第二十八章 锐角三角函数 综合检测

第二十八章锐角三角函数综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共24分)1.(2022天津中考)tan45°的值等于()A.2 B.1 C.22 2.如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡AB走到山顶B点.已知坡角为20°，山高BC=2千米.用科学计算器计算AB的长度，下列按键顺序正确的是()A.2÷sin20= B.2×sin20= C.2÷cos20= D.2×tan20=3.(2022湖南株洲攸县期末)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB-3|+(2cosA-1)2=0，则△ABC是()A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形(不包括等边三角形) D.等腰直角三角形4.(2021河南焦作沁阳模拟)若规定sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，则sin15°=()A.2−12 B.2−5.如图，以△ABC的各边为直径向外作半圆，面积分别记作S1，S2，S3，且S1∶S2∶S3=1∶2∶3，则tan∠BAC的值为()A.33 B.12 6.(2022江苏镇江丹阳二模)已知一个不等臂跷跷板AB长4米，支撑柱OH垂直于地面，如图1，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为12；如图2，当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为13，则支撑柱 图1 图2A.0.5米 B.0.6米 C.123米 D.7.(2022江西景德镇模拟)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长.如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长来近似代替其外接圆的周长，便可估计π的值，下面关于π的值表述正确的是()A.π=6sin15° B.π=12sin15° C.π=6sin15° 8.(2022山东淄博张店一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=5，延长AB至C，连接OC，若满足OC2=BC·AC，tanα=12，则点CA.(-2，4) B.−43,23 C.−二、填空题(每小题4分，共24分)9.(2022湖北仙桃月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c=3a，则tanA的值为.

10.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且锐角A，B满足tanA=cosB−12+12−cosB+11.(2020江苏常州中考)如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG=.

12.(2022湖北黄石模拟)一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20(3+1)海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为.

13.(2022黑龙江哈尔滨南岗期末)如图，BA=CB=AD，∠ACD=30°，tan∠BAC=43，CD=63+8，则线段BC的长度为14.(2020湖北襄阳中考)如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN.若BF·AD=15，tan∠BNF=52，则矩形ABCD的面积为三、解答题(共52分)15.(8分)计算：(1)2sin30°+3cos60°-4tan45°； (2)cos230°+sin245°-tan60°·tan30°.16.(10分)(2022北京海淀月考)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=35(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值.17.(10分)(2022湖北仙桃中考)小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度.如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度.(结果保留小数点后一位)(参考数据：3≈1.732)18.(12分)(2022湖南张家界中考)阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asin证明：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△BCD中，CD=asinB，在Rt△ACD中，CD=bsinA，∴asinB=bsinA，∴asin根据上面的材料解决下列问题：(1)如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsin(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9) 图1 图219.(12分)(2022辽宁营口中考)在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3∶4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求大楼MN的高度.(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6)

