福建省厦门市英才学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

第1页/共1页厦门英才学校中学部2024-2025学年度第一学期期中考试高一数学试卷（考试时间120分钟；满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集和补集运算求解.【详解】由题意得，，所以.故选：A.2.下列函数中哪个与函数相等（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数定义域和对应关系是否一致判断即可.【详解】函数的定义域为；对于A：函数的定义域为，定义域不相同，故A错误；对于B：函数的定义域为，定义域不相同，故B错误；对于C：函数的定义域为，且，定义域相同且对应关系一致，故两函数是相等函数，故C正确；对于D：函数的定义域为，但是，两函数对应关系不相同，故不是相等函数，故D错误.故选：C3.已知函数，则值为（）A. B.0 C.1 D.0或1【答案】B【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以.

故选：B4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A：函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B：函数为偶函数，故B错误；对于C：函数为非奇非偶函数，故C错误；对于D：函数的定义域为，令，则，即为奇函数，又，则在上单调递增，在上单调递增，且为连续函数，所以在定义域上单调递增，故D正确.故选：D5.若“”是“”的充分条件，则的一个值可以是（）A.0 B.2 C.4 D.16【答案】B【解析】【分析】首先解方程，再根据充分条件的定义判断即可.【详解】由，解得，，又“”是“”的充分条件，所以或，结合选项可知只有B符合题意.故选：B6.已知命题，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题，为全称量词命题，其否定为：，.故选：C7.若，，且，恒成立，则实数m取值范围是（）A. B.或C.或 D.【答案】A【解析】【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解.【详解】因为，由基本不等得当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8由题可知，即，解得，故选：A8.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为，当时，，则在上单调递减，且，当时，，则在上单调递减，且，所以在上单调递减，不等式，即，等价于，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据指数幂的运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：CD10.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C.【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，所以，则，又，所以，故B正确；对于C：当时，，故C错误；对于D：因为，所以，所以，故D正确.故选：BD11.某同学在研究函数时，得出下面四个结论，基中正确的结论是（）A.等式在时恒成立B.方程有三个实数根C.若，则一定有D.函数的值域为【答案】AC【解析】【分析】求出函数的定义域，计算出，即可判断A，令，求出方程的解，即可判断B，判断函数的单调性，即可判断C，D.【详解】对于A：函数的定义域为，且，所以等式在时恒成立，故A正确；对于B：令，即，解得，所以方程有且仅有一个实数根，故B错误；对于C：当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减，所以，则一定有，故C正确；对于D：当时，；，；由A知：为奇函数，当时，；的值域为，故D错误；故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】根据具体函数的定义域可得，解之即可求解.【详解】由题意可得，得或，即函数的定义域为.故答案为：13.已知幂函数的图象经过点，则___________．【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入函数解析式中，求出的值，即可求出函数解析式，最后代入求值即可.【详解】因为幂函数的图象经过点，即，解得，所以，则.

故答案为：14.在实数运算中，定义新运算“”，如下：当时，；当时，.则函数(其中)的最大值是_________.【答案】2【解析】【分析】根据新定义，分别求出和两种情况下，的表达式，进而可求出的最大值.【详解】由题意，当时，，，则；当时，，，则.所以时，单调递增，此时的最大值为.又因为，，所以时，的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查新定义，考查分段函数的性质，考查函数单调性的应用，考查分类讨论的数学思想在解题中的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步嗓．15.已知函数，．（1）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明；（2）求函数，的最大值和最小值．【答案】（1）在上单调递增，证明见解析（2），【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明即可；（2）结合（1）中函数的单调性求出函数的最值.【小问1详解】在上单调递增，证明如下：设任意的且，则，因为且，所以，，，所以，所以，即，所以在上单调递增；【小问2详解】由（1）可知在上单调递增，所以，.16.已知全集，，．求：（1）和；（2）和．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，再根据交集的定义计算可得；（2）根据补集、并集定义计算可得.【小问1详解】由，即，解得，所以，又，所以；【小问2详解】因为全集，所以，.17.已知函数．（1）证明函数是偶函数；（2）在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象；（3）根据图象求该函数的单调区间（直接写出答案即可）．【答案】（1）证明见解析（2）图象见解析（3）单调递增区间为，，单调递减区间为，【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；（2）首先将函数写成分段函数，再根据二次函数的图象画出的图象；（3）结合图象得到函数的单调区间.【小问1详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数；【小问2详解】因为，又，对称轴为，开口向上，顶点坐标为；所以的图象如下所示：【小问3详解】由（2）中函数图象可知，的单调递增区间为，1,+∞，单调递减区间为，0,1.18.某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式；（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？【答案】（1）；（2）100台时，850万元【解析】【分析】（1）利用利润等于销售额减去成本可得利润函数.（2）利用二次函数的性质和基本不等式可求利润的最大值.【详解】（1）依题意有.（2）当时，此时时，取得最大值万元；当时，当且仅当时，即时，取得最大值万元．综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元．【点睛】本题考查函数的应用，一般地，函数应用题应根据题设条件合理构建数学模型，并利用常见函数的性质、导数或基本不等式去求数学模型的最值.19.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并说明理由；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）在上是减函数，理由见解析；（3）.【解析】