝－eq\f(4,5)，∴f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，B错误；∵f(－32)＝(－32)－eq\s\up7(\f(4,5))＝eq\f(1,16)，A正确；f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))＝eq\f(1,\r(5,x4))，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝eq\f(1,\r(5,（－x）4))＝eq\f(1,\r(5,x4))＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；∵f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，又f(x)是偶函数，∴不等式f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,|x－1|≤2，))解得－1≤x<1或1<x≤3，D正确．故选ACD.三、填空题12．(2023·天津模拟)函数f(x)＝9x2＋eq\r(x－1)的最小值为________．答案9解析∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)上均为增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.13．(2024·淮安盱眙中学月考)已知幂函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up7(\f(1,10))，若f(a－1)<f(8－2a)，则实数a的取值范围是________．答案(3，4)解析由幂函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up7(\f(1,10))＝eq\f(1,\r(10,x))＝x－eq\f(1,10)，可得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且是减函数．因为f(a－1)<f(8－2a)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1>8－2a，,a－1>0，,8－2a>0，))解得3<a<4，即实数a的取值范围为(3，4)．14．(2024·潍坊质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c<x≤3.))若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，则实数c的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析当c＝0时，即x∈[－2，0]时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，当x∈(0，3]时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))，所以f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).作出y＝x2＋x和y＝eq\f(1,x)的图象如图所示，当f(x)＝－eq\f(1,4)时，x＝－eq\f(1,2)；当x2＋x＝2时，x＝1或x＝－2；当eq\f(1,x)＝2时，x＝eq\f(1,2)，由图象可知当f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))时，需满足eq\f(