27.3 位似 同步练习VIP

27.3位似基础过关练一、单选题1．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝10，则DE的长为（）A．203 B．15 C．30 D．2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA'B'．若点A的坐标是2,1，则点AA．4,2 B． C． D．3．如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△DEF，下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比1∶2；④△ABC与△DEF的面积之比为2∶1．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（）A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OC:CF=1:2，则△ABC和△DEF的周长之比是（

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9二、填空题6．如图，以点O为位似中心，在点O的右侧将△OAB按比例放大后得到△OCD，已知OA＝2，AC＝3，则ABCD=________7．如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA'B'，则顶点B的对应点8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A(−4,2),C(2,−1)，则△OAB与△OCD的面积之比为___________．9．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为12，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是______10．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．三、解答题11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2．(1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形；(2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由．12．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系13．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2．（1）请在图中画出位似中心；（2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？14．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，－3）、B（3，－2）、C（2，－4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为（不写解答过程，直接写出结果）．15．如图所示，小华在学习（图形的位似）时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A(1)在图中标出△ABC与△A1B1C(2)若以点O为位似中心，△A1B1C1与△A2B2C(3)请你帮小华在图中给定的网格内画出△A能力提升练一、单选题1．下列说法错误的有（

）个．①所有的矩形都相似．②三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．③一个角为30°的直角三角形的三边之比为1:3:2A．1 B．2 C．3 D．42．如图，正方形A1B1C1D1可看成是分别以A、B、、D为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形（正方形ABCD的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我们称之作了一次变换，再将正方形A1B1CA．32005 B．32004 C．34010 3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为(

)A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7）4．如图，△ADC是由等腰直角△EOG经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴，已知EO=1，D点坐标为D2,0，位似比为1:2，则两个三角形的位似中心P点的坐标是（

A． B．1,0 C．0,0 D．135．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）二、填空题6．如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是_____．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以8．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形，若点A和点E的坐标分别为，(1,−1)，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．9．如图，在直角坐标系中，有两点A6,3、B6,0.以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．三、解答题11．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形ABCD及格点O．（1）将正方形ABCD向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形A1（2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形A1B1C1D1（3）除了点O外，正方形A'B'12．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式；（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P13．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其点B，C，D的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接写出E点和A点的坐标；(2)试以点B为位似中心，作出位似图形A1B1C1D1E1，使所作的图形与原图形的位似比为3∶1；(3)直接写出图形A1B1C1D1E1的面积．14．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,3)、B(－1,0)、C(4,0)．(1)经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C的对应点C1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；(3)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△A2B2C2.15．已知：如图1，点A(1,0)，B(0，2)，将点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′，点B′恰在反比例函数y＝kx(x＞0)(1)求k的值；(2)如图2，将△AOB(点O为坐标原点)沿AB翻折得到△ACB，求点C的坐标；(3)是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF(即△DEF∽△AOB，且相似比为2)，使得点D、F恰好在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上?若存在，请求出符合条件的点P拓展培优练一、单选题1．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（

）A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似2．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若AB=6，则A'BA．8 B．9 C．10 D．153．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B0,1，D0,3，则△OAB与△OCD的相似比是（

A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：34．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：95．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,2)，B(1,1)，，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（

）A．5 B．2 C．4 D．26．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点BA．−2a+3 B．−2a+1 C．−2a+2 D．−2a−27．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：18．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAOA'=A．4 B．6 C．16 D．189．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶910．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（

）A．4 B．6 C．9 D．16二、填空题11．如图，△A'B'C'与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'13．△AOB三个顶点的坐标分别为A5,0，O0,0，B3,6，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'14．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________．15．如图，在直角坐标系中，ΔABC与ΔODE是位似图形，则位似中心的坐标为__________．16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A4,0，点C2,0，则△OAB与△OCD周长的比值是17．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA:AD=2:3，则△ABC与△DEF的周长比是_________．18．在平面直角坐标系中，将以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到ΔA1OB1．已知A(2,3)，则点A19．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A20．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−2,1)，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A'．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为三、解答题21．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．22．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1)．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1∶2的△A23．（2019·四川巴中·中考真题）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．24．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出25．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，的坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个ΔA1B1C1，使它与ΔABC位似，且相似比为2：1，然后再把ΔABC绕原点O（1）画出ΔA1B（2）画出，直接写出在旋转过程中，点A到点所经过的路径长．

