专项03 二次函数图像与系数a、b、c的关系

专项03二次函数图像与系数a、b、c的关系类型一判断a、b、c的符号1.如果a<0，b>0，c<0，那么二次函数y=ax2+bx+c的图像可能是()A B C D2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列说法不正确的是()A.函数有最小值 B.a>0 C.c>0 D.-b2a类型二判断a、b、c的等量关系3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，有下列结论：①abc<0；②当x=-1时，y=0；③a+2b=c；④y最大值=43A.1个 B.2个 C.3个 D.4个类型三判断含a、b、c的代数式与0的不等关系4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，下列选项错误的是()A.ac<0 B.x>1时，y随x的增大而增大C.a+b+c>0 D.图像与直线y=2有两个交点5.二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，有以下结论：①3a-b=0；②4ac−b24a>0；A.1 B.2 C.3 D.4类型四判断含有am2+bm的代数式与0的不等关系6.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2，与x轴的一个交点在点(-3，0)和点(-4，0)之间，则下列结论：①4a-b≠0；②c<0；③-3a+c>0；④4a-2b≥at2+bt(t为实数)；⑤点-92,y1，-52,y2，-A.4个 B.3个 C.2个 D.1个7.(2023广东深圳盐田模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，以下结论正确的有()①abc<0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0；④am2-a+bm+b>0(m为任意实数).A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

专项03二次函数图像与系数a、b、c的关系答案全解全析1.A∵a<0，∴函数图像开口向下，∵a，b异号，∴对称轴在y轴右侧，∵c<0，∴抛物线与y轴交于负半轴上一点，故选A.2.D因为函数图像开口向上，所以a>0，函数有最小值，故A，B选项说法正确.因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c>0，故C选项说法正确.因为对称轴在y轴右侧，所以-b2a>03.D∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，∵点(3，0)在函数图像上，图像对称轴为直线x=1，∴点(-1，0)也在函数图像上，∴x=-1时，y=0，∴②正确；∵当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，又∵b=-2a，∴a+2a+c=0，即c=-3a，∴a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c，∴③正确；由图像可知当x=1时，函数y取得最大值，为a+b+c=a-2a+c=-a+c=13c+c=43c4.CA.由二次函数的图像开口向上可得a>0，由抛物线与y轴交于负半轴可得c<0，所以ac<0；B.由a>0，对称轴为直线x=-1+32=1，可知x>1时，y随x的增大而增大C.由函数图像可以看出x=1时二次函数的值为负，∴x=1时，y=a+b+c<0；D.由二次函数的图像可知图像与直线y=2有两个交点.故选C.5.C由图像可知a<0，c>0，对称轴为直线x=-32∴-32=-b2a，∴b=3a，∴3a-b=0∵函数图像的顶点在第二象限，且a<0，∴函数的最大值大于0，故4ac-b2当x=-1时，y=a-b+c>0，当x=-3时，y=9a-3b+c>0，∴10a-4b+2c>0，∴5a-2b+c>0，③正确；由对称性可知x=1时对应的y值与x=-4时对应的y值相等，∴当x=1时，y=a+b+c<0，∵b=3a，∴4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3(a+b+c)<0，∴4b+3c<0，④错误.①②③结论正确，故选C.6.B①抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-2，所以4a-b=0，②抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在点(-3，0)和点(-4，0)之间，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点在点(-1，0)和点(0，0)之间，所以抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，即c<0，故②正确；③由①可知4a-b=0，由图像知x=-3时，y>0，即y=9a-3b+c>0，所以4a-b=0(Ⅰ),④由函数图像知当x=-2时，函数取得最大值，所以4a-2b+c≥at2+bt+c(t为实数)，即4a-2b≥at2+bt(t为实数)，故④正确；⑤点-92，y1，-52，y2，-12，y3是该抛物线上的点，这三个点到对称轴的距离分别为d1=52，d2=12，d3=32，抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，故由d1>d3>d2，可知y1<y3<y2，故⑤错误.综上可知，正确的有3个.故选B.7.C∵抛物线开口向上，∴a>0，由对称轴可知-b2a=-1<0，∴a、b同号，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c<0，∴abc<0，∵抛物线过点(1，0)，∴a+b+c=0，又∵对称轴为直线x=-1，∴-b2a=-1，∴b=2a，∴a+2a+c=0，即3a+c=0，而a>0，∴2a+c<3a+c=0，由图像可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，而对称轴为直线x=-1，由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)，∴9a-3b+c