高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切示范说课稿 新人教B版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切示范说课稿新人教B版必修4一、教学内容

本节课的教学内容为新人教B版必修4高中数学第三章三角恒等变换中的3.2节倍角公式和半角公式，具体为3.2.2节“半角的正弦、余弦和正切”。本节课将重点介绍半角公式的基本概念及其应用，包括半角的正弦、余弦和正切公式，以及这些公式在解决三角函数问题中的应用。教学内容涵盖了以下方面：

1.半角公式的推导和表达。

2.半角公式的应用实例。

3.半角公式在解题中的技巧和方法。二、核心素养目标

1.通过对半角公式的探究，培养学生逻辑思维能力和数学抽象能力。

2.在应用半角公式解决问题的过程中，提高学生的数学建模和数学运算能力。

3.通过对半角公式的深入理解和应用，培养学生对数学美的欣赏和数学文化的认同。三、教学难点与重点

1.教学重点

本节课的教学重点在于理解和掌握半角的正弦、余弦和正切公式。具体包括：

-半角正弦公式的推导和应用，例如：sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]。

-半角余弦公式的推导和应用，例如：cos(θ/2)=±√[(1+cosθ)/2]。

-半角正切公式的推导和应用，例如：tan(θ/2)=sin(θ/2)/cos(θ/2)=±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]。

教师需要通过例题和练习，强调这些公式在解决具体问题时的运用，如在三角函数的化简、求值和证明题目中的应用。

2.教学难点

本节课的教学难点主要体现在以下几个方面：

-对半角公式中正负号的确定，学生容易混淆。例如，在应用sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]时，需要根据角θ所在的象限来确定正负号。

-将半角公式应用于复杂的问题解决中，学生可能会遇到如何选择合适的公式以及如何进行公式转换的困难。例如，在证明题目中，学生需要判断何时使用半角公式，以及如何将问题转化为可以使用半角公式的形式。

-在实际运算中，学生可能会在根号内出现负数的情况下感到困惑，不清楚如何处理。例如，在计算cos(θ/2)时，如果(1+cosθ)/2小于0，学生需要理解这代表θ/2是钝角，并且知道如何处理这种情况。

教师需要通过详细的例题讲解，以及提供不同难度的练习题，帮助学生逐步突破这些难点。四、教学资源

-硬件资源：多媒体教学设备、黑板、粉笔

-软件资源：数学教学软件（如几何画板）、PPT演示文稿

-课程平台：校园网络教学平台

-信息化资源：数学教学视频、在线练习题库

-教学手段：小组讨论、个体辅导、课堂提问、练习反馈五、教学过程设计

【总用时：45分钟】

1.导入环节（用时5分钟）

-创设情境：以日常生活中的角度分割为例，如切割一个圆形饼，提问学生如何将一个角平分，并引导学生思考平分后的角度与原角度的关系。

-提出问题：让学生回顾已学的三角函数知识，提出问题“当我们知道一个角的三角函数值时，如何求其一半角的三角函数值？”

-引出主题：通过上述情境和问题，自然过渡到本节课的主题——半角的正弦、余弦和正切公式。

2.讲授新课（用时15分钟）

-推导半角公式：利用三角函数的基本性质和二倍角公式，引导学生一起推导出半角的正弦、余弦和正切公式。

-sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]

-cos(θ/2)=±√[(1+cosθ)/2]

-tan(θ/2)=±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]

-示例讲解：通过具体例题，展示如何应用半角公式解决实际问题，如化简三角函数表达式、求值等。

-强调难点：在讲解过程中，特别强调半角公式中正负号的确定，以及如何根据题目条件选择正确的公式。

3.巩固练习（用时10分钟）

-练习题1：让学生独立完成一道应用半角公式的化简题目，限时完成，教师巡视指导。

-练习题2：小组讨论一道涉及多个半角公式的证明题目，小组成员分工合作，共同完成证明过程。

-练习题3：个人练习，利用半角公式求特定角度的正弦、余弦和正切值，教师随机抽取学生板演。

4.课堂提问与师生互动（用时5分钟）

-提问1：请一位学生解释半角公式的推导过程，考察学生对公式推导的理解。

-提问2：让学生举例说明半角公式在解决实际问题中的应用。

-提问3：针对学生在巩固练习中遇到的问题，提问学生他们的解决思路，教师给予指导和反馈。

5.总结与拓展（用时5分钟）

-总结：回顾本节课的主要内容，强调半角公式的应用和注意事项。

-拓展：提出一些拓展性问题，如“半角公式在更复杂的三角函数问题中如何应用？”鼓励学生在课后继续探索。

-作业布置：布置一道综合性的作业题，要求学生运用本节课所学知识解决实际问题，巩固所学内容。六、学生学习效果

学生学习后，应取得以下效果：

1.知识掌握：

-学生能够准确无误地陈述半角的正弦、余弦和正切公式，并理解其推导过程。

-学生能够熟练地应用半角公式解决三角函数的化简、求值和证明问题。

-学生能够识别并正确处理半角公式中的正负号问题，尤其是在确定角所在的象限时。

2.技能提升：

-学生在解决三角函数问题时，能够灵活选择并运用半角公式，提高了解题效率。

-学生通过练习，能够独立完成涉及半角公式的复杂题目，并能够清晰地展示解题过程。

-学生在小组讨论中，能够有效地与他人合作，共同解决问题，提升了团队协作能力。

3.理解深化：

-学生能够理解半角公式在三角函数学习中的重要性，以及其在实际问题中的应用价值。

-学生通过教师的讲解和自己的实践，对三角函数的性质有了更深入的理解，能够将半角公式与二倍角公式等其他三角恒等变换相结合，形成知识网络。

4.思维发展：

-学生在解决半角公式相关问题时，能够运用逻辑推理和数学抽象思维，提高了数学思维能力。

-学生在面对复杂问题时，能够运用创新思维，尝试不同的解题方法，培养了问题解决能力。

5.应用能力：

-学生能够将半角公式应用于解决实际生活中的问题，如物理学中的波动问题、工程学中的角度测量问题等。

-学生能够将所学知识应用于高一级的数学学习，为后续学习打下坚实的基础。

6.学习态度：

-学生对三角函数的学习兴趣得到提升，学习态度更加积极。

-学生在学习过程中形成良好的学习习惯，如认真听讲、主动练习、及时复习等。

7.核心素养：

-学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学建模能力和数学运算能力得到提升。

-学生对数学文化的认同感增强，能够欣赏数学的美，理解数学的价值。七、板书设计

①核心知识点

-半角正弦公式：sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]

-半角余弦公式：cos(θ/2)=±√[(1+cosθ)/2]

-半角正切公式：tan(θ/2)=±√[(1-cosθ)