初中数学必会几何模型精讲精练之线段和角的模型

初中数学必会几何模型精讲精练线段和角的模型模型一线段分点模型1、单中点模型：如图，P是线段AB的中点，则：2、双中点模型（1）线段上双中点如图，点C为线段AB上任意一点，P1，P2分别为AC，BC中点，则（2）线段延长线上的双中点模型线段双中点模型总结：一点把线段分成三条线段，任意两线段中点之间长度等于第三条线段长度的一半．巧记：线段双中点，一半一半又一半．例题11.如图，已知点在同一直线上，分别是的中点．（1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）若，求的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.【解析】【分析】（1）先求解再利用中点的含义求解再利用线段的差可得答案；（2）先利用含的代数式再利用中点的含义，用含的代数式再利用线段的差可得答案；（3）先利用含的代数式再利用中点的含义，用含的代数式再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【详解】解：（1），分别是的中点，（2），分别是的中点，（3），分别是的中点，（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.变式12.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A.7cm B.3cm C.7cm或3cm D.5cm【答案】D【解析】【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【详解】解：根据题意画图如下：∵，M是AC的中点，N是BC的中点，∴；∵，M是AC的中点，N是BC的中点，∴．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解此题的关键．变式23.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（）A.AB=2ACB.AC+CD+DB=ABC.CD=AD-ABD.AD=（CD+AB）【答案】D【解析】【详解】解：A、由点C是线段AB的中点，则AB=2AC，正确，不符合题意；B、AC+CD+DB=AB，正确，不符合题意；C、由点C是线段AB的中点，则AC=AB，CD=AD-AC=AD-AB，正确，不符合题意；D、AD=AC+CD=AB+CD，不正确，符合题意．故选D．变式34.如图，工作流程线上A、B、C、D处各有一名工人，且AB=BC=CD=1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱安放的位置（）A.线段BC的任意一点处B.只能是A或D处C.只能是线段BC的中点E处D.线段AB或CD内的任意一点处【答案】A【解析】【详解】要想4个人到工具箱的距离之和最短，据图可知：位置在A与B之间时，距离之和‚位置在B与C之间时，距离之和ƒ位置在C与D之间时，距离之和则工具箱在B与C之间时，距离之和最短．故选A．变式45.C为线段上任意一点，分别是的中点，若，则的长是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先画好符合题意的图形，再证明再利用线段的和可得答案.【详解】解：如图，分别是的中点，故选：【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的和差与中点的定义是解题的关键.变式56.已知点是线段的中点，点是线段的中点，那么线段的比值是_______．【答案】【解析】【分析】根据题意易得，，然后直接进行比值即可．【详解】解：由题意得，，∴．【点睛】本题主要考查比值及化简比，熟练掌握求比值和化简比的方法是解题的关键．变式67.如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长______．【答案】4.5cm【解析】【分析】根据中点的定义求出AD，根据已知可求BC=9，进一步由AC=AB+BC求得AC，再根据中点的定义求得AE，再根据DE=AE-AD即可求解．【详解】∵AB=24cm，D是AB中点，∴AD=AB=12cm，∵BC=AB，∴BC=9，AC=AB+BC=33cm，∵E是AC中点，∴AE=AC=cm，∴DE=AE-AD=-12=4.5cm，∴DE=4.5cm．【点睛】本题考查两点间距离，线段中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．变式78.如图M、N把线段AB三等分，C为NB的中点，且CM=6cm,则AB=_____cm.【答案】12【解析】【分析】根据三等分点，可得AM=MN=NB，根据中点的性质，可得NC=CB，根据线段的和差，可得答案．【详解】由点M、N把线段AB三等分得AM=MN=NB，

