28.1 锐角三角函数 同步练习

28.1锐角三角函数基础过关练一、单选题1．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示出sinα的值，正确的是（A．BDBC B．ADAC C．ADDC2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，下列结论中正确的是（

A．sinA=bc B．tanB=ba C．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=9，cosB=，则AC的长为（A．6 B．25 C．35 D．954．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（

）A．3 B．2 C．22 D．35．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=32A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空题6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=12，CD平分8．已知△ABC中，∠A=90°，tanB=19．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则tanB10．若，则以∠A，∠B为内角的ΔABC的形状是___________．三、解答题11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB=12，点D在BC上，且BD=AD12．计算：2cos13．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°，34°，14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．(1)求sin2(2)填空：当α为锐角时，______；(3)利用上述规律，求下列式子的值：．15．在△ABC中，AB=6，∠B为锐角且cosB=1(1)求∠B的度数．(2)求BC的长．(3)求△ABC能力提升练一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若S△ADE=253，sin∠CDE=A．5 B．245 C．25 2．AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．若，则cos∠BCP的值为（

A．45 B．35 C．433．已知m为实数，且sinα，cosα是关于x的方程4x2−mx+1=0的两根，则的值为（A．18 B．34 C．74．若0°＜α＜90°，那么，以sinα、cosα、tanα·cotα为三边的△ABC的内切圆半径与外接圆半径之和是（

）A．2sinαcosα B．tanα+cot5．如图，在△ABC中，tan∠BAC•tan∠ABC=1，⊙O经过A、B两点，分别交AC、BC于D、E两点，若DE=10，AB=24，则⊙O的半径为（

）A．102 B．83 C．13 二、填空题6．如图，已知点A(4,3)，点B为直线y=−2上的一动点，点C(0,n)，−2<n<3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n7．顶角为36度的等腰三角形底边与腰的比值为________．据此求出sin18．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE⊥AC于点F，若AB=CF，则sin∠9．矩形ABCD，AB=8，BC=6，将BC边折叠到对角线BD上，点C落在点E处，折痕为，连接AE，则tan∠AED=10．如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是___________．三、解答题11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是弧AB上的两点，∠AOD＞∠AOC，(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，矩形DEFG的顶点D、G分别在边AB、AC上，EF在边BC(1)求证：△BDE(2)已知DEDG=12，BC=49(3)如图2，若S△ADG=36，S△BDE=25，以D为圆心，DA为半径画⊙D，若⊙D与BC所在的直线相切，连接DC13．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂是为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝(1)求证：ΔADF∼ΔDEC；(2)若AB=8,AD=63,AF=43，求14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B(1)求⊙O(2)点P为AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；(3)在（2）的条件下，连接PC，求tan∠15．如图，已知△ABC，以交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC．(1)求证：BC是⊙O(2)若⊙O的半径为2，，求CE的长．拓展培优练一、单选题1．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（

A．sinα=ABBC B．sinα=2．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．253．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（A．817 B．715 C．15174．如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若，tan∠ABD=13，则A．25 B．3 C．5 二、填空题6．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosAb2＝a2＋c2﹣2accosBc2＝a2＋b2﹣2abcosC现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____．7．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB=10，AB=16，则cosB8．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，则sin∠9．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____．10．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）三、解答题11．计算：16﹣2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．12．第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且sin(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？13．旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）14．如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝4，tanA＝12，求△OCD15．如图，抛物线交x轴于点A(3,0)和B(−1,0)，交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当DNON的值最大时，求点D(3)P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ=3

28.1锐角三角函数基础过关练一、单选题1．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示出sinα的值，正确的是（A．BDBC B．ADAC C．ADDC【答案】B【详解】∵AC⊥BC，∴∠BAC+α=，∴sin故正确的是B选项；故选：B．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，下列结论中正确的是（

A．sinA=bc B．tanB=ba C．【答案】B【详解】解：由题意可得：sinA=ac≠bc故选B3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=9，cosB=，则AC的长为（A．6 B．25 C．35 D．95【答案】C【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中∠C=90°，AB=9，cos∴BCAB=2解得：BC=6，则AC的长为：．故选C．4．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（

