2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点(−3,2,−1)关于x轴对称的点的坐标是(

)A.(3,2,−1) B.(3,−2,1) C.(−3,−2,1) D.(−3,−2,−1)2.直线l：2x+y−1=0的一个方向向量为(

)A.(2,1) B.(1,−2) C.(2,−1) D.(−1,−2)3.若椭圆x2λ+y24=1的左焦点的坐标为A.1 B.1或5 C.5 D.3或54.已知点A(−2,1)，B(−1,3)，若过点(1,−1)的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是(

)A.(−∞,23]∪[2,+∞) B.(−∞,−2]∪[−23,+∞)5.圆C1：(x+2)2+(y−2)2=4与圆A.1 B.2 C.3 D.46.已知椭圆x26+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，当A.0 B.1 C.2 D.17.在四棱锥P−ABCD中，AB=(−3,−6,3)，AD=(3,0,6)，AP=(−5,1,3)，则此四棱锥的高为A.26 B.29 C.6 8.已知M，N是圆O：x2+y2=8上两点，且|MN|=4，若直线x−ay+6=0上存在点P使得OM+A.(−∞,−52]∪[52,+∞) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量m=(2,−1,1)，n=(−4,2,−2)分别为两个不同的平面α，β的法向量，c=(1,0,−2)为直线l的方向向量，且l⊄β，则A.α//β B.l/​/β C.l⊥α D.α⊥β10.已知直线l：kx−y+2k=0，圆C：(x+1)2+(y−2)A.直线l过定点(−2,0)

B.直线l与圆C恒相交

C.直线l被圆C截得的弦长为4时，k=±12

D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l11.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，|BFA.椭圆E的离心率为13

B.若PF1⊥F1F2，则cos∠PF2F1=45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若方程x2m−1+y23−m=113.若直线l1：ax+2y+6a=0与直线l2：x−2y=0平行，则直线l1与l14.已知空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(−2,−1,2)，b=(−1,1,2)，c=(x,2,2)．

(1)当|c|=22时，若向量ka−b与c垂直，求实数k的值；

(2)若向量16.(本小题15分)

已知两直线l1：3x+y−9=0和l2：2x−y−1=0的交点为P．

(1)若直线l过点P且与直线x+2y−1=0平行，求直线l的一般式方程；

(2)若圆C过点(−2,5)且与l1相切于点P，求圆17.(本小题15分)

已知动点P到定点F(1,0)的距离和它到直线l：x=4的距离的比是常数12，P点的轨迹称为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若倾斜角为π4的直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=24718.(本小题17分)

A1D在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE/​/BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)在线段A19.(本小题17分)

定义：若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足x1x2a2+y1y2b2=0，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[A,B].已知椭圆C的离心率为32，且椭圆C过点A(2,1)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程；

(3)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C参考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.C

6.A

7.B

8.A

9.AB

10.ABD

11.AC

12.(1,2)∪(2,3)

13.614.2115.解(1)根据题意，c=(x,2,2)且|c|=22，

x2+22+22=22，解得x=0，

则c=(0,2,2)，

因为ka+b=(−2k−1,1−k,2k+2)，且向量ka+b与c垂直，

所以(ka+b)⋅c=0，则有2−2k+4k+4=2k+6=0，16.解：联立方程组3x+y−9=0,2x−y−1=0,解得x=2,y=3.

所以直线l1：3x+y−9=0和l2：2x−y−1=0的交点P(2,3)．

(1)因为直线l与直线x+2y−1=0平行，故可设直线l：x+2y+c1=0．

又直线l过点P，则2+6+c1=0，解得c1=−8，

即直线l的方程为x+2y−8=0．

(2)设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，

直线l17.(1)设P(x,y)，则(x−1)2+y2|x−4|=12，

整理得3x2+4y2=12，

∴曲线C的方程为x24+y23=1；

(2)由题意设直线l：y=x+m，

联立y=x+mx24+y23=1得：7x2+8mx+4m2−12=0，

18.解：(1)证明：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC⊥CD，又DE/​/BC，

所以DE⊥CD，DE⊥AD，则折叠后，DE⊥A1D，

又A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1CD，

所以DE⊥平面A1CD，A1C⊂平面A1CD，

所以DE⊥A1C，

又已知A1C⊥CD，CD∩DE=D，且CD，DE都在面BCDE内，

所以A1C⊥平面BCDE；

(2)由(1)，分别以CD，CB，CA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C−xyz，

由题意可知，AD=2CD，故DE=23BC=2，

由几何关系可知，CD=2，A1D=4，A1C=23，

故C(0,0,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，B(0,3,0)，A1(0,0,23)，M(1,0,3)，

CM=(1,0,3)，A1B=(0,3,−23)，A1E=(2,2,−23)，

设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅A1B=3y−23z=0n⋅A1E=2x+2y−23z=0，

不妨令y=2，则z=3，x=1，

所以n=(1,2,3)，

设CM与平面A1BE所成角的大小为θ，

则有sinθ=|cos<CM,n>|=|CM⋅n||CM||n|=42×22=22，

故θ=π4，

即CM与平面A1BE所成角的大小为π4；

(3)假设在线段A119.解：(1)因为椭圆C的离心率为32，且椭圆C过点A(2,1)，

所以4a2+1b2=1ca=32a2=b2+c2，

解得a=22，b=2，c=6，

则椭圆C的方程为x28+y22=1；

(2)因为A(2,1)，B(x2,y2)，

所以2x28+y22=0，

整理得x2+2y2=0，

则点B所在的直线l的方程为x+2y=0；

(3)证明：由(2)知，直线l的方程为x+2y=0，