点C是NB的中点得NC=CB．

由线段的和差得CM=MN+NC=AM+CB=6．

AB=AM+MC+CB

=（AM+CB）+MC

=2MC

=12cm．

故答案是：12．【点睛】考查了两点间的距离，利用了等分点等分线段的性质，线段的和差．变式89.如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据图示知AM＝AC，AC＝AB﹣BC；（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．【详解】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵点M是AC的中点．∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是．（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN＝BC＝×15＝6．又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC+NC＝，即MN的长度是．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．培优变式910.如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．求线段的长;若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】；，证明解解析；，证明见解析；见解析【解析】【分析】根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可；当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在；点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出的长度；根据前面的结果解答即可．【详解】解：分别是的中点，分别是的中点又∵，∴在点的右边，如图示：分别是的中点，又只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键．模型二线段的折叠与动点问题例题111.已知，为数轴上从原点出发的两个动点，点每秒1个单位，点的速度为点的2倍，则当运动时间为4秒时，和两条线段的中点相距________个单位．【答案】2或6【解析】【分析】分两种情况：（1），同向运动；（2），反向运动，根据中点平分线段长度进行求解即可．【详解】（1），同向运动由题意得，∴和两条线段的中点相距（2），反向运动由题意得，∴和两条线段的中点相距故答案为：和两条线段的中点相距2或6个单位．【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握中点平分线段长度是解题的关键．例题212.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值.【详解】解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，根据规律得到，∴，故选A.【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.变式113.如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2020次跳动后的点与点的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，找到跳动n次的规律即可．【详解】由于OA＝4，所以第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，则2020次跳动后的点与点的距离是故选：A．【点睛】本题是一道找规律的题目，考查了两点间的距离，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题关键．变式214.如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：①图中的点D，P，C，E都是动点；②ADBE；③AB=2DE；④当AC=BC时，点P与点C重合．其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①③④【解析】【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC<BC，故错误；③由题意及中点的性质可知正确；④由题意，当AC=BC时，C为DE中点，根据已知，P也为DE中点，所以点P与点C重合．【详解】解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确；②∵∴当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于AC<BC，∴AD<BE，本选项错误；③由题意可知：，∴，即AB=2DE，∴本选项正确；④由③可知，当AC=BC时，DC=EC，所以C为DE中点，又P也为DE中点，∴点P与点C重合，∴本选项正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义和性质并灵活应用是解题关键．变式315.如图1，在一张长方形纸条上画一条数轴．(1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是；(2)如果数轴上两点之间的距离为8，经过(1)的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是；(3)如图2，点A、B表示的数分别是、，数轴上有点C，使得AC=2BC，那么点C表示的数是；(4)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含的代数式表示）【答案】(1)2；(2)；(3)2或10；(4).【解析】【分析】（1）找出5表示的点与﹣1表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案；（2）由2平分两个点组成的线段，得到左边的点为2－距离的一半，从而可求得答案；（3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论：①点C在A的左侧，②点C在A和B之间，③点C在B的右侧．（4）先求出每两条相邻折痕的距离，进一步得到最左端的折痕和最右端的折痕与数轴的交点表示的数，即可求得答案．【详解】解：（1）（﹣1+5）÷2=4÷2=2．故折痕与数轴的交点表示的数为2；（2）2－8÷2=2－4=－2；（3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论：①点C在A的左侧，此时AC＜BC，与AC=2BC矛盾，此种情况不成立；②点C在A和B之间，此时：x+2=2(4－x)，解得：x=2；③点C在B的右侧，此时：x+2=2(x－4)，解得：x=10．综上所述：点C表示的数是2或10．（4）∵对折n次后，每两条相邻折痕的距离为=，∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数是﹣2+．【点睛】本题考查了数轴的认识，找出对称中心是解题的关键．变式416.已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．（1）点C表示的数是；（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，①运动t秒时，点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；②当t＝2秒时，CB•AC的值为．③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．【解析】【分析】（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；（2）依据点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，即可得到运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t；②依据点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，即可得到CB•AC的值；③依据点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，即可得到点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．【详解】解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，∴点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，又∵点C是线段AB的中点，∴点C表示的数为＝﹣1，故答案为：﹣1．（2）①∵点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，∴运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t，故答案为：﹣1+t；②由题可得，当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，∴当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，∴CB•AC＝121，故答案为：121；③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．理由：由题可得，点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．【点睛】本题考查数轴上动点问题，整式的加减,与线段有关的动点问题．（1）理解数轴上线段的中点表示的数是两个端点所表示的数的和除以2；（2）掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键，数轴上两点之间对应的距离等于它们所表示的数差的绝对值．变式517.如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.【解析】【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，由得，即，，，即所以点P在线段AB的处；（2）①如图，当点Q在线段AB上时，由可知，②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，，综合上述，的值为或；（3）②的值不变.由点、运动5秒可得，如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；如图，当点M、N在点P异侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；所以②的值不变正确，.【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.变式618.如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在处．①如图2，若恰好重合于点O处，MN=cm，②如图3，若点落在的左侧，且=20cm，求MN的长度；③若=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处，在重合部分N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．【答案】（1）①30，②40cm，③cm或cm；（2）25cm或27.5cm或32.5cm或35cm．【解析】【分析】（1）①根据MN=MO+NO=AO+BO=AB即可求解；②根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，再由MN=AB–（AM+BN）即可求解；③根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，然后分两种情况点A′落在点B′的左侧，点A′落在点B′的右侧，根据MN=AB–（AM+BN）即可求解；（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情况讨论，根据AN=AP+即可求解．【详解】解：（1）①MN=MO+NO=AO+BO=AB=30；②因为AB=60cm，A′B′=20cm，所以AA′+BB′=AB-A′B′=60-20=40cm．根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=，BN=．AM+BN=+==cm．所以MN=AB–（AM+BN）=60-20=40cm．③因为M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=，BN=．（ⅰ）如图，若点A′落在点B′的左侧，AA′+BB′=AB-A′B′=(60–n)cm．AM+BN=+==cm．所以MN=AB–（AM+BN）=cm．（ⅱ）如图，若点A′落在点B′的右侧，AA′+BB′=AB+A′B′=(60+n)cm．AM+BN=+==cm．所以MN=AB–（AM+BN）=（cm）．综上，MN的长度为cm或cm．（2）如图，∵三段的长度由短到长的比为3：4：5，∴=15，=20，=25，故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段当=15，=20，AP=25时，AN=AP+=25+×20=35；当=15，=25，AP=20时，AN=AP+=20+×25=32.5；当=20，=15，AP=25时，AN=AP+=25+×15=32.5；当=20，=25，AP=15时，AN=AP+=15+×25=27.5；当=25，=20，AP=15时，AN=AP+=15+×20=25；当=25，=15，AP=20时，AN=AP+=20+×15=27.5．综上AN所有可能的长度为：25cm或27．5cm或32．5cm或35cm．【点睛】本题主要考查了线段的计算、线段的折叠问题、线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，注意审题及分类讨论思想．变式719.如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度;(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.【答案】（1）45s;（2）或;(3)2【解析】【分析】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；

