数学学案：预习导航空间向量的直角坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直．3．能够用向量工具将几何问题转化为代数问题来解决.1．空间向量的坐标表示(1）单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底｛i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．（2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中,已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3),使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j,a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1,a2,a3）．思考1空间向量a＝(a1，a2,a3）平行于坐标平面xOy时其坐标有何特点？提示:a3＝0。2．空间向量的直角坐标运算（1）设a＝(a1，a2，a3），b＝（b1,b2，b3)，则容易得到a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2,a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3);λa＝(λa1,λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3。(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设A(x1,y1，z1)，B(x2，y2，z2），则eq\o(AB,\s\up6（→)）＝eq\o（OB，\s\up6（→）)－eq\o（OA，\s\up6（→))＝（x2,y2，z2)－(x1，y1，z1）＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1）．思考2空间向量的坐标与向量终点的坐标有什么区别？提示：向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量其坐标才等于向量终点的坐标．3．空间向量平行和垂直的条件设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则(1)a∥b（b≠0）a＝λba1＝λb1，a2＝λb2,a3＝λb3，当b1，b2，b3都不为0时，a∥beq\f（a1，b1)＝eq\f（a2,b2）＝eq\f（a3，b3)；（2）a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a＝（a1，a2,a3），b＝（b1，b2,b3),则｜a｜＝eq\r（a·a）＝eq\r（a\o\al(2，1）＋a\o\al（2，2）＋a\o\al(2，3）），｜b｜＝eq\r(b·b)＝eq\r(b\o\al（2，1）＋b\o\al（2，2)＋b\o\al(2,3))，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b，｜a｜|b|）＝eq\f（a1b1＋a2b2＋a3b3,\r（a\o\al（2，1)＋a\o\al（2,2）＋a\o\al（2,3））\r(b\o\al（2,1)＋b\o\al（2,2）＋b\o\al（2,3)）)。设A(x1，y1,z1)，B(x2，y2，z2)，则|eq\o(AB，\s\up6（→）)｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12）.思考3空间向量模的坐标计算公式与平面向量模的计算公式