29.1 投影 同步练习

29.1投影基础过关练一、单选题1．在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射如图所示的球．当球向下移动时，这个球在地面上的影子大小的变化情况是（

）A．保持不变 B．越来越大 C．越来越小 D．不能确定2．下列关于投影的描述，不正确的描述有（

）A．在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图3．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻AB在阳光下的投影米，DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（）米．A．212 B．247 C．144．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（

）A． B． C． D．5．人从路灯下走过时，影子的变化是（

）A．长→短→长 B．短→长→短 C．长→长→短 D．短→短→长二、填空题6．如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？（1）铁丝平行于投影面；（2）铁丝倾斜于投影面；（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．通过观察，我们可以发现：（1）当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；（2）当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2；（3）当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________．7．电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了____________．8．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，则DE的长为______．9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿AB不知道有多长，量出它在太阳下的影子BC长150寸，同时立一根15寸的小标杆DE，它的影子EF长5寸，则竹竿AB的长为多少？”．答：竹竿AB的长为________寸．10．某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为0.8m，小李测得一棵树的影长为9.6m，那么这棵树的高是___________．三、解答题11．如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．1试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线．2在图中画出表示大树高的线段．3若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．12．如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角为30°；（1）汽车行驶到什么位置时，司机刚好看不到甲建筑物?请在图中标出这个D点；（2）若CF的高度40米，当刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与与公路夹角为45°，请问汽车行驶了多少米?13．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直．为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是______（平行、中心）投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．14．在长、宽都为4m，高为3m的房间的正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡A，为了集中光线，加上了灯罩（如图所示）．已知灯罩深AN=8cm，灯泡离地面2m，为了使光线恰好照在墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少？（结果保留两位小数，215．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）．(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子；(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；(3)计算路灯A的高度．能力提升练一、单选题1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子和小强的影子一样长C．小明的影子比小强的影子短 D．无法判断谁的影子长2．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米，则旗杆的高度为（）A．18 B．20 C．22 D．243．如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB=20cm，∠ABBA．20sin70°cm B．20cos74．如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米二、填空题5．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿的影子有一部分落在了墙上(MN),PM=1.6m,MN=1m，则木竿的长度为__________．6．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2m，已知此时高1.4m的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高________m．7．如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2m，桌面离地面1.2m，灯泡离地面3.6m，则地面上阴影部分的面积为__________．8．如图，大楼ABCD（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点M和点N处，M、N均在AD的中垂线上，且M、N到大楼的距离分别为60米和203米，又已知AB长40米，AD长120三、解答题9．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.5米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为米．(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．(3)请选择丙树的高度为（

）A．6.5米 B．5.5米 C．6.3米 D．4.9米10．某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD=1.2m，BC=6m．从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE=0.75m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos511．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得HB=6m．(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；(3)如果小明沿线段BH向小颖（点走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的14到B3处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的1n+1到Bn处时，其影子BnC12．如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：≈1.73）13．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．14．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．15．如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P(x1

,y1)，Q(x2,y2)是图形W上的任意两点，若的最大值为m上的投影长度为lx

m；若y1−y2的最大值为为ly

n．如图1，图形W在x轴上的投影长度为lx

4−04；在y轴上的投影长度为ly

3−03．（1）已知点A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，如图2所示，若图形W为四边形OABC，则lx

，ly

；（2）已知点C(32,0)，点D在直线y12x1(x0)上，若图形W为OCD，当lx

ly时，求点（3）若图形W为函数yx2(axb)的图象，其中(0ab)，当该图形满足lx

ly

1时，请直接写出a的取值范围．图1 图216．如图是无锡某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过15米的区域划分为A票区，B票区（如图1所示），剩下的为C票区．（1）请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域（只要求作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）如果每个座位所占的平均面积是1.2平方米，请估算A票区有多少个座位；（3）为提高B区观众的观赛效果，举办方将B区用两个大型的支柱AP、AC撑起一定的角度，其横截面如图2所示．若AB=10米，∠B=30°，∠CPA=∠CAD=75°，求CP的长度．（结果保留根号）拓展培优练一、单选题1．如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是()A． B． C． D．2．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（

）A． B． C． D．二、填空题3．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．4．数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．三、解答题5．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．6．（2019·内蒙古通辽·统考中考真题）两栋居民楼之间的距离CD=30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？（参考数据：3≈1.7，27．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1:0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？8．（2019·江苏扬州·统考中考真题）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.

