第六章 图形的相似（单元重点综合测试）

第六章图形的相似（单元重点综合测试）一、单选题（每题3分，共24分）1．已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（

）A．

B．

C． D．

2．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．已知，则的长为（）A．9.6 B．15 C．13.6 D．7.53．下列各组线段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm4．在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（

）A． B．C． D．5．如图，在等腰中，，点D是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点F．若，的面积分别为1和16，则（）

A． B．3 C． D．6．如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，则的长是（）A．12 B．15 C． D．7．如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（

）A． B． C． D．8．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．二、填空题(共10小题，每题4分，共40分）9．在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为_____________．10．已知点C是线段的黄金分割点，且，若线段的长为4厘米，那么线段的长为厘米．11．如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立（只添一种即可）．12．如图，在中，，，点是斜边的中点，点为的重心，，则．

13．已知，则14．如图，沿方向开山修路，为了预算的需要，设计人员打算测量之间的距离，设计图如图所示，，量得，，，，则的长为．

15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为．

16．已知两个相似的菱形的相似比为，面积之差为，则这两个菱形的面积分别是．17．如图，已知A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，AC⊥x轴于点C，OB交AC于点D，若△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，则△AOD的面积是．18．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为．三、解答题(共9小题，共76分）19．（本题6分）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．

(1)若，求的长；(2)若，，求的长．20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、B的对应点、的坐标．(2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．21．（本题6分）如图，在和中，已知，．

(1)求证：．(2)若S，求的长．22．（本题8分）如图，是矩形的边上的一点，于点．若，，，求线段的长度．

（本题8分）某校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜小明刚好看到大雁塔的顶端M的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和塔顶M在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点N、C、B、F、D在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．24、（本题8分）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接．

(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．25、（本题10分）如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求证：．26．（本题10分）已知中，，，．是上的动点，为上的点，点在运动的过程中保持．试写出面积与的长度之间的关系式．

27．（本题12分）如图，在中，，，点为边上一点，且AD=3cm，动点从点出发沿线段向终点运动．作，与边相交于点．找出图中的一对相似三角形，并说明理由；当为等腰三角形时，求的长；求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长．

第六章图形的相似（单元重点综合测试）一、单选题（每题3分，共24分）1．已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据相似图形的定义：所有的对应边对应成比例，所有的对应角相等，进行判断即可．【详解】解：因为矩形的所有内角均为90°，∴所有矩形的对应角均相等，∴当两个矩形相似时，长比长等于宽比宽，∴满足题意的只有C选项，故选C．2．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．已知，则的长为（）A．9.6 B．15 C．13.6 D．7.5【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：，，，，故选：C．3．下列各组线段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【详解】解：A、∵，∴选项A不成比例；B、∵，∴选项B不成比例；C、∵，∴选项C不成比例；D、∵，∴选项D成比例．故选：D．4．在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行分析判断即可．【详解】解：A.由，可以根据两边成比例且夹角相等，证明，该选项不符合题意；B.由，可推导出，根据两角对应相等，证明，该选项不符合题意；C.由，不能判定两个三角形相似，符合题意；D.由，可推导，根据三边对应成比例，证明，该选项不符合题意．故选：C．5．如图，在等腰中，，点D是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点F．若，的面积分别为1和16，则（）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根据已知易证，从而求出对应边的比，然后设，表示出与的长，再根据，求出，最后进行计算即可解答．【详解】解：，，由折叠得：，，，，的面积分别为1和16，，，∴设，，，设，则，，，，，，，，故选：C．6．如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，则的长是（）A．12 B．15 C． D．【答案】C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵矩形中，，∴．故选：C．7．如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【详解】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，第二次裁剪所得矩形的长为，宽为，第三次裁剪所得矩形的长为，宽为，第四次裁剪所得矩形的长为，宽为，第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，，．故选：A．8．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．【详解】四边形ABCD是矩形，，，即，四边形ABFE是矩形，是的平分线，且，，四边形ABFE是正方形，，又四边形ABCD是黄金矩形，且，，设，则，，，，则，，即，选项A正确；，，即，选项B正确；，，即，选项C错误；，则选项D正确；故选：C．二、填空题(共10小题，每题4分，共40分）9．在一张比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地的实际距离为_________．【答案】【分析】图上距离和比例尺已知,依据“图上距离比实际距离等于比例尺”即可求出A、B两地的实际距离．【详解】解:∵比例尺为，A，两地的距离是，设A，B两地的实际距离为，∴∴，∵，∴，两地的实际距离为米．故答案为：．10．已知点C是线段的黄金分割点，且，若线段的长为4厘米，那么线段的长为厘米．【答案】/【分析】根据黄金比值是，列式计算即可．【详解】∵点C是线段的黄金分割点，，线段的长为4厘米，∴，故答案为：．11．如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立（只添一种即可）．【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．【详解】解：根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．12．如图，在中，，，点是斜边的中点，点为的重心，，则．

