人教版九年级上册数学期中考试试题含答案

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．下列图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的方程有一个根为-2，则a的值为（）A．-2 B．2 C．2或-2 D．03．已知关于x的一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是A．m＞－1且m≠0 B．m＜1且m≠0 C．m＜－1 D．m＞14．抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）5．将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的抛物线的解析式为（）A． B． C． D．6．如图，分别与相切于点，为上一点，，则（）A． B． C． D．7．将绕原点旋转180°得到，设点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．8．下列命题中正确的有（）个①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．49．已知关于的一元二次方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．10．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．有下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．二次函数的部分对应值如下表：－3－2－10123451250－3－4－30512利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC=_____°．13．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．14．今年十一长假某公园旅游高峰，第一天游客人数是1.2万人，第三天是2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为_______________________________15．如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______．16．如图，点A、B、C、D在上，B是的中点，过C作的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝80°，则∠ADC＝_____°．三、解答题17．解下列方程：（1）（2）18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为；（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积．19．已知二次函数y=2x2+m．（1）若点（-2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1_________y2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．20．如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．（1）求证:是的切线．（2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空：①当的长度是________时，四边形是菱形；②当的长度是___________时，是直角三角形．21．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？22．如果关于x的一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则c=（2）若方程（a≠0）是倍根方程，且相异两点M(1+t，s)，N(4-t，s)，都在抛物线上，求一元二次方程（a≠0）的根．23．已知，，是过点的直线，过点作于，连接．（1）问题发现：如图①，过点作，与交于点，则容易发现与之间的数量关系为______，，，之间的数量关系为______．（2）拓展探究：当绕点旋转到如图②的位置时，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明；（3）解决问题：当绕点旋转到如图③的位置时（点，在直线的两侧），若此时，，则______．

24．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．参考答案1．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．B【分析】将代入中求解即可．【详解】将代入中解得故答案为：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．3．A【详解】∵一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0，且22－4×m×(﹣1)＞0，解得：m＞﹣1且m≠0.故选A.【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.4．D【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标．【详解】∵抛物线为y=（x+2）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键．5．B【分析】把抛物线y=2x2的顶点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点的坐标为（-4，1），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（-4，1）所以平移后所得的抛物线的解析式y=2（x+4）2+1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k．6．A【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理得到∠OAP=90°，∠OBP=90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，最后根据圆周角定理解答．【详解】解：连接OA，OB，

∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，

∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，

∴∠AOB=360°-90°-90°-66°=114°，

由圆周角定理得，∠C=∠AOB=57°，

故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．7．A【分析】根据题意，点A和点关于原点中心对称，由点A坐标求出点的坐标．【详解】解：点是点A绕着原点旋转得到的，∴．故选：A．【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握关于原点中心对称的点的特点．8．B【分析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据切线的判定定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断；根据三角形外心的性质对⑤进行判断．【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，正确；③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误；④平面内不共线的三点确定一个圆，错误；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确；故正确的命题有2个故答案为：B．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键．9．C【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标ax2+bx+c=5，由此求得顶点坐标即可．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，

∴当x=2时，y=ax2+bx+c=5，

∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．

故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握顶点坐标的计算方法是解决问题的关键．10．C【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=-=1，可得出b=-2a，将b=-2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（-1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=-2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．【详解】解：①由抛物线的对称性可知：

抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2-（-1）=3，

即点B的坐标为（3，0），

∴当x=3时，y=0，①正确；

②∵抛物线开口向下，

∴a＜0．

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴抛物线的对称轴为x=-=1，

∴b=-2a，

3a+b=a＜0，②不正确；

③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），

∴2≤c≤3．

令x=-1，则有a-b+c=0，

又∵b=-2a，

∴3a=-c，即-3≤3a≤-2，

解得：-1≤a≤-，③正确；

④∵抛物线的顶点坐标为，∴n==c-,又∵b=-2a，2≤c≤3，-1≤a≤-，

∴n=c-a，≤n≤4，④正确．

综上可知：正确的结论为①③④．

故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．11．或【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x＝1，a＞0，开口向上，与x轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x的取值范围即可求出．【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x＝1，a＞0，开口向上，与x轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．12．80【分析】根据圆的内接四边形的性质可求出∠ABC的度数，在根据圆周角定理求出∠AOC的度数即可.【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC=140°，∴∠B=40°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=80°，故答案为80【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质及圆周角定理，圆的内接四边形的对角互补；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理及性质是解题关键.13．【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x=2，再比较点A、B、C到直线x=2的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线x=2，因为点到直线x=2的距离最小，点到直线x=2的距离最大，且抛物线的开口向上，所以．故答案为．【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．14．【分析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．15．60°或300°【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，可得GA=GD=AD，依据∠DAG=60°，分两种情况讨论，即可得到旋转角的度数．【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