29.1投影基础过关练一、单选题1．在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射如图所示的球．当球向下移动时，这个球在地面上的影子大小的变化情况是（

）A．保持不变 B．越来越大 C．越来越小 D．不能确定【答案】C【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．故选C．2．下列关于投影的描述，不正确的描述有（

）A．在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图【答案】C【详解】解：A.在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值，说法正确，不符合题意；B.一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形

，说法正确，不符合题意；C.物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关，说法错误，符合题意；D.物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意．故选：C．3．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻AB在阳光下的投影米，DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（）米．A．212 B．247 C．14【答案】A【详解】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6米，∵△ABC∽△DEF，AB=7米，米，∴ABBC∴74∴DE=21故选：A．4．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，故选：A．5．人从路灯下走过时，影子的变化是（

）A．长→短→长 B．短→长→短 C．长→长→短 D．短→短→长【答案】A【详解】解：因为人在路灯下行走的这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以人在地上的影子先变短后变长．故选：A．二、填空题6．如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？（1）铁丝平行于投影面；（2）铁丝倾斜于投影面；（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．通过观察，我们可以发现：（1）当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；（2）当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2；（3）当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________．【答案】

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点A3(B3)【解析】略7．电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了____________．【答案】增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等【详解】电影院的座位排列时，后一排总比前一排高是为了增加视野，后面的观众看清屏幕，每一横排呈圆弧形是利用圆周角相等，保证同一排上的人看屏幕的视角相等．故答案为增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等．8．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，则DE的长为______．【答案】10【详解】解：如图所示，∵AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，EF=6m，∴ABBC=DE解得：DE=10，答：DE的长为10m．故答案为：10．9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿AB不知道有多长，量出它在太阳下的影子BC长150寸，同时立一根15寸的小标杆DE，它的影子EF长5寸，则竹竿AB的长为多少？”．答：竹竿AB的长为________寸．【答案】450【详解】解：设竹竿的长度为x寸，∵竹竿的影长BC=150寸，标杆长DE=15寸，影长EF=5寸，∴x150解得x=450．答：竹竿长为450寸，故答案为：450．10．某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为0.8m，小李测得一棵树的影长为9.6m，那么这棵树的高是___________．【答案】12m【详解】解：设树高为：xm，则由题意，得：10.8解得：；∴这棵树的高是12m；故答案为：12m．三、解答题11．如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．1试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线．2在图中画出表示大树高的线段．3若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【详解】解：1根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；2如图所示：3如图所示，小明的眼睛近似地看成是点D，小明不能看见大树．12．如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角为30°；（1）汽车行驶到什么位置时，司机刚好看不到甲建筑物?请在图中标出这个D点；（2）若CF的高度40米，当刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与与公路夹角为45°，请问汽车行驶了多少米?【答案】（1）详见解析；（2）(40﹣40)米．(2)利用解Rt△CFD求FD，解Rt△ACF，求得AF，利用AD=AF-DF求出汽车行驶的距离．【详解】(1)如图所示：汽车行驶到点位置D时，司机刚好看不到建筑物B；(2)∵CF⊥AE，∠CDF=45°，∴DF=CF=40(米)，∵∠A=30°，tan30°=CFAF∴AF＝403，∴AD=AF﹣DF=(403﹣40)(米)．∴汽车向前行驶了(40﹣40)米．13．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直．为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是______（平行、中心）投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．【答案】(1)平行；(2)电线杆的高度为7米【详解】（1）解：该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的；故答案是：平行；（2）解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10−2=8，由平行投影可知，AMME=CN解得CD=7，即电线杆的高度为7米．14．在长、宽都为4m，高为3m的房间的正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡A，为了集中光线，加上了灯罩（如图所示）．已知灯罩深AN=8cm，灯泡离地面2m，为了使光线恰好照在墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少？（结果保留两位小数，2【答案】0.23m【详解】解：如图，光线恰好照在墙角D、E处，AN=0.08m，AM=2m，根据题意可知：AN⊥由于房间的地面为边长为4m的正方形，则DE=42∵BC∥∴△ABCBCDE=ANAM．答：灯罩的直径BC约为0.23m．15．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）．(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子；(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；(3)计算路灯A的高度．【答案】(1)见解析；(2)1.5米；(3)12米．【详解】（1）解：如图所示，线段CP为王琳在站在P处路灯B下的影子；（2）解：∵∠EPC=∠BDC=90°，∠ECP=∴Rt△∴，∴，解得：QD=1.5米，答：王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米；（3）解：∵∠FQD=∠ACD=90°，∠FDQ=∴Rt△∴，∴，解得：AC=12米．答：路灯A的高度为12米．能力提升练一、单选题1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子和小强的影子一样长C．小明的影子比小强的影子短 D．无法判断谁的影子长【答案】D【详解】在同一时刻的阳光下，此时属于平行投影，小明的影子比小强的影子长，∴小明的身高比小强高，在同一路灯下,此时属于中心投影，影子的长度不仅与二人的身高相关，还有他们所处的位置相关，两人由于离路灯的远近不同，影子的长度也就不同，∴无法判断谁的影子长，故选：D．2．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米，则旗杆的高度为（）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【详解】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于由题意得△MCD∴CMCD=EF∴CM=4米，又∵MN∥∴四边形MNBC是矩形，∴MN=BC=16米，BN=CM=4米．∵在直角△AMN中，∠AMN=45°∴AN=MN=16米，∴AB=AN+BN=20米．故选B．3．如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB=20cm，∠ABBA．20sin70°cm B．20cos70°cm【答案】A【详解】解：过点A作AC⊥BB∴四边形AA∴AC=在Rt△ABC中，AC=AB∴A故选：A．4．如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】D【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，∵杆高与影长成正比例，∴CD：DE=1：0.5，∴DE=1米，∴AB：BE=1：0.5，∵BE=BD+DE=4，∴⋅AB∴AB=8米．故选：D．二、填空题5．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿的影子有一部分落在了墙上(MN),PM=1.6m,MN=1m，则木竿的长度为__________．【答案】3m【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，∴四边形DPMN是矩形∴DN=PM,PD=MN∴BCAB又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，∴QD=AB•DNBC=2.5×1.6∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）．故答案为3m．6．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2m，已知此时高1.4m的竹竿在水平地面上的影子长1m，那么这棵大树高________m．【答案】9【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，由题意，得AB⊥BC，DC⊥BC，∵DE⊥AB，∴四边形BCDE是矩形，∴BE=CD=2m，DE=BC=5m，由题意，得AEDE∴AE5∴AE=7∴AB=AE+BE=7+2=9（m），答：这棵大树高为9m，故答案为：9．7．如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2m，桌面离地面1.2m，灯泡离地面3.6m，则地面上阴影部分的面积为__________．【答案】3.24m2【详解】解：根据题意由图可知，BECD由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为94×1.2×1.2=3.24m28．如图，大楼ABCD（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点M和点N处，M、N均在AD的中垂线上，且M、N到大楼的距离分别为60米和203米，又已知AB长40米，AD长120【答案】40【详解】连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P，作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G，根据题意可得出：ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40，∴NC=FN=40米，设EO=x米，∴DH=x米，∵ME=DE=60米，∴∠MDE=45∘，∴DH=HP=x米，NO=(20+40−x)米，PO=(60+x)米，∵FC∥PO，∴FNNO∴x203解得：x=60−20，∴PO=(120−20)米，NO=(40−20)米，12CD⋅HP=12DP⋅12×40×(120−20−60)=12×2[20+40−(40−20)]⋅CG，CG=202米，∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+202)米．故答案为40+202三、解答题9．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.5米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为米．(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．(3)请选择丙树的高度为（