【答案】8【分析】根据三角形的重心性质求得的长度，再由直角三角形斜边上的中线性质求得，由勾股定理求得．【详解】解：∵点G为的重心，，，，点D是斜边的中点，，，，故答案为：8．13．已知，则【答案】【分析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．【详解】解：设，则，故，故答案为：．14．如图，沿方向开山修路，为了预算的需要，设计人员打算测量之间的距离，设计图如图所示，，量得，，，，则的长为．

【答案】【分析】已知，可得，可求得的长度，即可得的长度．【详解】解：已知，∴，∵，，，，，，故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为．

【答案】【分析】先把点和点的横纵坐标都乘以得到，，则，接着证明，所以，然后把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．【详解】解：等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，而点，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，故答案为：．16．已知两个相似的菱形的相似比为，面积之差为，则这两个菱形的面积分别是．【答案】，【分析】分别设两个菱形的面积为、，然后根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方列式求解即可．【详解】解：设两个菱形的面积为、，∵两个相似的菱形的相似比为，∴，整理得：，解得：，，∴这两个菱形的面积分别是，．故答案为：，．17．如图，已知A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，AC⊥x轴于点C，OB交AC于点D，若△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，则△AOD的面积是．【答案】2.5【分析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，根据反比例函数k的几何意义可得S△AOC=S△OEB=4.5，根据△OCD的面积是△BCD的面积的2倍可得OD=2BD，可得，根据AC⊥x轴可得AC//BE，可得△OCD∽△OEB，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，即可得出△OCD的面积，进而可得答案．【详解】如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵已知A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，∴S△AOC=S△BOE=×9=4.5，∵△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，∴OD=2BD，∴，∵AC⊥x轴，∴AC//BE，∴△OCD∽△OEB，∴，∴S△OCD=S△OEB=×4.5=2，∴S△AOD=S△AOC-S△OCD=4.5-2=2.5．故答案为：2.5．18．已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为．【答案】或【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解．【详解】解：∵直线，即恒过点，当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵两直线的夹角为，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为，点到轴的距离为2，故点到轴的距离为，即点的纵坐标为，点的横坐标为，故；当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：

∵，故，，在中，，又∵，，∴，∴，即，，解得，，∵两直线的夹角为，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，故，∴，在中，，即，∴，∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为，点到轴的距离为2，故点到轴的距离为，即点的纵坐标为，点的横坐标为，故；综上，点的坐标为或．故答案为：或．三、解答题(共9小题，共76分）19．（本题6分）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．

(1)若，求的长；(2)若，，求的长．【答案】(1)；(2)．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，解得．20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、B的对应点、的坐标．(2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．【答案】(1)，，作图见解析(2)能，点M，作图见解析【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；（2）根据平移变换的性质画出图形，再根据位似中心的性质可得答案．【详解】（1）解：如图，即为所作图形；其中，，；

（2）如图所示，与是关于点M为位似中心的位似图形．21．（本题6分）如图，在和中，已知，．

(1)求证：．(2)若S，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据相似的判定方法证明即可；（2）由相似得到对应线段成比例，即可求出答案．【详解】（1）解：，，即．又，．（2）解：，，，又，．22．（本题8分）如图，是矩形的边上的一点，于点．若，，，求线段的长度．

【答案】【分析】由矩形的性质及，可证得，，进而可得，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，则∵四边形是矩形，∴，则，∴，∴，∴，即：，∴．23、（本题8分）某校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜小明刚好看到大雁塔的顶端M的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和塔顶M在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点N、C、B、F、D在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．【答案】大雁塔的高度为64米【分析】设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可．【详解】解：设米．∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，经检验是分式方程的解，答：大雁塔的高度为64米．24、（本题8分）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接．

(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证即可求证；（2）结合（1）仍然可证，进一步证可推出，即可利用勾股定理求解．【详解】（1）证明：如图：

∵，，∴∴在图1中：∵∴∵∴∴∵绕点顺时针旋转得∴∵∴∵∴∴即：（2）解：∵∴∵∴

∴∵∴∴∴∵,∴∴∴∴∴25、（本题10分）如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半得出，可得进而证明，即可证明，根据相似三角形的性质，