第二十八章锐角三角函数综合检测答案全解全析1.Btan45°=1.故选B.2.A∵在Rt△ABC中，sinA=sin20°=BCAB，∴AB=BCsin20°=2sin20°(千米)，3.B∵|tanB-3|+(2cosA-1)2=0，∴tanB=3，2cosA=1，即cosA=12，则∠B=60°，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形.4.D由题意得sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=22×5.C∵S1∶S2∶S3=1∶2∶3，∴S1+S2=S3，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.∵S1=12π×BC22=πBC28，S2=126.D在Rt△AOH中，sin∠OAH=OHOA=12，∴OA=2OH，同理可得OB=3OH，∵AB=4，∴2OH+3OH=4，解得OH=07.D如图，由正十二边形的性质可知，∠AOB=360°12=30°，则∠AOM=12∠AOB=15°，在Rt△AOM中，AM=OA·sin15°，∴AB=2AM=2sin15°·OA，∴正十二边形的周长为2sin15°·OA×12，∴π=2sin15°·OA8.C如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠OCD=∠BOC=α，∵tanα=ODCD=12，∴CD=2DO.∵OC2=BC·AC，∴OCBC=ACOC.∵∠ACO=∠BCO，∴△CBO∽△COA，∴∠CAO=∠COB=α，∵tanα=12，∴tanα=BOAO=12，∴AO=2BO.在Rt△ABO中，AO2+BO2=AB2，AB=5，∴4BO2+BO2=5，∴BO=1，∴AO=2BO=2.∵CD∥BO，∴△BAO∽△CAD，∴OBCD=AOAD，即9.24解析在Rt△ABC中，∠C=90°，c=3a，∴b=c2−a2=(3a10.1∶3∶2解析∵cosB-12≥0，且12-cosB≥0，∴cosB=12，∴∠B=60°，∴tanA=33，∴∠A=30°，∴△ABC是直角三角形.∵∠A=30°，∴sinA=ac=12，即c=2a；tanA=ab=33，即b=3a，∴11.1解析如图，连接CG，由正方形的性质易得，△ACE和△BCG都是等腰直角三角形，∴△ACE∽△BCG，∴CGCE=BCAC.∵AC=2BC，∴CGCE=12.∵∠DCE=∠FCG=45°，∴∠ECG=90°.∴在Rt△CEG12.2海里/分解析如图，作CD⊥AB于D，∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=65°-20°=45°，设BD=CD=x海里，则AD=[20(3+1)-x]海里.在Rt△ACD中，CDAD=tan30°，则x20(3+1)−x=33，解得x=20，在Rt△ACD中13.10解析如图，过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BT⊥AC于点T.∵tan∠BAC=BTAT=43，∴设BT=4k，AT=3k.∵BA=BC，BT⊥AC，∴AT=TC=3k，AB=BC=AD=AT2+BT2=(3k)2+(4k)2=5k，∵∠ACD=30°，∠AHC=90°，AC=6k，∴AH=3k，CH=AC·cos30°=33k，∴DH=AD2−14.155解析由折叠的性质可得AE=EF，AD=DF，AN=NF，∠EAN=∠EFN，∴∠BEF=2∠EAN.在Rt△ABF中，∵AN=NF，∴BN=AN=NF，∴∠EAN=∠EBN，∠BNF=2∠EAN，∴∠BEF=∠BNF.∵tan∠BNF=52，∴tan∠BEF=52，∴BFBE=52，设BF=5k(k>0)，则BE=2k，∴AE=EF=BF2+BE2=3k，∴AB=CD=5k.由折叠的性质可得∠EFD=∠EAD=90°，∴∠BFE+∠CFD=90°，又∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠CFD=∠BEF.∴在Rt△CFD中，tan∠CFD=CDCF=52，∴CF=25k，∴AD=BC=35k.∵BF·AD=15，∴5k·35k=15，解得k=1(舍去负值)15.解析(1)原式=2×12=1+32(2)原式=3=3416.解析(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=35，∴AD=AEcos∴DE=AD2∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8.(2)由(1)得AD=10，DE=DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=AEAC∴BC=24，∴tan∠DBC=CDBC17.解析如图，过点D作DG⊥EF于点G，则A，D，G三点共线，由题意知BC=AD=20米，AB=CD=FG=1.58米，设DG=x米，则AG=(20+x)米.在Rt△DEG中，∠EDG=60°，tan60°=EGDG=EGx=3，解得在Rt△AEG中，∠EAG=30°，tan30°=EGAG=3x20+经检验，x=10是所列分式方程的解，∴EG=103米，∴EF=EG+FG≈18.9米.∴旗杆EF的高度约为18.9米.18.解析(1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD=csinB，在Rt△ACD中，AD=bsinC，∴csinB=bsinC，∴bsin 图1 图2(2)如图2，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠BAC=67°，∠B=53°，∴∠C=60°，在Rt△ACE中，AE=AC·sin60°=80×32=40∵ACsinB=BC∴BC≈90m，∴S△ABC=12×90×403=180019.解析如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE=DN，DB=NE.∵斜坡AB