第二十七章 圆与正多边形（单元重点综合测试）

第二十七章圆与正多边形单元重点综合测试一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023上·广东广州·九年级广州市广外附设外语学校校考期中）如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（

）

A．4 B．2 C． D．3．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（）A． B． C． D．44．（2023·上海宝山·统考二模）已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题的是（

）A．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形B．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形C．如果四边形是平行四边形，那么D．如果，那么四边形是平行四边形5．（2023上·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，点是边上一点，，那么下列结论错误的是（

）

A． B．C． D．6．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，矩形中，，，点在对角线上，圆经过点．如果矩形有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（

）

A． B． C． D．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是．8．（2023·广东揭阳·统考一模）一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的内角和为度．9．（2023·上海普陀·统考二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在．10．（2023下·九年级单元测试）如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为个单位），的半径为的半径为，要使与静止的相切，那么由图示位置需向右平移个单位．

11．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知的半径长为3，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是12．（2023·上海青浦·统考二模）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．

13．（2022上·六年级校考单元测试）如图，正方形的边长为厘米，以圆弧为分界线的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积的差是平方厘米．

14．（2023下·上海·八年级上外附中校考期末）如图，切圆于点切圆点，交，于，则∆PEF的周长为．

15．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，，垂足分别为点D、E．设，的面积为y，试写出y与x的函数关系式．

16．（2023·山东聊城·统考三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，分别以点O、D为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切（圆心距=半径之差），那么的半径长r的取值范围是．

17．（2023·上海普陀·统考二模）在矩形中，，，点在边上，，以点为圆心、为半径作(如图)，点在边上，以点为圆心、为半径作．如果与外切，那么的长是．

18．（2023·上海·统考中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．三、解答题（9小题，共64分）19．（2020上·上海·九年级上海民办华二浦东实验学校校考期中）如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．20．（2023上·山西忻州·九年级校考期末）如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．(2)若，求的长．21．（2022上·江苏常州·九年级统考期中）如图，是的内接三角形，直径，平分交于点D，交于点E，连接、．(1)若，求的度数；(2)求的长．22．（2017下·河南·九年级专题练习）如图，、为上的两个定点，是上的动点（不与、重合），我们称为上关于、的滑动角．已知是上关于点、的滑动角．(1)若为的直径，则______；(2)若半径为，，求的度数．23．（2020上·上海嘉定·九年级统考期中）已知：在平行四边形中，点M、N分别是边一个动点，联结.(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，试问是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理由

24．（2023·上海青浦·统考二模）如图，半圆O的直径，点C在半圆O上，，垂足为点H，点D是弧AC上一点．(1)若点D是弧的中点，求的值；(2)连接交半径于点E，交于点F，设．①用含m的代数式表示线段的长；②分别以点O为圆心为半径、点C为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围．25．（2023·上海·统考中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．

(1)如果，求证：四边形为平行四边形；(2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长；(3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．

第二十七章圆与正多边形单元重点综合测试一、选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．【详解】解：设半径为r，根据题意得，故选：D．【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内．2．（2023上·广东广州·九年级广州市广外附设外语学校校考期中）如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得，根据正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，即可求解．【详解】解：连接，

∵是正方形的外接圆，正方形的边长为，∴∴正方形的半径是故选：C．3．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（）A． B． C． D．4【答案】C【分析】利用垂径定理先求出，，进而证得四边形是正方形，再利用勾股定理可以求出的长．【详解】解：作于M，于N，连接，

∵，∴四边形是矩形，∵，，∴，，由勾股定理得：，∴四边形是正方形，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．（2023·上海宝山·统考二模）已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题的是（

）A．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形B．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形C．如果四边形是平行四边形，那么D．如果，那么四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据平行四边形的性质与判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质逐一判定即可．【详解】解：A、如图1所示，当是直径时，满足半径平分弦，但是不能构成四边形，故原命题是假命题，不符合题意；B、如图2所示，∵弦平分半径，但是半径并不一定平分弦，∴四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题，不符合题意；C、如图2所示，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴原命题是真命题，符合题意；D、如图2所示，当点B在点D的位置时，满足，但是四边形不是平行四边形，故原命题是假命题，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．5．（2023上·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，点是边上一点，，那么下列结论错误的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，从而证得，根据平行线的性质得出，证得，因为，证得，得出，证得，得到从而得到，在以为直径的圆上，根据圆周角定理得到，，进一步得到，根据，得到即可．【详解】解：，，，，，，，故错误；，，，，，，，，，，在以为直径的圆上，，，故正确；，，故正确；，，，故正确，故选：．【点睛】本题考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．6．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，矩形中，，，点在对角线上，圆经过点．如果矩形有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，连接，交于点F，作于点E，求得，再根据圆的运动过程，判断出r的取值范围即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴∵，∴∴由勾股定理得，，连接，交于点F，作于点E，