）A．6.5米 B．5.5米 C．6.3米 D．4.9米【答案】(1)5；(2)详见解析，4.2米；(3)C【详解】（1）解：∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米，∴甲树的高度为：．故答案为：5；（2）如图1：设AB为乙树的高度，BC=2.4，∵四边形AECD是平行四边形，∴由题意得：BEBC解得：BE=3（米)，故乙树的高度米；（3）如图2，设AB为丙树的高度，EF=0.3m，由题意得：，，则，∵四边形AGCD是平行四边形，，又由题意得，所以，所以，故选：C．10．某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD=1.2m，BC=6m．从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE=0.75m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos5【答案】9.6m【详解】①CE=0.75m时，连接DE，则有△DEC∴，∴，②当时，作点D到AB的垂线段DF，则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.2m，FD=BC=6.0m，Rt△ADF中，∴AF=DF·tan∴AB=AF+FB=8.4+1.2=9.6m．∴旗杆AB高度约9.6m．11．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得HB=6m．(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；(3)如果小明沿线段BH向小颖（点走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的14到B3处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的1n+1到Bn处时，其影子BnC【答案】(1)见解析；(2)4.8m；(3)3n+1【详解】（1）解：如图（2），GH⊥HC∴AB∴△ABCABGH=∵AB=1.6m，BC=3m，HB=6m1.6GH=∴GH=4.8（3）同理△AA1B设长为x，则1.64.8=解得：x=32，即同理1.64.8解得B2∴1.6可得Bn故答案为：3n+112．如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：≈1.73）【答案】雕塑的高度为4.24米．【详解】如图所示，设D为光线与⊙O的切点，过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，设⊙O的半径为r，则OG＝3r＝HF＝AE，OD＝r，∵∠ABD＝60°，∴∠ACB＝30°，∠DOE＝30°，∴Rt△ODH中，DH＝12OD＝1∴DF＝12又∵Rt△ABC中，AB＝2，∴AC＝23，BC＝4，∴CE＝CD＝AC﹣AE＝23﹣3r，∵AC∥DF，∴BCBD=解得r≈1.06，∴雕塑的高度为4r＝4×1.06＝4.24米．13．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．【答案】21.2m【详解】解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M,∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，∴依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴DMDN即：0.630∴BN=20，∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2答：楼高为21.2米．14．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．【答案】4.2米．【详解】解：设米，BF=y米．∵CD//AB，∴，∴①，由题意，，，，∴，∴②，由①②解得，，经检验，的分式方程组的解．米．15．如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P(x1

