2.3 三角形的内切圆 同步练习

2.3三角形的内切圆基础过关全练知识点1三角形的内切圆1.已知☉O为△ABC的内切圆,则点O是△ABC的()A.三条中线的交点 B.三条高的交点C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点2.(2020浙江金华中考)如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点(不与D、F重合),则∠EPF的度数是()A.65° B.60° C.58° D.50°3.如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D,☉E是△ACD的内切圆,连结AE,BE,则∠AEB的度数为°.

4.如图,已知△ABC中,∠B=40°.(1)用尺规作出△ABC的内切圆☉O,并标出☉O与边AB,BC,AC的切点D,E,F(保留作图痕迹,不必写作法);(2)连结EF,DF,求∠EFD的度数.知识点2三角形内切圆的半径5.(2022湖北恩施州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,☉O为Rt△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)

6.如图,☉O是△ABC的内切圆,与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,∠DEF=45°,连结BO并延长,交AC于点G,AB=4,AG=2.(1)求∠A的度数;(2)求☉O的半径.能力提升全练7.(2022浙江宁波鄞州月考)如图,点I为△ABC的内心,连结AI并延长,交△ABC的外接圆于点D,点E为弦AC的中点,连结CD,EI,IC,当AI=2CD,IC=6,ID=5时,IE的长为()A.5 B.4.5 C.4 D.3.58.如图,矩形ABCD中,AD=6,AB=8,点P为BC边的中点,点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点,点M是CQ的中点,则PM的最大长度是()A.13−1 B.13+1 C.3.2 9.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,∠A=80°,点P为☉O上任意一点(不与E、F重合),则∠EPF=.

10.(2022浙江台州玉环一模)如图,已知☉O内切于Rt△ABC,∠C=90°,BC边上的切点为点D.作☉O的直径DE,连结AE并延长,交BC于点F,若∠AFC=45°,FD=2,则AB的长为.

11.如图,☉O是Rt△ABC的内切圆,∠B=90°.(1)若AB=4,BC=3,求Rt△ABC外接圆的半径;(2)在(1)的条件下,求Rt△ABC的内切圆圆心和外接圆圆心的距离;(3)连结AO并延长,交BC于点D,若AB=6,tan∠CAD=13,求☉O的半径素养探究全练12.如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,I1、I2分别是△ACD、△BCD的内心,直线I1I2分别交AC、BC于点E、F,求tan∠I1I2D.