27.3位似基础过关练一、单选题1．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝10，则DE的长为（）A．203 B．15 C．30 D．【答案】B【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，∴AB：DE=2：3，∴10：DE=2：3，∴DE=15，故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA'B'．若点A的坐标是2,1，则点AA．4,2 B． C． D．【答案】C【详解】解：如图所示，ΔAOB∽∴OA:O∵A∴A'2×故选C．3．如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△DEF，下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比1∶2；④△ABC与△DEF的面积之比为2∶1．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，∴DE∥AB，且DE=12AB，DF∥AC，且DF=12AC，EF∥BC，且∴DEAB∴△DEF∽△ABC，∵BE，AD，CF的延长线交于O，∴△DEF和△ABC位似；△ABC与△DEF△ABC与△DEF∵DE=12AB，DF=12AC，∴DE+DF+EF=12∴C△∴C△△ABC的周长与△DEF的周长比为2:1，故③正确；∵相似三角形面积比等于相似比的平方，∴△ABC与△DEF的面积比为4:1，故④错误；∴正确的个数是3个．故选C．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（）A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）【答案】C【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0），故选：C．5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OC:CF=1:2，则△ABC和△DEF的周长之比是（

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】B【详解】解：由△ABC与△DEF位似可知：△ABC∽△DEF，则△ABC与△DEF的相似比为OCOF∵OC:CF=1:2，∴OCOF∴△ABC和△DEF的周长之比是1:3；故选：B．二、填空题6．如图，以点O为位似中心，在点O的右侧将△OAB按比例放大后得到△OCD，已知OA＝2，AC＝3，则ABCD=________【答案】2【详解】解：∵以点O为位似中心，△OAB放大后得到△OCDABCD=故答案为：257．如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA'B'，则顶点B的对应点【答案】(4,6)或【详解】解：由位似图形坐标变化的特征可知：B'(4,6)或故答案为：(4,6)或8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A(−4,2),C(2,−1)，则△OAB与△OCD的面积之比为___________．【答案】4：1【详解】解：∵△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A(−4,2),C(2,−1)，∴△OAB与△OCD的相似比为2：1，∴△OAB与△OCD的面积之比为4：1，故答案为4：1．9．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为12，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是______【答案】（-2,0）或（2,0）【详解】解：由位似比为12求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)，O点是位似中心，所以位置不变，所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形,∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.10．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．【答案】（﹣4，﹣3）【详解】解：∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则连接A1A和B1B∴如图所示，P点的坐标为：(−4,−3)，故答案为：(−4,−3)．三、解答题11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2．(1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形；(2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．【详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′，∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2．12．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系【答案】（1）见解析；（2）2:1；（3）见解析【详解】（1）如图，各对应点连线所在直线的交点即为位似中心O；（2）∵∴△ABC与△A'B（3）如图，以位似中线为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．13．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2．（1）请在图中画出位似中心；（2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？【答案】（1）见解析；（2）4cm．【详解】（1）如图所示，点O即为位似中心；（2）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′∵位似比是1：2∴＝OAOA'＝12，且AB∴A′B′＝2AB＝4cm．14．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，－3）、B（3，－2）、C（2，－4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为（不写解答过程，直接写出结果）．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)1：4【详解】(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2即为所求；(3)∵△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1，∴S△A1B1C1：S△A故答案是：1：4．15．如图所示，小华在学习（图形的位似）时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A(1)在图中标出△ABC与△A1B1C(2)若以点O为位似中心，△A1B1C1与△A2B2C(3)请你帮小华在图中给定的网格内画出△A【答案】(1)见解析；(2)（-3，-1）或（3，1）；(3)见解析【详解】（1）解：如图，连接AA1，BB1，CC1，交点即为（2）解：在直线OB1上找出点B2当点B2在第三象限时，坐标为−3,−1当点B2在第一象限时，坐标为3,1即满足条件的B2点坐标为−3,−1或3,1（3）解：当点B2在第三象限时，△当点B2在第一象限时，△能力提升练一、单选题1．下列说法错误的有（