,y1)，Q(x2,y2)是图形W上的任意两点，若的最大值为轴上的投影长度为lx

m；若y1−y2的最大值为为ly

n．如图1，图形W在x轴上的投影长度为lx

4−04；在y轴上的投影长度为ly

3−03．（1）已知点A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，如图2所示，若图形W为四边形OABC，则lx

，ly

；（2）已知点C(32,0)，点D在直线y12x1(x0)上，若图形W为OCD，当lx

ly时，求点（3）若图形W为函数yx2(axb)的图象，其中(0ab)，当该图形满足lx

ly

1时，请直接写出a的取值范围．图1 图2【答案】（1）4,3;(2)（-，143）或（-10，-14）;(3)0≤a<1【详解】解：（1）∵A（3，3），∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3．∵B（4，1），∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4．故答案为4；3．（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵lx=ly，∴2x+6=4-x，解得；x=-．∴D（-，143）．如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵lx=ly，∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．∴D（-10，-14）．综上所述，点D的坐标为（-，143）或（-10，-14）．（3）如图3所示：设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．∵lx=ly，∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．∵b≠a，∴b+a=1．又∵0≤a＜b，∴a+a＜1，∴0≤a＜1216．如图是无锡某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过15米的区域划分为A票区，B票区（如图1所示），剩下的为C票区．（1）请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域（只要求作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）如果每个座位所占的平均面积是1.2平方米，请估算A票区有多少个座位；（3）为提高B区观众的观赛效果，举办方将B区用两个大型的支柱AP、AC撑起一定的角度，其横截面如图2所示．若AB=10米，∠B=30°，∠CPA=∠CAD=75°，求CP的长度．（结果保留根号）【答案】（1）如图所示：（2）482；（3）【详解】（1）如图所示：（2）由题意得．答：A票区有482个座位；（3）由题意得BC=，则BP=∴CP=．拓展培优练一、单选题1．如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是()A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误；B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；D、影子的方向不相同，故本选项错误；故选：B．2．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D二、填空题3．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．【答案】

10

10+【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，由题意可知，点O是AB的中点，∵OH∥∴点H是CD的中点，∵CD=13m，∴CH=HD=1∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15m，又∵由题意可知：EFFG∴OM15=2∴点O、M之间的距离等于10m，∵BI⊥OJ，∴∠BIO=∵由题意可知：∠OBJ=又∵∠BOI+∴∠BOI=∴△BIO∴BIIJ∴BI=23IJ∵OJ∥∴四边形IHDJ是平行四边形，∴OJ=HD=6.5m，∵OJ=OI+IJ=4∴IJ=4.5m，BI=3m，OI=2m，∵在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB∴OB=O∴OB=OK=13∴MK=MO+OK=10+∴叶片外端离地面的最大高度等于10+13故答案为：10，10+134．数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：根据题意得：ΔABC∼ΔDEF，∴∵DE=2米，EF=1.2米，BC=7.2米，∴2解得：AB=12米．故答案为：12．三、解答题5．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【答案】旗杆的高AB为3米．【详解】解：∵AD∥EG，∴∠ADO=∠EGF．又∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG．∴AOEF∴AO=EF同理，△BOC∽△AOD．∴BOAO∴BO=AO∴AB=OA−OB=3（米）．∴旗杆的高AB为3米．6．（2019·内蒙古通辽·统考中考真题）两栋居民楼之间的距离CD=30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？（参考数据：3≈1.7，2【答案】此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．【详