∵GC=GB，

∴GH⊥BC，

∴四边形ABHM是矩形，

∴AM=BH=AD=AG，

∴GM垂直平分AD，

∴GD=GA=DA，

∴△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋转角α=60°；

②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋转角α=360°-60°=300°．故答案为60°或300°.【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．16．【分析】连接、，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理得出，解得即可．【详解】解：连接、，是的中点，，，四边形是圆内接四边形，，是的切线，切点为，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角的定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．17．（1）；（2）．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1），，或，或，即；（2），，，即，或，或，即．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．18．（1）（1，0）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论；（2）过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，就可以相应的结论；（3）根据条件就是求扇形A2OA的面积即可．试题解析：（1）由题意，得B1（1，3﹣3），∴B1（1，0）．（2）如图，①，过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，②，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得A2（﹣2，3）．（3）由勾股定理，得OA=，∴线段OA扫过的图形的面积为：．考点：1.作图-旋转变换；2.扇形面积的计算；3.坐标与图形变化-平移．19．1.＜；（2）8．【详解】解：（1）由二次函数图象知：其图像关于轴对称又∵点在此二次函数的图象上∴也在此二次函数的图象上∵当时函数是增函数∴故答案为：<；（2）∵二次函数的图象经过点（0，-4）∴m=-4∵四边形ABCD为正方形又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴∴OD=OC，设点B的坐标为（n，2n）（n>0）∵点B在二次函数的图象上∴解得,（舍负）∴点B的坐标为（2，4）∴=24=8．【点睛】本题考查二次函数的图象．20．（1）见解析（2）①②或【分析】（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论；

（2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案；

②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，连接，∵在中，，，∴，∵是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴是的切线.（2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；

如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，

∵∠C=30°，

∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，

∵∠BAC=90°，

∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵AB=BD，

∴四边形ABDE是菱形；

∵AD=BD=AB=CD=BC=，

∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1，

∴∠ADB=60°，

∵∠CDE=90°-∠C=60°，

∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，

∴∠AOE=2∠ADE=120°，

∴的长度为：；

故答案为：；

②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时的长度为：=π；

若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时的长度为：π；

∵AD不是直径，∴∠AED≠90°；

综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．

故答案为：π或π．【点睛】本题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解题的关键．21．（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）=﹣10x2+1140x﹣29600=﹣10（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．22．（1）2；（2）x1=，x2=【分析】（1）利用韦达定理求解即可．（2）求二次函数的对称轴可得，再根据，即可求出一元二次方程（a≠0）的根．【详解】（1）由韦达定理得∵一元二次方程是“倍根方程”∴∴解得．（2）∵方程（a≠0）是倍根方程，∴不妨设∵相异两点M(1+t，s)，N(4-t，s)，都在抛物线上∴抛物线的对称轴为，即故一元二次方程（a≠0）的根为．【点睛】本题考查了倍增方程的问题，掌握韦达定理、解一元二次方程的方法是解题的关键．23．（1），；（2），见解析；（3）【分析】（1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可．

（2）过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出结论；

（3）先判断出△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD=BH=2，求出BH，再用勾股定理即可．【详解】解：（1）如图（1），过点C作CE⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠ACB，∠BCD=90°-∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，

∴∠BAC+∠D=180°，

∵∠CAE+∠BAC=180°，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE=CB，

∴BE=AE+AB=DB+AB，

∴BD+AB=CB；

故答案为：BD=AE，BD+AB=CB；（2）线段，，之间的数量关系是BD-AB=CB；理由如下：如图（2），过点C作CE⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE=CB，

∴BE=AE-AB=DB-AB，

∴BD-AB=CB；（3）如图（3），过点C作CE⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠DCE，

∠BCD=90°-∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