29.4 切线长定理 同步练习

第二十九章直线与圆的位置关系29.4切线长定理基础过关全练知识点1切线长定理1.如图，四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA分别与☉O相切于点E，F，G，H，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为.2.下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.已知：☉O及☉O外一点P.求作：☉O的一条切线，且这条切线经过点P.(1)根据小芸尺规作图的痕迹补全作法.作法：①连接OP，作OP的l，交OP于点A；

②以点为圆心，为半径作圆，交☉O于点M(两个)；

③作直线PM，则直线PM即为☉O的切线.(2)①结合作法证明PM1为☉O的切线；②由作图知过圆外一点作已知圆的切线可作两条，且PM1PM2.

知识点2三角形的内切圆3.(2023河北石家庄四十二中模拟)小雨同学要找到三角形的内心，根据下列各图中尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是() A B C D4.(2022湖南娄底中考)如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是()A.318π B.318 C.39π5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，☉O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF=2，AF=3，则△ABC的面积是.

6.如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB，OC.过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.若AB=5，AC=6，求△AEF的周长.7.如图，AB=AC，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接DE、CD，CD交☉O于点G，连接EG并延长交BC于H.(1)求证：DE∥BC；(2)连接AG，若EH⊥BC，求sin∠DAG的值.能力提升全练8.(2023河北石家庄长安质检)如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD.将△ABC再次折叠，使BC边落在BA边上，展开后得到折痕BE，BE，AD交于点O，则以下结论一定成立的是()A.AO=2OD B.S△ABO=S四边形ODCEC.点O到△ABC三边的距离相等 D.点O到△ABC三个顶点的距离相等9.(2023江苏南通海门一模)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的直径，∠BAC=30°.(1)求∠P的度数；(2)若AC=6，计算图中阴影部分的面积.素养探究全练10.(2023辽宁抚顺东洲三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，☉O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA.(1)求证：AB是☉O的切线；(2)若BE=AC=3，☉O的半径是1，求图中阴影部分的面积.

第二十九章直线与圆的位置关系29.4切线长定理答案全解全析基础过关全练1.50解析∵四边形ABCD的四边分别与☉O相切，∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，∴AD+BC=AB+CD=25，∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=25+25=50，故答案为50.2.解析(1)答案为垂直平分线；A；OA(或AP)的长.(2)①证明：连接OM1，根据作图过程可知OP为☉A的直径，∴∠OM1P=90°，∴OM1⊥PM1，又∵OM1为☉O的半径，∴PM1为☉O的切线.②=.3.B三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了三角形两个内角的平分线.故选B.4.A设内切圆与BC相切于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，如图，易知圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BO平分∠ABC，∴∠OBD=12∠ABC=30°由勾股定理，得AD=AB2-BD在Rt△BOD中，OD=BD×tan30°=33a∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比为π33a5.6解析连接DO，EO，∵☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，OD=OE，BD=BF=2，AF=AE=3，又∵∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，即(x+2)2+(x+3)2=52，解得x=1(舍负)，∴BC=3，AC=4，∴S△ABC=12×3×4=6，6.解析∵点O是△ABC的内心，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO.∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠FOC，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=11.7.解析(1)证明：如图，O为内切圆的圆心.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AB、AC切☉O于点D、E，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵2∠ADE+∠DAE=180°，2∠B+∠BAC=180°，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.(2)如图，连接DF.∵EH⊥BC，DE∥BC，∴EH⊥DE，∴DG是☉O的直径，∵FC、CE是☉O的切线，∴∠DCF=∠DCE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCF，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=EC=CF，同法可证BD=BF=CE=DE=CF，∵DE∥BC，DE=12BC，∴DE是△ABC的中位线∴AD=BD=BF=CF，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECG=∠EDC=30°，∠CEG=90°-∠ACB=30°，∴∠CEG=∠ECG，∴GE=GC.设GE=GC=m，则DG=2EG=2m，∴CD=DG+CG=3m，∴AD=CD·tan∠ECD=3m，∴AG=AD2+DG2=∴sin∠DAG=DGAG=2能力提升全练8.C结合角平分线的探究过程求三角形的内心.由题意知AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，点O为△ABC的内切圆的圆心，即点O到△ABC三边的距离相等，故C选项符合题意.其他选项的结论通过现有条件均无法推出.故选C.9.解析(1)如图，连接OB，∵PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∵∠BAO=30°，∴∠PAB=90°-30°=60°，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°.(2)如图，连接OP，∵OP=OP，OA=OB，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，∴S△AOP=S△BOP，∠OPA=∠OPB=30°，∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∵AC=6，∴OA=12AC=3，∴AP=3OA=33，∴S△AOP=12AO·AP=12×3×33=932.∵S∴S阴影=2×S△AOP-S扇形AOB=93-3π.素养探究全练10.解析(1)证明：如图，连接OE，OF，过点O作OD⊥AB于点D，∵BC与☉O相切于点E，∴OE⊥BC，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD=OE，∴OD是☉O的半径，∴AB是☉O的切线.(2)解法一：∵∠OEC=∠OFC=∠C=90°，OE=OF，∴四边形OECF是正方形，∴EC=OE=1，∴BC=4，∴AB=AC2+BC2=32∴∠AOB=180°-12(∠ABC+∠BAC)=180°-12(180°-∠ACB)=180°-1设AO，BO与☉O交于点G，H，则S阴影=S△AOB-S扇形GOH=12×5×1-135π×12360=解法二：同解法一可