初中数学必会几何模型精讲精练之构造等腰三角形

初中数学必会几何模型精讲精练构造等腰三角形模型一：角平分线＋平行线【例题1】1.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有___．（填正确的序号）

【答案】①②③⑤【解析】【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【详解】①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，

∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，

∵DE∥BC，

∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），

∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，

∴DB=DF，EF=EC，

∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，

∴①选项正确，符合题意；

②∵DE=DF+FE，DB=DF，EF=EC，

∴DE=DB+CE，

∴②选项正确，符合题意；

③∵△ADE的周长为=AD+DE，

∵DE=DB+CE，

∴△ADE的周长为=AD+DB+AE+CE=AB+AC，

∴③选项正确，符合题意；

④根据题意不能得出BF＞CF，

∴④选项不正确，不符合题意；

⑤∵若∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，

∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，

∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，

∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，

∴⑤选项正确，符合题意；

故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．变式12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC、△AMN周长分别为13cm和8cm.（1）求证：△MBE为等腰三角形；（2）线段BC的长.【答案】（1）详见解析；（2）5cm【解析】【分析】（1）由BE平分∠ABC，得∠MBE=∠EBC，再由MN∥BC得∠MEB=∠EBC，所以∠MBE=∠MEB，由等角对等边可得MB=ME；（2）同理可证NE=NC，△ABC的周长为AB+AC+BC，通过等量代换可得△AMN的周长为AB+AC，两者之差即为BC的长.【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC∴∠MBE=∠EBC，∵MN∥BC∴∠MEB=∠EBC∴∠MBE=∠MEB，∴MB=ME∴△MBE为等腰三角形（2）同理可证NE=NC，∴△AMN的周长=AM+ME+EN+AN=(AM+MB)+(NC+AN)=AB+AC=8cm又∵△ABC的周长=AB+AC+BC=13cm∴BC=13-8=5cm【点睛】本题主要考查等腰三角形的证明，熟练运用角平分线性质和平行线的性质推出角相等是本题的关键.模型二：角平分线＋垂线【例题2】3.如图，AB＝AC，∠1＝∠2.AE⊥CD交于F，交BC于点E，求证：AB＝CE．【答案】见详解【解析】【分析】先证明，进而即可得到结论．【详解】证明：∵在和中，∵，∴，∴AC=EC，∵AB＝AC，∴AB＝CE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键．变式14.已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：（1）AB＝BE；（2）∠CAE＝∠ABC；（3）AD＝CE；（4）CD＋CE＝AB．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解【解析】【分析】（1）BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF为公共边，可证得△ABF≌△EBF，可证得结论；（2）∠BAC＝90°可得∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，所以∠CAE＝∠ABC；（3）连接DE，则可证得△ABD≌△EBD，所以AD＝DE，且∠DEC＝90°，AB＝AC，所以∠C＝45°，所以CE＝DE，所以可得AD＝CE；（4）由（3）可得AD＝CE，所以CD＋AD＝CD＋CE＝AC＝AB．【详解】证明：（1）∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，∴∠ABF＝∠EBF，∠AFB＝∠EFB＝90°，在△ABF和△EBF中，，∴△ABF≌△EBF（ASA），∴AB＝BE；（2）∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠CAE＝∠ABF＝∠ABC；（3）连接DE，在△ABD和△EBD中∵，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝DE，∠DEC＝∠BAC＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴CE＝DE，∴AD＝CE；（4）由（3）可得AD＝CE，∴CD＋CE=CD＋AD＝AC＝AB．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，注意观察所求线段或角之间的关系，找到所在的两个三角形，证明全等即可解决．模型三：等边三角形中含定角问题例题3】5.等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则么AFE是定值．【答案】见详解【解析】【分析】由SAS证得△ABD≌△BCE，得出∠BAD＝∠EBC，由三角形外角性质得出∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，即可推出∠AFE＝∠ABF＋∠EBC＝∠ABC＝60°．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，∴∠AFE＝∠ABF＋∠EBC＝∠ABC＝60°，∴∠AFE是定值．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，推出△ABD≌△BCE是解题的关键．变式16.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（）个A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，又由BD＝CE，即可证得△ACE≌△CBD；（2）由△ACE≌△CBD，可得∠CAE＝∠BCD，然后由三角形外角的性质，求得∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；（3）由∠AFG＝60°，AG⊥CD，可得∠FAG＝30°，即可证得AF＝2FG；（4）由AC＝BC，且BC不一定等于2CE，可得AC不一定等于2CE．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，在△ACE和△CBD中，∵，∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确；（2）∵△ACE≌△CBD，∴∠CAE＝∠BCD，∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；故正确；（3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD，∴∠FAG＝30°，∴AF＝2FG；故正确；（4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE，∴AC不一定等于2CE；故错误．故选：B．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．变式27.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG＝_____°．【答案】30°【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，则由AD＝BE得到BD＝CE，再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，∵AD＝BE，∴BD＝CE，∵在△ACE和△CBD中∵，∴△ACE≌△CBD（SAS），∴∠CAE＝∠BCD，∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，∵AG⊥CD，∴∠AGF＝90°，∴∠FAG＝90°−60°＝30°．故答案为30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等．也考查了等边三角形的性质．模型四：直角三角形中一锐角平分线＋斜边上高线例题4】8.如图，已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明△CEF是等腰三角形.【答案】说明见解析.【解析】【详解】试题分析：要证明△CEF是等腰三角形，需证明有两角相等即可．利用角平分线、直角三角形及三角形外角的性质，进行等量代换，可求证．解：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEA，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．变式19.如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形．【答案】见详解【解析】【分析】根据已知条件，容易得出△ADE，△ABC都是等腰三角形，则G为等腰△ABC底边BC的中点，为此连