2.3三角形的内切圆答案全解全析基础过关全练1.D∵☉O是△ABC的内切圆,∴点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是△ABC的三条角平分线的交点,故选D.2.B如图,连结OE,OF.由已知得OE⊥AB,OF⊥BC,∴∠OEB=∠OFB=90°,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∴∠EPF=12∠EOF=60°,故选3.答案135解析如图,连结EC.∵E是△ADC的内心,∴∠ACE=12∠ACD,∠EAC=12∠∴∠AEC=180°-12(∠ACD+∠CAD)=180°-12×(180°-90°)=135在△AEC和△AEB中,AE∴△EAC≌△EAB(SAS),∴∠AEB=∠AEC=135°.4.解析(1)如图,☉O即为所求.(2)连结OD(图略),则OD⊥AB,∵OE⊥BC,∴∠ODB=∠OEB=90°,又∵∠B=40°,∴∠DOE=180°-∠B=140°,∴∠EFD=12∠DOE=70°5.答案5-34解析如图,设AB,BC,AC分别与☉O相切于点F,E,D,连结OD,OE,∴CD=CE,AD=AF,BE=BF,OD⊥AC,OE⊥BC,又∵∠C=90°,∴四边形ODCE为正方形,∴OD=CD=CE=OE,∠DOE=90°,∵AC=4,BC=3,∠C=90°,∴AB=AC2设☉O的半径为r,∴AF=AD=4-r,BF=BE=3-r,∵AF+BF=AB,∴4-r+3-r=5,∴r=1.∴题图中阴影部分的面积为4×32−6.解析(1)连结OD,OF(图略),由已知得OD⊥AB,OF⊥AC,∴∠ODA=∠OFA=90°,又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°,∴四边形ADOF是矩形,∴∠A=90°.(2)设☉O的半径为r,由(1)知四边形ADOF是矩形,∴AD=OF=r,OD∥AC,∴△BOD∽△BGA,∴ODAG=BD解得r=43,即☉O的半径为4能力提升全练7.C如图,延长ID到M,使DM=ID,连结CM.∵I是△ABC的内心,∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB,∵∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,∠BCD=∠IAB,∴∠DIC=∠DCI,∴DI=DC=DM=5,∴∠DCM=∠DMC,∴∠ICM=90°,∴CM=IM2∵AI=2CD=10,∴AI=IM,∵E为AC的中点,∴IE是△ACM的中位线,∴IE=12CM=4,故选C8.B∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,CD=AB=8,∴AC=AD2设△ACD的内切圆圆O的半径为r,则12×10r+12×如图,连结BQ,∵点P是BC边的中点,点M是CQ的中点,∴PM是△BCQ的中位线,∴PM=12BQ当BQ经过圆心O时,BQ最长,此时PM最长,过O作OE⊥AD于E,OF⊥AB于F,则AF=DE,OE=2,易知BF=AB-AF=8-2=6,OF=AE=AD-DE=6-2=4,∴BO=BF∴BQ=BO+OQ=213+2,∴PM=12BQ∴PM的最大长度为13+1.故选B.9.答案50°或130°解析有两种情况:如图,①当P在弧EDF上(不与E、F重合)时,∠EPF=∠ENF,连结OE、OF,∵圆O是△ABC的内切圆,∴OE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AEO=∠AFO=90°,∵∠A=80°,∴∠EOF=360°-∠AEO-∠AFO-∠A=100°,∴∠EPF=∠ENF=12∠EOF=50°②当P在劣弧EF上(不与E、F重合)时,∠EPF=∠EMF,∵四边形ENFM为圆内接四边形,∴∠EPF=∠EMF=180°-50°=130°.故答案为50°或130°.10.答案5解析如图,设☉O与边AB、AC的切点为H、G,连结OH、OG,∵☉O内切于Rt△ABC,∠C=90°,∴∠ACB=∠OGC=∠ODC=90°,BH=BD,AH=AG,∴四边形ODCG是矩形,在Rt△EDF中,∠AFC=45°,则DE=DF=2,∴OD=OG=1,∴CD=CG=1,∴CF=2+1=3,在Rt△ACF中,∠AFC=45°,∴AC=CF=3,∴AH=AG=3-1=2,设BF=x,则BD=BH=2+x,AB=2+x+2=4+x,BC=3+x,在Rt△ABC中,32+(3+x)2=(4+x)2,∴x=1,∴AB=5.11.解析(1)如图,取AC的中点H,∵∠B=90°,∴点H是Rt△ABC的外接圆圆心,∵AB=4,BC=3,∠B=90°,∴AC=5,∴AH=12∴Rt△ABC的外接圆半径为52(2)如图,设☉O切△ABC三边于G,E,F,连结OE,OF,OG,OH,则∠OFB=∠OEB=90°,∵∠B=90°,OE=OF,∴四边形OEBF是正方形,设☉O的半径为r,则BF=OF=OE=BE=r,∵☉O是Rt△ABC的内切圆,AB=4,BC=3,∴AF=AG=4-r,CE=CG=3-r,∴AC=AG+CG=7-2r=5,∴r=1,∴Rt△ABC的内切圆的半径为1,∴OG=1,AG=3,∴HG=AG-AH=3-52∴OH=OG∴Rt△ABC的内切圆圆心和外接圆圆心的距离为52(3)如图,设☉O的半径为R,则BF=OE=OF=R,∴AF=6-R,∵☉O是Rt△ABC的内切圆,∴∠OAF=∠CAD,∵tan∠CAD=13∴tan∠OAF=OFAF∴R6−∴R=32∴☉O的半径为32素养探究全练12.解析如图,连结AI1、CI1、CI2,∵三角形的内心是三条角平分线的交点,且I1、I2分别是△ACD,△BCD的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵CD⊥AB,∴∠1=∠2=∠3=