）A．3 B．2 C．22 D．3【答案】A【详解】：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，∴CN=2∴tan∠DCN＝＝322∴∠APD的正切值为：3，故选：A．5．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=32A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】A【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∴∠A=60°∴∠B=90°−60°=30°故选：A．二、填空题6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠【答案】10【详解】解：如图∵△ABDAD=1,AB=1∴sin∠故答案为：10107．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=12，CD平分【答案】75°【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，sinA∴∠A=30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD=45°∴∠BDC=故答案为：75°．8．已知△ABC中，∠A=90°，tanB=1【答案】2【详解】解：如图．∵∠A=90°，tanB∴设AC=x，则AB=2x．∴BC=B∴sinC故答案为：259．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则tanB【答案】1【详解】解：由勾股定理，得：AC=1∴AC∴△ABC∴tanB故答案为：1210．若，则以∠A，∠B为内角的ΔABC的形状是___________．【答案】直角三角形【详解】解：∵，∴3tanA−则tanA=3∴∠A=30°,∴以∠A,∠B为内角的△ABC故答案为：直角三角形．三、解答题11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB=12，点D在BC上，且BD=AD【答案】AC=4，tan【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tan∴tanB=设DC=x，，∴BD=8−x∵AD=BD=8−x，在中，∠C=90°，AC=4，DC=x，，则8−x2=x2+42∴tan12．计算：2cos【答案】3【详解】解：原式=2×==313．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°，34°，【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析【详解】解：（1）由题图可知，∠B∵sin∠sin∠sin∠又∵AB1=A∴B1∴sin∵cos∠B1cos∠又∵AC∴AC∴cos∠∵tan∠tan∠又∵B1C1∴B1∴tan∠规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大.（2）sin1cos1tan114．如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．(1)求sin2(2)填空：当α为锐角时，______；(3)利用上述规律，求下列式子的值：．【答案】(1)1;(2)1;(3)44.5【详解】(1)证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2．又∵sinA∴；(2)当α为锐角时，sin2故答案为1；(3)==1+1+1+...+1+1=44.515．在△ABC中，AB=6，∠B为锐角且cosB=1(1)求∠B的度数．(2)求BC的长．(3)求△ABC【答案】(1)∠B=60°;(2);(3)△ABC的面积为6【详解】（1）∵∠B为锐角且cosB∴∠B（2）过点A作AH⊥BC于∵cosB∴BHAB∵AB=6，∴BH=3，在Rt△ABH中，∵tanC∴AHCH即33解得CH=1，∴BC=BH+CH=3+1=4；（3）S△能力提升练一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若S△ADE=253，sin∠CDE=A．5 B．245 C．25 【答案】C【详解】解：连接，如图所示：∵CD是斜边AB上的中线，DE⊥∴DE是AB垂直平分线，∴∠∴∠BEC=在Rt△∴∠CBE=90°−∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=则，∵∠∴∠EDC=90°−2则∠CBE=∵sin∴sin即CEBE设CE=4a，BE=AE=5a，在Rt△∴BC=∵CD是斜边AB上的中线，∴S∴S又∵∴1∴1∴a=∴BC=3a=3×故选：C．2．AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．若，则cos∠BCP的值为（

A．45 B．35 C．43【答案】B【详解】解：∵OB=OA∴∠A=OBA∵OC⊥∴∠AOC∴∠∵点C在过点B的切线上∴∠OBC=90°∴∠∴∠∵∠∴∠∴CP=BC∵∴PO=1设圆的半径为r，BC=CP=x，则PO=12在△OBC中，OC2=OB2∴BC=CP=3r4∴cos∠故选：B．3．已知m为实数，且sinα，cosα是关于x的方程4x2−mx+1=0的两根，则的值为（A．18 B．34 C．7【答案】C【详解】∵sinα，cosα是关于x∴由一元二次方程根与系数的关系，可得&sin=1−2×(1故选：C．4．若0°＜α＜90°，那么，以sinα、cosα、tanα·cotα为三边的△ABC的内切圆半径与外接圆半径之和是（

）A．2sinαcosα B．tanα+cot【答案】C【详解】解：∵tanα•cotα=1=sin2α+cos2α，∴△ABC是直角三角形，如图所示，设△ABC内切圆的半径r，外接圆的半径为R，∵AD=AE，CE=CF，BD=BF，易得四边形OECF为正方形，∴CE=CF=r，∴AB=AD+BD=AE+BF=AC-CE+BC-CF=sinα+cosα-2r=1，∴r=．∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC外接圆的直径，∴R=，∴r+R=，故选：C．5．如图，在△ABC中，tan∠BAC•tan∠ABC=1，⊙O经过A、B两点，分别交AC、BC于D、E两点，若DE=10，AB=24，则⊙O的半径为（