∵∴点O从点D开始向B移动，移到E时，的长度从1减到，再移到点F，此时，在这一范围内，，,∴当时，A，B都在圆外，不满足条件；当点O从点F移到点B时，，此时，，，∴当时，满足两点在圆内的条件；当，即，点O在点F的位置，，此时四点都在圆上，不满足条件；当，即，点O在点B的位置，此时，，A和B在圆内，点D在圆外，满足条件，故r的取值范围是：．故选：B．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确进行分类讨论是解答本题的关键．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是．【答案】以点A为圆心，长为半径的圆【分析】根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析．【详解】解：根据题意，圆心应满足到点A的距离恒等于，即经过定点A，且半径为的圆的圆心轨迹是以点A为圆心，长为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，长为半径的圆．【点睛】此题考查了点的运动轨迹问题和点和圆的位置关系与数量之间的联系．注意：点在圆上，即点到圆心的距离等于该圆的半径．8．（2023·广东揭阳·统考一模）一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的内角和为度．【答案】1440【分析】依据正多边形的中心角和为求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．【详解】解：因为正多边形的中心角为36°，且中心角和为，所以这个多边形边数：，则这个多边形的内角和为：．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形内角和公式、中心角性质，通过中心角求得边数是解题的关键．9．（2023·上海普陀·统考二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在．【答案】外【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理得，可知点到圆心的距离大于的半径，则点在外，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，，的半径为，且，点到圆心的距离大于的半径，点在外，故答案为：外．【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键．10．（2023下·九年级单元测试）如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为个单位），的半径为的半径为，要使与静止的相切，那么由图示位置需向右平移个单位．

【答案】或【分析】由的半径为的半径为，要使与静止的相切，分内切和外切两种情况可求得由图示位置需向右平移的单位长度．【详解】∵的半径为的半径为，，∴要使与静止的相切，当内切时，；即由图示位置需向右平移的单位长为4或6个单位长度，当外切时，，即由图示位置需向右平移的单位长为2或8个单位长度，∴由图示位置需向右平移的单位长为或个单位长度，故答案为：或.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是注意掌握两圆相切与圆心距、两圆半径的数量关系间的联系.11．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知的半径长为3，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是【答案】【分析】求得在内部且有唯一公共点时的半径和⊙O在内部且有唯一公共点时的半径，根据图形即可求得．【详解】解：如图，当在内部且有唯一公共点时，的半径为：，当在内部且有唯一公共点时，的半径为，

∴如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合和分类讨论思想的应用．12．（2023·上海青浦·统考二模）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．

【答案】【分析】根据垂径定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．【详解】解：过点作于点，∵分米，分米，∴分米，∴设分米，∴分米，∴在中，，∴，∴，∴该圆柱形油槽的内半径为分米，故答案为．

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．13．（2022上·六年级校考单元测试）如图，正方形的边长为厘米，以圆弧为分界线的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积的差是平方厘米．

【答案】【分析】根据题意可先求出Ⅰ和Ⅱ的面积，其中扇形的面积等于圆形面积的四分之一，Ⅰ的面积等于正方形面积的一半减去扇形面积的一半，Ⅱ的面积等于扇形面积的一半减去二分之一正方形的面积，然后用大数减去小数即可得出Ⅰ、Ⅱ两部分的面积差，列式解答即可．【详解】解：如图，过点作于点，在正方形中，是对角线，边长为，∴，，，∵，∴，，∴四边形是矩形，∴四边形是正方形，∴正方形的面积：，扇形的面积：，正方形的面积为：，∴Ⅰ的面积为：，Ⅱ的面积为：，∴以圆弧为分界线的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积的差是：（平方厘米）．故答案为：．

【点睛】本题考查圆的面积公式和正方形的面积公式的使用，正方形的判定和性质．通过数形结合确定Ⅰ、Ⅱ两部分的面积是解题的关键．14．（2023下·上海·八年级上外附中校考期末）如图，切圆于点切圆点，交，于，则∆PEF的周长为．