）个．①所有的矩形都相似．②三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．③一个角为30°的直角三角形的三边之比为1:3:2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】①因为所有矩形的角都是90度，但是所有矩形的边不一定对应成比例，因此所有矩形不一定都相似．故①这种说法是错误的；②证明：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点，AD、CE、BF三条中线交于点O，O点就是△ABC的重心，过点E作EH//BF，∵AE=BE，EH//BF，∴AH=FH=12又∵AF=CF，∴HF=12CF∵EH//BF，∴OEOC∴OE=12OC∴OE=CE，同理可证OD=AD，OF=BF，故②这种说法是正确的；③因为直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以这样的直角三角形三边比为1:3④位似图形的定义是：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心．根据位似图形的定义，相似图形一定是位似图形．故④这种说法是正确的．故选：A．2．如图，正方形A1B1C1D1可看成是分别以A、B、、D为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形（正方形ABCD的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我们称之作了一次变换，再将正方形A1B1CA．32005 B．32004 C．34010 【答案】C【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=33，…n次变换后正方形的边长为：3n，故作2005次变换后的正方形的边长为3此时正方形的面积为：32005故选C.3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为(

)A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7）【答案】B【详解】解：若以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则点A在新坐标系中的坐标为（-1，3），∵△ABC与△A'B'C'以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，把△ABC的边长放大为原来的2倍，∴点A'在新坐标系中的坐标为（1×2，-3×2），即（2，-6），则点A'的坐标为（1，-7），故选：B．4．如图，△ADC是由等腰直角△EOG经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴，已知EO=1，D点坐标为D2,0，位似比为1:2，则两个三角形的位似中心P点的坐标是（