）A．102 B．83 C．13 【答案】C【详解】解：连接BO并延长，交圆O于点G，连接AG，AE∴∠GAB=90°∴∠G＋∠GBA=90°∵四边形AEBG是圆O的内接四边形∴∠AEC=∠G∴∠AEC＋∠GBA=90°∵tan∠BAC•tan∠ABC=1，∴△ABC为直角三角形，∠C=90°∴∠AEC＋∠EAC=90°∴∠GBA=∠EAC∴AG∴AG=DE=10在Rt△AGB中BG=A∴⊙O的半径BO=12故选C．二、填空题6．如图，已知点A(4,3)，点B为直线y=−2上的一动点，点C(0,n)，−2<n<3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n【答案】1【详解】解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，∵BH∥x轴，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，AB=AH2即sinα=5∵sinα随BA的减小而增大，∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴BGCF∵A(4,3)，C(0,n);即BG3−n∴BG（n+2）（3﹣n）（n−12）2+25∵−2<n<3∴当n=12时，BG故答案为：127．顶角为36度的等腰三角形底边与腰的比值为________．据此求出sin1【答案】

5−1【详解】如图，∠A=36°，AB=AC，过点B作∠ABC的平分线交AC于点D．∴∠ABC=∴∠ABD=∴AD=BD．∵，∴∠BDC=∴BD=BC=AD．设BD=BC=AD=a，CD=b，则AB=AC=a+b．在△BDC和△ABC中，∠CBD=∴△BDC∴BCAB=CD整理，得：a2配方，得：a−1∴a−1∴a=5∴BCAB=CD如图，过点B作BE⊥CD于点∵BD=BC，∴CE=DE=12CD=∴sin1故答案为：，5−148．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE⊥AC于点F，若AB=CF，则sin∠【答案】【详解】解：在矩形ABCD中，∠BAE=90°，AE∥BC，AD=BC，∴∠CBF=∠AEB，∵BE⊥∴∠BFC=∠BAE=90°，∵AB=CF，∴△ABE≌△FCB，∴BC=BE,AE=BF，设AE=BF=a，∠ABE=α，则∠ACB=90°−∵AD∴∠EAF=Rt△AEF中，EF=AE∴BE=BF+EF=a+a⋅sin∴BC=BE=a，∴△AEF∴AE∴a∴sin解得sinα故答案为：．9．矩形ABCD，AB=8，BC=6，将BC边折叠到对角线BD上，点C落在点E处，折痕为，连接AE，则tan∠AED=______【答案】12【详解】解：过点A作AH⊥BD于∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=8,BC=AD=6,∠C=9∴BD=A由折叠得：BE=BC=6，∴DE=BD−BE=4,∵S△∴6×9=10AH,∴AH=4.8,在Rt△ADH中，DH=A∴EH=DE−DH=0.4，∴tan故答案为：12．10．如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是___________．【答案】2【详解】解：如图，连接AB，设AD,BC交于点E，∵∠ACB＝90°∴AB是⊙O∴∠ADB=90°∵tan∠CBD＝，∴DE在Rt△DEB中，BE=∵CD∴∠CBD=tan∠CAD=∴设AC=m则CE=1∵AC＝BC，∴EB=∴DE=Rt△ACE中，AE=∴AD=AE+ED=∵DB∴∠ECD=又∠CED=∴△CED∴CD，∴AB=∵AC=BC=m∴AB=∴2解得m=5∴AD=故答案为：22三、解答题11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是弧AB上的两点，∠AOD＞∠AOC，(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．【答案】（1）见解析（2）见详解；（3）增大；（4）减小．【详解】解：（1）如图所示，作CE⊥OA与E,作DF⊥OA与F.∵sin∠AOC=CEOC,sin∠AOD=DFOD,∴0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；（不等式性质）（2）∵cos∠AOC=OEOC,cos∠AOD=OFOD,∴1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；（不等式性质）（3）由特殊的直角三角函数值,总结规律,即可发现对于锐角而言,锐角的正弦函数值随角度的增大而增大；（4）由特殊的直角三角函数值,总结规律,即可发现对于锐角而言,锐角的余弦函数值随角度的增大而减小.12．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，矩形DEFG的顶点D、G分别在边AB、AC上，EF在边BC(1)求证：△BDE(2)已知DEDG=12，BC=49(3)如图2，若S△ADG=36，S△BDE=25，以D为圆心，DA为半径画⊙D，若⊙D与BC所在的直线相切，连接DC【答案】(1)见解析;(2)32;(3)61【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，四边形DEFG∴∠B+∠C=90°，∠DEB=∴∠C+∴，∴△BDE（2）解：∵DEDG设DE=x，则DG=EF=2x，GF=DE=x，∵BC=493，∴FC=BC−BE−EF=49∵△BDE∴DEFC∴x40解得：x1∴，EF=8，∴矩形DEFG的面积为4×8=32；（3）解：依题意，⊙D与BC所在的直线相切，∴DE=AD，∵DG∥∴，又∠A=∴△ADG∴AGDE同理可得△ADG∴AGFC∵S△ADG=36，∴AGDE设DE=5a，则AG=6a，∵DE=DA，∴DA=5a，∵四边形DEFG是矩形，∴DE=FG=5a，∵AGFC即6aFC∴FC=6a，在Rt△ADG中，DG=EF=∴EF=DG=61∴EC=EF+FC=61∴tan∠13．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂是为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝(1)求证：ΔADF∼ΔDEC；(2)若AB=8,AD=63,AF=43，求【答案】(1)证明见解析；(2)∠ADE=30°【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB，AD∥BC，∴∠EAD=∵AE∠∴AE⊥AD，∵△ADF∽△DEC，AB=8,AD=63∴，即，∴DE=12，∵在RT△ADE中，AE2=DE2-AD2，∴AE=6，∴tan∠∴∠ADE=30°14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B(1)求⊙O(2)点P为AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；(3)在（2）的条件下，连接PC，求tan∠【答案】(1);(2)33;(3)3【详解】（1）解：作OH⊥AB于H，如图所示：在Rt△∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵OH⊥AB，∴AH=HB=1∴OA=AH（2）解：连接OP，PA，设OP交AB于H，如图所示：∵PA=∴OP⊥AB，∴∠AHO=90°，∵∠OAH=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OP，∴△AOP∵PQ⊥OA，∴OQ=QA=1（3）解：连接PC，在Rt△ABC中，AC=∵OQ=QA=1∴QC=AC−AQ=3∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA∴PQ=AP×sin∴tan∠15．如图，已知△ABC，以交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC．(1)求证：BC是⊙O(2)若⊙O的半径为2，，求CE的长．【答案】(1)见解析;(2)8【详解】（1）证明：连接AE，∵AC是⊙O∴∠E=90°∴∠EAD+∵BF=BC，∴∠BCE=∵E为弧AD中点，∴，∴∠BCE+∴AC⊥∵AC为直径，∴BC是⊙O（2）解：∵⊙O∴AC=4，∵cos∴BC=3，AB=5，∴BF=3，AF=5−3=2，∵∠EAD=∴△AEF∼△CEA∴EA∴EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得：x2+4x∴CE=2x=8拓展培优练一、单选题1．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（