【答案】【分析】利用切线长定理得到，，，然后利用等线段代换得到∆PEF的周长．【详解】解：、分别与相切于点、，，直线与相切于点，，，的周长．故答案为：20．【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．15．（2020上·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，，垂足分别为点D、E．设，的面积为y，试写出y与x的函数关系式．

【答案】【分析】连接，过点D作于H，根据等腰三角形的三线合一性质得到，，，，进而求得，，然后利用勾股定理求得，，，则，由求解即可．【详解】解：连接，过点D作于H，

∵，，，∴，，，，∵，∴，，∴，在中，，，∴，且，在中，，∴，在中，，∴，则，故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线性质、圆的基本知识等知识，综合性较强，难度适中．16．（2023·山东聊城·统考三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，分别以点O、D为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切（圆心距=半径之差），那么的半径长r的取值范围是．

【答案】【分析】设的半径是，的半径是r，由与直线相交、与直线相离，得到；两圆的圆心距是、半径是r和，两圆内切，由此即可求出的半径长的取值范围．【详解】解：作于，于，

四边形是矩形，，，是的中位线，同理：，设的半径是，的半径是r，与直线相交、与直线相离，，由题意知，不然和不能内切，，，两圆的圆心距，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，关键是掌握圆与圆的位置关系的判定方法．17．（2023·上海普陀·统考二模）在矩形中，，，点在边上，，以点为圆心、为半径作(如图)，点在边上，以点为圆心、为半径作．如果与外切，那么的长是．

【答案】【分析】连接，作于，设的半径是，得到，，，由勾股定理得到，求出，即可解决问题．【详解】解：连接，作于，∵，，点在边上，，

设的半径是，两圆外切，，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，，，，的长是，故答案为：．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．18．（2023·上海·统考中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．【答案】【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接，

过点，且，的半径为7，过点，它的半径为，且，，，，，在边上，点在延长线上，，即，，与有公共点，，即，不等式①可化为，解方程得：或，画出函数的大致图象如下：

由函数图象可知，当时，，即不等式①的解集为，同理可得：不等式②的解集为或，则不等式组的解集为，又，半径r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．三、解答题（9小题，共64分）19．（2020上·上海·九年级上海民办华二浦东实验学校校考期中）如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．【答案】见解析【分析】连结OP，因P为弦AB的中点，利用垂径定理得OP⊥AB结合证△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性质得即可．【详解】连结OP，因P为弦AB的中点，则OP⊥AB，又，∠PCA=∠OPA=90º，∠PAC=∠OAP，△PAC∽△OAP，，，P为弦AB的中点，AP=PB，，．【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理与相似三角形的判定与性质，会利用解决问题是解题关键．20．（2023上·山西忻州·九年级校考期末）如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数；（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】（1）解：是的直径，，，；（2）∵，∴在中，，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．21．（2022上·江苏常州·九年级统考期中）如图，是的内接三角形，直径，平分交于点D，交于点E，连接、．(1)若，求的度数；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求出，即可求解；（2）可证，，即可求解．【详解】（1）解：是的直径，，平分，，，的度数为．（2）解：是的直径，，由（1）得，，，，的长为．【点睛】本题考查了圆的基本性质，掌握性质是解题的关键．22．（2017下·河南·九年级专题练习）如图，、为上的两个定点，是上的动点（不与、重合），我们称为上关于、的滑动角．已知是上关于点、的滑动角．(1)若为的直径，则______；(2)若半径为，，求的度数．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数．（2）连接由勾股定理的逆定理，即可证得然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】（1）为的直径，，故答案为：；（2）连接的半径是，又由勾股定理的逆定理可得若点在优弧上,若点在劣弧上,∴或．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆周角定理是解题的关键．23．（2020上·上海嘉定·九年级统考期中）已知：在平行四边形中，点M、N分别是边一个动点，联结.(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，试问是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理由

【答案】(1)见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）由垂直的定义可得，根据四点共圆及平行线的性质可得，，最后根据相似三角形的判定可得结论；（2）延长到，则，根据相似三角形的判定可得结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∴A，M，C，N四点共圆，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：成立，理由如下：延长到，则，

∵，∴，∴M，C，N，A四点共圆，∴，∴．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，圆内接四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．24．（2023·上海青浦·统考二模）如图，半圆O的直径，点C在半圆O上，，垂足为点H，点D是弧AC上一点．(1)若点D是弧的中点，求的值；(2)连接交半径于点E，交于点F，设．①用含m的代数式表示线段的长；②分别以点O为圆心为半径、点C为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）连接，过