A． B．1,0 C．0,0 D．13【答案】A【详解】解：∵△ADC与△EOG都是等腰直角三角形∴OE=OG=1∴G点的坐标分别为（0，-1）∵D点坐标为D（2，0），位似比为1：2，∴A点的坐标为（2，2）∴直线AG的解析式为y=32∴直线AG与x的交点坐标为（，0）∴位似中心P点的坐标是．故答案为A．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）【答案】A【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，∴△ACB∽△CED，∵相似比为1：3，∴BCDE=1解得，DE＝6，∵△CED为等腰直角三角形，∴CE＝DE＝6，∵BC∥DE，∴△OCB∽△OED，∴OCOE=BC解得OC＝3，∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，∴点D的坐标为（9，6），故选：A．二、填空题6．如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是_____．【答案】（0，175），（﹣6，7【详解】由图可得：B（－2，5），C（－2，3），F（3，1），当B、F是对应点时，E、A是对应点，故位似中心位于直线BF与y轴的交点处，设直线BF的解析式为：y=kx+b，则−2k+b=53k+b=1，解得k=−∴直线BF的解析式是：y=－45x+17则x=0时，y=175∴位似中心是（0，175当C、E是对应点时，D、F是对应点，故位似中心位于直线CE与直线DF的交点处，设直线CE的解析式为：y=ax+c，则−2a+c=3c=1，解得a=−1∴直线CE的解析式是：y=－x+1，设直线DF的解析式为：y=dx+e，则3d+e=1e=3，解得d=−∴直线DF的解析式是：y=－23x+3y=−x+1y=−解得：x=−6y=7∴位似中心是（－6，7）；故答案为（0，175），（－6，77．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A1，，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1与点B3，以【答案】2【详解】解：∵正方形A1B1C1A2∴A1∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1∴△OA1B1∽△OA2B2，∴，∵OA∴OA∴A1∴正方形A1B1C1A2的边长1=20，∵△OA1B1∽△OA2B2，∴A1∴A2∴正方形A2B2C2A3的边长为21=2；同理可证△OA2B2∽△OA3B3，∴A2∵四边形A2B2C2A3是正方形，∴A2∴OA∴OA∴A2∴A3∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，综上，可归纳出规律：正方形AnBnCnDn+1的边长为2n－1．∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：22020∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：22020故答案为：240408．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形，若点A和点E的坐标分别为，(1,−1)，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．【答案】(14【详解】解：∵平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形，点A和点E的坐标分别为，(1,−1)，∴B(−2,0)，，G(2,0)，（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，位似中心就是AE与的交点，如图所示：连接AE，交x轴于点N，点N即为两个正方形的位似中心，设AE所在直线解析式为：，把A(−2,3)，E(1,−1)代入得：故3=−2k+b−1=k+b，解得：k=−43当y=0时，即0=−43x+13，解得x=∴两个正方形的位似中心的坐标是：，．（2）当点A和G是对应顶点，B和是对应顶点时，位似中心就是AG与BH的交点，如图所示：连接AG，DF，BH，CE并延长交于点M，设AG所在直线解析式为：，把A(−2,3)，G(2,0)代入得：故3=−2k+b0=2k+b，解得：k=−34设BH所在直线解析式为：y=mx+n，把B(−2,0)，代入得：m=−1故，联立直线BH、AG得方程组：y=−34x+32综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或．故答案为：，或．9．如图，在直角坐标系中，有两点A6,3、B6,0.以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点【答案】2,1．【详解】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13∴OD又∵OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：2,1，故答案为2,1．10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．【答案】（6，6）．【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴OAOD=解得，OD＝6，OF＝6，则点E的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．三、解答题11．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形ABCD及格点O．（1）将正方形ABCD向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形A1（2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形A1B1C1D1（3）除了点O外，正方形A'B'【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）有，答案见解析．【详解】解：（1）图形如图所示：（2）图形如图所示：（3）有，如图所示，P点即为所求：12．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式；（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P【答案】（1）y=x+4.（2）y=x2−4x+4；（3）P1(6,16)，【详解】（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：△ABO∽△ACD，∴．由已知A(−4,0)，可知：AO=4,BO=4．∴AD=CD=9．∴C点坐标为(5,9)．设直线BC的解析式为：y=kx+4，将（5,9）代入得5k+4=9，解得k=1.所以y=x+4.（2）因为抛物线顶点在x轴正半轴，所以设顶点坐标为（h，0），则设抛物线解析式为y=a（x－h）2.将（0,4），（5,9）代入函数解析式得{aℎ2=4a(5−ℎ)∴解得抛物线解析式为y1=x又∵y2=1∴满足条件的抛物线解析式为y=（准确画出函数y=x（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距32的上下两条平行直线l1和由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为32如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F在Rt△BEF中EF=ℎ=32，∠∴BE=6．∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为同理可求得直线l2与y轴交点坐标为∴两直线解析式l1:y=x+10；根据题意列出方程组：⑴{y=x∴解得：{x1=6y1=16∴满足条件的点P有四个，它们分别是P1(6,16)，P2(−1,9)13．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其点B，C，D的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接写出E点和A点的坐标；(2)试以点B为位似中心，作出位似图形A1B1C1D1E1，使所作的图形与原图形的位似比为3∶1；(3)直接写出图形A1B1C1D1E1的面积．【答案】(1)E(3，2)，A(2，2＋)；（2）作图见解析；（3）18+9．【详解】解：(1)由图形可得E(3，2)，∵△ABE为边长为2的等边三角形，∴BE边长的高为，∴A(2，2＋)；(2)如图所示，五边形A1B1C1D1E1为所求的图形；(3)∵△ABE为边长是2的等边三角形，∴S△ABE＝×22＝，又矩形BCDE的面积为1×2＝2，∴五边形ABCDE的面积为2＋∵五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1相似，且相似比为1∶3，则五边形A1B1C1D1E1的面积为9(2＋)＝18＋9．14．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,3)、B(－1,0)、C(4,0)．(1)经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C的对应点C1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；(3)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△A2B2C2.【答案】(1)C1(1，－3)；(2)图形见解析，A′(－4,4)；(3)图形见解析.【详解】解：(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，故C1坐标为(1，－3)；(2)如图所示：△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4,4)；(3)如图所示：△AB2C2，即为所求．15．已知：如图1，点A(1,0)，B(0，2)，将点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B′，点B′恰在反比例函数y＝kx(x＞0)(1)求k的值；(2)如图2，将△AOB(点O为坐标原点)沿AB翻折得到△ACB，求点C的坐标；(3)是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△AOB放大为原来的两倍后得到△DEF(即△DEF∽△AOB，且相似比为2)，使得点D、F恰好在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上?若存在，请求出符合条件的点P【答案】（1）6；（2），45)；（3）(−1,−2)或(1,2)【详解】解：（1）点B沿x轴正方向平移3个单位长度得到对应点B'的坐标是，代入y=kx得：（2）如图，过C做CM⊥x轴于N，作BM⊥CM与M，∵△AOB沿AB翻折得到△ACB，∴AC=OA=1，BC=BO=2，∠BCA=∠BOA=90°．∴∠BCM+∠ACN=90°，∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠BCM=∠CAN，∵∠M=∠ANC=90°，∴△ANC∽△CMB，∴AN设AN=p，则CM=2p，CN=2-2p，∴1+p=2（2-2p）解得p=3∴ON=1+p=85，CN=则的坐标是，45)；（3）①如图中，放大为原来的两倍后得到ΔDEF，且，∵OA=1，OB=2∴EF=4，DE=2，∵D和F在反比例函数图象上，设F(m,6∴D(m+2,6，解得m=1或−3（舍弃），经检验m=1是原方程的解，∴F(1,6)，，∴点E坐标为(1,2),∴直线的解析式为y=4x+2直线AD的解析式为y=x−1，由y=4x+2y=x−1解得x=−1，②连接BD、，∵点B坐标为(0,2),点D坐标为(3,2)，∴BD∥x轴，∵点A坐标为(1,0),点F坐标为(1,6)，∴AF∥y轴，∴BD、的交点，或P(−1,−2)即为位似中心，（图只是作为参考！)综上所述，P坐标为(−1,−2)或(1,2)．拓展培优练一、单选题1．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（

