第27章 圆与正多边形 综合检测（重点）

第27章圆与正多边形单元综合检测（重点）一、单选题1．在直角坐标平面中，，圆的半径为4，那么点与圆的位置关系是（

）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定2．如图，在中，，垂足为C，交于点D，已知，，则的半径为（

）A． B． C． D．3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（

）A．① B．② C．③ D．④4．下列命题中，真命题的个数是（）①圆的每一条直径都是它的对称轴；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点满足，则圆与圆的位置关系是（）A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含6．已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（）A． B． C． D．47．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（

）A． B． C． D．．8．已知：在中，，则BC的值（

）A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个9．已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（）A． B． C． D．．10．如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（

）A．rB= B．4<rB≤C．rB=或4<rB≤ D．rB为任意实数二、填空题11．已知圆与圆内切，，圆半径为，那么圆的半径为．12．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．13．正边形的边长与半径的夹角为，那么．14．如图，在中，，则．15．已知钝角内接于，，将沿所在直线翻折，得到，连接、，如果，那么的值为．16．已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是．17．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为．18．如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，，垂足分别为点D、E．设，的面积为y，试写出y与x的函数关系式．三、解答题19．如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．(1)已知，，求圆O的半径；(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．20．如图，已知在中，，，经过的顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点．(1)求的半径长；(2)联结，求．21．如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．(2)若，求的长．22．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接．（1）求证：；（2）如果＝10，，求⊙的半径长．23．已知：如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M，N，且．(1)求的度数；(2)如果，，求的半径长．24．如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

(1)求证：．(2)若，求的半径．25．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C．(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接．①如果与线段交于点E，且，求的正切值；②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标．26．如图，已知中，，，，点D在上，连接，以点A为圆心、以为半径作圆A，圆A和边交于点E，点F在圆A上，且．

(1)设，，求y关于x的函数解析式；并写出的长；(2)如果点E是弧的中点，求的值；(3)连接，如果四边形是梯形，求的长．

第27章圆与正多边形单元综合检测（重点）一、单选题1．在直角坐标平面中，，圆的半径为4，那么点与圆的位置关系是（

）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定【答案】C【分析】求得线段的长后与圆的半径比较即可确定正确的选项．【解析】解：，，，圆的半径为4，点在圆外，故选：C．【点睛】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．2．如图，在中，，垂足为C，交于点D，已知，，则的半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，连接，首先根据垂径定理得到，然后设半径，则，利用勾股定理求解即可．解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．【解析】如图所示，连接，∵，∴∵∴设半径，则∴在中，∴解得∴．故选：C．3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．4．下列命题中，真命题的个数是（）①圆的每一条直径都是它的对称轴；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】本题考查判断命题的真假，圆的对称性，垂径定理，圆周角定理．掌握相关知识点，是解题的关键．【解析】解：①圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴；故①是假命题；②平分弦（不是直径）的直径必定垂直于这条弦；故②是假命题；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③是真命题；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等，故④是真命题；故选C．5．已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点满足，则圆与圆的位置关系是（）A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点能满足，当两圆相交时，交点能满足，当两圆内切时，切点能满足，当两圆相离时，圆上的点不能满足，所以，两圆相交或相切，故选：A．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．6．已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（）A． B． C． D．4【答案】C【分析】利用垂径定理先求出，，进而证得四边形是正方形，再利用勾股定理可以求出的长．【解析】解：作于M，于N，连接，

∵，∴四边形是矩形，∵，，∴，，由勾股定理得：，∴四边形是正方形，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（

）A． B． C． D．．【答案】B【分析】利用三等分点得到，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据即可判断C；根据，得到，由此判断D．【解析】解：连接AB、BC，OB，∵点B、C将弧AD三等分，∴，∴，故A选项正确；∵，∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B选项错误；∵，∴，故C选项正确；∵，∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴，∴，故D选项正确；故选：B．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．8．已知：在中，，则BC的值（

）A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个【答案】B【分析】如图，过作于，再利用特殊角的三角函数值求解的长度，再以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置，从而可得答案．【解析】解：如图，过作于，∴，∵，∴以为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为的位置，∴的值有两个．故选B．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，圆的基本性质，熟练的画出图形解题是关键．9．已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（）A． B． C． D．．【答案】C【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围．【解析】解：作于，如图所示：，，，，∵的面积，，即圆心到的距离，，以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，若与斜边有两个公共点，则的取值范围是．故选：C．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（

）A．rB= B．4<rB≤C．rB=或4<rB≤ D．rB为任意实数【答案】C【分析】作BD⊥AC于D，如图，利用勾股定理计算出BC＝4，再利用面积法计算出BD＝2，讨论：当⊙B与AC相切时得到r＝2；当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，BA＜r≤CB．【解析】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ABC中，BC＝，∵BD•AC＝AB•BC，∴CD＝当⊙C与AB相切时，r＝2；当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4．，综上所述，当r＝2或4＜r≤4故选C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．二、填空题11．已知圆与圆内切，，圆半径为，那么圆的半径为．【答案】【分析】两圆内切，则圆心之间的距离等于大圆半径减去小圆半径．【解析】解：∵圆与圆内切，∴大圆半径小圆半径，∵圆A半径为，∴圆的半径为，故答案为：14．【点睛】本题考查两圆的位置关系，当两圆内切，圆心之间的距离等于大圆半径减去小圆半径．12．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．