（2）分两种情形求解即可；

（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，

则t+2t=90+30+15，

解得t=45，

所以经过45秒时间P、Q两点相遇．

（2）①当P在线段AB上时，∵AB=90，PA=2PB，

∴PA=60，PB=30，∴OP=OA+AP＝30+60＝90，

∴点P、Q的运动时间为90秒，

∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，

∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴点Q是速度为cm/秒；

②点P在线段AB延长线上时，∵AB=90，PA=2PB，∴BP=90,AP=180,∴OP=OA+AP=30+180=210,∴点P、Q的运动时间为210秒，∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，

∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，∴点Q是速度为cm/秒；

（3）如图所示：∵E、F分别是OP、AB的中点，

∴OE=OP=t，

∴OF=OA+AB=30+45=75，∴.【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.模型三角（双角平分线）如图一：OC是∠AOB的角平分线，则如图二：OC是∠AOB内部的一条射线，OP1，OP2分别平分∠AOC，∠BOC，则如图三：OC是∠AOB外部一条射线，OP1，OP2分别平分∠AOC，∠BOC，则结论：双角平分线夹角：一条射线把一个角分成两个角，得到三个角，任意两个角的平分线所形成的角等于第三个角的一半．例题120.如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意计算出∠AOC，∠MOC，∠NOC的度数，再根据计算即可．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC∴∴，故答案为：B．【点睛】本题考查了基本几何图形中的角度计算，掌握角度的运算法则是解题的关键．变式121.如图所示，是的平分线，是的平分线，若，那么（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的定义和角的和差关系进行计算即可．【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∴∠BOC=∠AOB=∠AOC，∠COD=∠DOE=∠COE，又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，∴∠BOC=35°，∠COD=20°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，故选B．【点睛】本题主要考查了角与角之间的运算和角平分线等知识，正确寻找角与角之间的关系以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．变式222.如图所示，平分，平分，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由∠MON−∠BOC求出∠CON＋∠BOM的度数，根据OM，ON分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD＋∠AOB度数，根据∠COD＋∠BOC＋∠AOB即可求出∠AOD的度数．【详解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM，∵∠CON＋∠BOM＝∠MON−∠BOC＝（m−n）°，∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m−n）°，则∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m−2n＋n）°＝（2m−n）°．故选C．【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．变式323.如图，分别平分平分，下列结论:①；②；③；④其中正确的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案.【详解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC∴∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC∠MON=∠NOH+∠HOM，∠HOC=∠NOH+∠NOC又题目并没有说明∠HOM=∠NOC，故①错误；2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确；2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=2(∠NOB+∠MOH)+∠BOH+∠BOH=∠AOC+∠BOH，故③正确；2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确；故答案选择C.【点睛】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键.变式424.将两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板PAB与PCD如图放置，A、P、C三点在同一直线上，现将三角板PAB绕点P沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若PE平分∠APD，PF平分∠BPD，则∠EPF的度数是_________°.【答案】15【解析】【分析】设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF=y，利用∠EPF＝x-y＝y-(x-30°)，进而求出x-y=15°，即可求解.【详解】设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF=y，∵∠EPF＝∠DPE-∠DPF=x-y又∠EPF＝∠BPF-∠BPE=y-(x-30°)∴x-y＝y-(x-30°)，∴x-y=15°，故∠EPF=15°，故填：15°.【点睛】此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．变式525.如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°.(1)∠MON=_____；(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)【答案】①.42°②.不会【解析】【分析】根据角平分线的定义求解即可．【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.故答案为42°、不会.【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键.变式626.如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．【答案】120°，30°【解析】【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．【详解】∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB=45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°又∵OF平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键注意：也可以根据的度数是度数的2倍进行求解．培优变式727.已知，点为直线上一点，，是的平分线．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，是的平分线，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度数；

（2）由角平分线得出∠AOE=∠AOD=(∠AOC+90°)，∠BOF=(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论．

（3）∠DOF=45°-∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