A．sinα=ABBC B．sinα=【答案】D【详解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴sinα故选：D．2．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【答案】C【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，∵每个小正方形的边长为1，∴AC=5设AD=x，则BD=5−x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，D∴10−(5−x)解得，∴cos∠故选：C．方法二：延长AC交格点于E，连结BE。在RtΔABE中计算。3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（A．817 B．715 C．1517【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∴在△AFD和△EFB中∠A=∴ΔAFD≌∴AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5−x，在RtΔBEF中，B即5−x2解得：x=85，则∴cos∠故选：C．4．如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵CF=BF∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．则AF＝AB•sin60°＝2×3即MA+MF的最小值是3．故选：C5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若，tan∠ABD=13，则A．25 B．3 C．5 【答案】C【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=∴tan∴AC=2BC=25由勾股定理得,AB=A过点D作DE⊥AB于点∵，tan∠ABD=∴DEAE∴DE=1∴12∴BE=3∵AE+BE=5,∴AE+3∴AE=2,∴DE=1,在中,AD2∴∵AD+CD=AC=25∴CD=AC−AD=2故选：C二、填空题6．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosAb2＝a2＋c2﹣2accosBc2＝a2＋b2﹣2abcosC现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____．【答案】13【详解】解：由题意可得，BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝13，故答案为：13．7．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB=10，AB=16，则cosB【答案】4【详解】解：∵半径OC垂直弦AB于点D，∴BD=1∴cosB故答案为：458．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，则sin∠【答案】6【详解】解：过点D作BC的垂线交于E，∴∠∵∠A=∴四边形ABED为矩形，∴DE//AB,AD=BE=1∴∠ABD=∵BD平分∠ADC∴∠ADB=，∴∠ADB=∴∠CDB=∠CBD∴CD=CB=3，∴CE=2∴DE=∴∴sin∴sin故答案为：669．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____．【答案】3【详解】连接BC、AC，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案为：3310．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）【答案】π【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠A=∵以B为圆心，BC的长为半轻画弧，交AD于点E，BC=2，∴BE=BC=2在Rt△ABE中，AB=1，∴cos，∴∠EBC=90°−60°=30°S阴影=30π×故答案为：π3三、解答题11．计算：16﹣2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．【答案】6【详解】解：原式＝4﹣2×1+3+1＝4﹣2+3+1＝612．第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且sin(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m;(2)y=−1160【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在Rt△OBD中，OD=AB答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；（2）解：在Rt△OBD中，BD=∴B(−120,−90)由题意抛物线顶点为(0,0)，经过(−1