【答案】【分析】根据垂径定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．【解析】解：过点作于点，∵分米，分米，∴分米，∴设分米，∴分米，∴在中，，∴，∴，∴该圆柱形油槽的内半径为分米，故答案为．

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．13．正边形的边长与半径的夹角为，那么．【答案】6【分析】先根据正边形的边长与半径的夹角为求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于的方程，求出的值即可．【解析】解：正边形的边长与半径的夹角为，一个内角的度数，即，解得．故答案为：6【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．14．如图，在中，，则．【答案】/40度【分析】根据同圆中等弧所对的圆周角相等，求出的度数，即可利用三角形内角和定理求出的度数．【解析】解：∵在中，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，正确求出的度数是解题的关键．15．已知钝角内接于，，将沿所在直线翻折，得到，连接、，如果，那么的值为．【答案】/【分析】延长交于，设交于、，连接，，设，由翻折知是的垂直平分线，则，，说明，得，则，再利用，可得，从而解决问题．【解析】解：延长交于，设交于、，连接，，如图，∵，设，由翻折知是的垂直平分线，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴（），∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，，解得，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用相似三角形的性质表示出是解题的关键，综合性较强，属于中考压轴题．16．已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是．【答案】/【分析】过点A作AD⊥BC于D，则BD=BC==5，解Rt△ABD，求出AD长，从而求出AB长，再根据点与圆的位置关系求解即可．【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=BC==5，∠ADB=90°，∵cotB=，即∴AD=12，由勾股定理，得AB==13，∵顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形是解题的关键．17．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为．【答案】/【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF，设的半径为再分别表示再利用勾股定理求解半径r即可．【解析】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，过圆心O，，设的半径为∴整理得：解得：不符合题意，舍去，∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为故答案为：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．18．如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，，垂足分别为点D、E．设，的面积为y，试写出y与x的函数关系式．

【答案】【分析】连接，过点D作于H，根据等腰三角形的三线合一性质得到，，，，进而求得，，然后利用勾股定理求得，，，则，由求解即可．【解析】解：连接，过点D作于H，

∵，，，∴，，，，∵，∴，，∴，在中，，，∴，且，在中，，∴，在中，，∴，则，故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线性质、圆的基本知识等知识，综合性较强，难度适中．三、解答题19．如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分．(1)已知，，求圆O的半径；(2)如果，求弦所对的圆心角的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；（2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】（1）解：连接，如图，设的半径为，则，，平分，，，在中，，解得，即的半径为；（2）连接，如图，，，即，，，在中，，，，，，即弦所对的圆心角的度数为．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．20．如图，已知在中，，，经过的顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点．(1)求的半径长；(2)联结，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）联结，易得，为等腰三角形，利用三线合一，以及垂径定理，进行求解即可；（2）过点作，勾股定理求出的长，进而得到的长，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．【解析】（1）解：联结，则：，∵点C是的中点，∴，，∴，∴，∴，设圆的半径为，则：，∴，在中，，即：，解得：，∴的半径长为．（2）解：由（1）知：，∴，∴，过点作于点，则，即：，∴，由（1）知：，∴．【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握等弧对等弦对等角，是解题的关键．21．如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数；（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【解析】（1）解：是的直径，，，；（2）∵，∴在中，，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．22．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接．（1）求证：；（2）如果＝10，，求⊙的半径长．【答案】（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）连接，利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△E≌△即可；（2）利用△E∽△CA即可解答．【解析】（1）⊙和⊙相交于A、B两点，∴是AB的垂直平分线，∴∠CA=90°，∵E为AD的中点，∴E⊥AD，∴∠EA=90°，∴∠CA=∠EA，如图,连接∵AE＝AC，A=A∴△E≌△C，∴E＝C.（2）∵E⊥AD，∴∠E＝90°，在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6，∵，∴，∴E＝8，∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠，∴△E∽△CA，∴,∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6，，∴＝5，即⊙的半径长为5.故答案为5.【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键.23．已知：如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M，N，且．(1)求的度数；(2)如果，，求的半径长．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）先证明平分，然后由角平分线的定义，即可求出的度数；（2）由弦心距和弦的关系，得到，延长交于点，连接，由等腰三角形的性质，垂径定理，以及勾股定理，即可求出的半径．【解析】（1）解：∵平分的外角，∴，∵，，．∴平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴是等腰三角形，延长交于点，连接，如图：∵平分，∴，，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∴；【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．24．如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

(1)求证：．(2)若，求的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证．（2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可．【解析】（1）∵D是的中点，∴，∵，是的直径，∴，∴，∴，∴．（2）∵，是的直径，∴，∵，设，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴，∴的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键．25．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C．(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接．①如果与线段交于点E，且，求的正切值；②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）把点、代入抛物线解析式可求解，然后令可求点C的坐标；（2）①根据题意作图，则过点E作于点G，然后可得，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可