第二十八章 锐角三角函数 学情评估

第二十八章锐角三角函数学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．4cos45°的值为()A．2 B．2eq\r(2) C．2eq\r(3) D．42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinB的值为()A.eq\f(5,13) B.eq\f(12,13) C.eq\f(5,12) D.eq\f(12,5)3．如图，A，B，C三点在正方形网格的格点上，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(2),4)4．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱底部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A．asin26.5° B.eq\f(a,tan26.5°) C.eq\f(a,cos26.5°) D．acos26.5°5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值()A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定6．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6eq\r(2)，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于()A．2 B．3 C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)7．某斜坡的坡度i＝eq\r(3)∶1，则该斜坡的坡角为()A．75° B．60° C．45° D．30°8．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，若点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是()A．96 B．96eq\r(3) C．192 D．160eq\r(3)9．如图，在距离铁轨200m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这一时段动车的平均速度是()A．20(eq\r(3)＋1)m/s B．20(eq\r(3)－1)m/s C．200m/s D．300m/s10．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上的一点，则cos∠OBC的值为()A.eq\f(1,3) B．2eq\r(2) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(2\r(2),3)二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．如图，若点A的坐标为(1，eq\r(3))，则∠1＝________．12．如图，点P(12，a)在反比例函数y＝eq\f(60,x)的图象上，PH⊥x轴于H，则sin∠POH的值为________．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交CA，CB于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于eq\f(1,2)DE长为半径作弧，两弧相交于点F，连接CF并延长，交AB于点P，若PB＝eq\r(2)，则AP＝________．14．如图，等腰三角形ABC的周长是36cm，底边长为10cm，则底角的余弦值是________．15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为________m(精确到1m，参考数据：eq\r(3)≈1.73)．16．如图，在△ABD中，点C为BD的中点，连接AC，点E在AC上，连接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝eq\f(3,4)，∠BAC＝2∠EBC，BC＝eq\r(10)，则AD的长为________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)计算：(1)－23＋eq\r(16)－2sin30°＋(2023－π)0；(2)sin245°－cos60°－eq\f(cos30°,tan45°)＋2sin260°·tan60°.18.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，点D在AC上，DC＝6，∠DBC＝60°，求AD的长．19．(8分)莲花山观景台是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．如图，小明要测量莲花山山顶白塔BC的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．(结果取整数．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，eq\r(3)≈1.73)20．(8分)小明在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．21．(10分)如图，某山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋eq\r(3))m，小军和小明同时分别从A处和B处出发向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为eq\f(\r(2),2)m/s.若小明与小军同时到达点C处，则小明的行走速度是多少？22．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P从点B出发，沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t(s)，△CPQ的面积为S.(1)求sinB；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

第二十八章锐角三角函数学情评估答案一、1.B2.A3.B4.B5.A6．A7.B8.B9.A10.D二、11.60°12.eq\f(5,13)13.114.eq\f(5,13)15.20816．3eq\r(5)点拨：作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC，BF＝CF，∴∠CAF＝eq\f(1,2)∠BAC，即2∠CAF＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠EBC，∴∠CAF＝∠EBC，∵∠CAF＋∠ACF＝90°，∴∠EBC＋∠ACF＝90°，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∴tan∠BAC＝eq\f(3,4)＝eq\f(BE,AE)，设BE＝3x，则AE＝4x，∴AB＝eq\r(（3x）2＋（4x）2)＝5x，∴AC＝5x，∴CE＝x，在Rt△BEC中，BC2＝BE2＋CE2，∴10＝(3x)2＋x2，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)，∴AB＝5x＝5，∵∠AFB＝90°，BF＝FC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(10),2)，∴AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(10),2)，∵点C为BD的中点，∴FD＝FC＋CD＝eq\f(\r(10),2)＋eq\r(10)＝eq\f(3\r(10),2)，∵∠AFD＝90°，∴AD＝eq\r(AF2＋FD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),2)))\s\up12(2))＝3eq\r(5).三、17.解：(1)原式＝－8＋4－2×eq\f(1,2)＋1＝－8＋4－1＋1＝－4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×eq\r(3)＝eq\r(3).18．解：在Rt△DBC中，BD＝eq\f(DC,sin∠DBC)＝eq\f(6,sin60°)＝eq\f(6,\f(\r(3),2))＝4eq\r(3).∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝30°.∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝75°－60°＝15°，∴∠A＝∠BDC－∠ABD＝30°－15°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝4eq\r(3).19．解：(1)300(2)在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝150米，AD＝AB·cos30°＝150eq\r(3)米，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，∴CD＝AD·tan37°≈150eq\r(3)×0.75≈194.6(米)，∴BC＝CD－BD≈194.6－150＝44.6≈45(米)，∴白塔BC的高度约为45米．20．解：(1)当α＝30°时， sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1.(2)小明的猜想成立．证明如下：如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,AB)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(BC2＋AC2,AB2)＝eq\f(AB2,AB2)＝1.21．解：如图，过C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠CDB＝90°.设AD＝xm，小明的行走速度是am/s.∵∠A＝45°，∴CD＝AD＝xm，∴AC＝eq\r(2)xm.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq\f(CD,sin30°)＝2xm.∵小军的行走速度为eq\f(\r(2),2)m/s，小明与小军同时到达点C处，∴eq\f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq\f(2x,a)，解得a＝1.答：小明的行走速度是1m/s.22．解：(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝3，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝2，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5),3).(2)由题易得sinC＝sinB＝eq\f(\r(5),3)，分两种情况：当点Q在AC上，即0＜t≤1时，如图①，过点Q作QE⊥BC于E.由题意得CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC－BP＝4－2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ·sinC＝3t·eq\f(\r(5),3)＝eq\r(5)t，∴S＝eq\f(1,2)CP·QE＝eq\f(1,2)(4－2t)·eq\r(5)t＝2eq\r(5)t－eq\r(5)t2＝－eq\r(5)t2＋2eq\r(5)t；当点Q在AB上，即1＜t＜2时，如图②，过点Q作QF⊥BC于F.由题意得CA＋AQ＝3t，BP＝2t