）A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似【答案】D【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．故选：D．2．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若AB=6，则A'BA．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，∴ABA∵AB=6，∴6A∴A故答案为：B．3．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B0,1，D0,3，则△OAB与△OCD的相似比是（

A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【详解】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；△OAB与△OCD的相似比等于OBOD故选D．4．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【答案】A【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,2)，B(1,1)，，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（

）A．5 B．2 C．4 D．2【答案】D【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝2−62＋4−2故选：D．6．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点BA．−2a+3 B．−2a+1 C．−2a+2 D．−2a−2【答案】A【详解】设点B'的横坐标为x，则B、间的横坐标的差为a−1，B'、间的横坐标的差为−x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C'∴2a−1解得：x=−2a+3.故选：A.7．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：C．8．如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAOA'=A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：SABCD又四边形ABCD的面积是2，∴四边形A'B'故选：D．9．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9【答案】A【详解】解：∵△ABC与△DEF位似∴△∵△ABC与△DEF的位似比是1:2∴△ABC与△DEF的相似比是1:2∴△ABC与△DEF的周长比是1:210．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（

）A．4 B．6 C．9 D．16【答案】B【详解】设△DEF的周长是x∵△ABC与△DEF位似，相似比为2:3，△ABC的周长为4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．二、填空题11．如图，△A'B'C'与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA【答案】1：4【详解】解：由题意得，△ABC和△A'B'C'是位似图形，∴△ABC∽△A'B'C'，AB：A'B'=OA：AA'=1：2，∴△A'B'C'与△故答案为：1：4．12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'【答案】4【详解】解：∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2，∵A'B':AB=2:1，∴A'B'=4，∴A'C'=4所求周长=42故答案为：4213．△AOB三个顶点的坐标分别为A5,0，O0,0，B3,6，以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'【答案】2,4或−2,−4【详解】解：∵以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，∴点B(3,6)的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．故答案为：（2，4）或（-2，-4）．14．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________．【答案】（4，2）或（－4，－2）【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）．故答案为：（4，2）或（-4，-2）．15．如图，在直角坐标系中，ΔABC与ΔODE是位似图形，则位似中心的坐标为__________．【答案】4,2【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心∴M点坐标为4,2故答案为：4,2．16．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A4,0，点C2,0，则△OAB与△OCD周长的比值是【答案】2【详解】∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，点A4,0，点∴OA=4，OC=2∴△OAB与△OCD的位似比为：4：2=2：1∴△OAB与△OCD周长的比值为：2：1故答案为：2．17．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA:AD=2:3，则△ABC与△DEF的周长比是_________．【答案】2:5【详解】解：∵△A