27.2 相似三角形 同步练习VIP

27.2相似三角形基础过关练一、单选题1．如图，能保证△ABC与△ACD相似的条件是（

A． B． C．AC2=AD⋅AB 2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻高为1.8m的竹竿影长为3m，某一高楼的影长为90m，那么高楼的高度为（）A．54m B．45m C．56m D．42m3．如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接、CF、DG．则BE:CF:DG等于（）A．1:1:1 B．1:2:1 C．1:3:14．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECPA．∠APB=∠EPC B．AB⋅PC=EC⋅BP C．P是BC的中点 D．BP:BC=2:35．如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点．．连接AE，BD交于点F，则S△DEF:S△ABFA．2：5 B．2：25 C．4：5 D．4：25二、填空题6．如图，矩形DEFG为△ABC的内接矩形，点G，F分别在AB,AC上，AH是BC边上的高，BC=10,AH=6,EF:GF=2:5，则矩形DEFG的面积为_________．7．已知一棵树的影长是30米，同一时刻一根长1.5米的标杆的影长为3米，则这棵树的高度是___________米．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB,AC的中点，与CD相交于点O，S△BOC=4，则△ABC的面积为_______9．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝6cm,BC＝3cm，点D是BC的中点，点E在边AB上从点A出发，以1cm/秒的速度沿着A→B的方向运动，运动到点B后停止，联结DE，当△BDE与△三、解答题11．古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O'B'，比较棒子的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O'12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD交于点M．(1)求证：△EDM∽FBM；(2)若DB=9，求BM．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE=35，过点E作EF∥CB交(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为ts．当△PBQ与△ABC15．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE相交于O点，且EOBO(1)求证：△OEB∽△ODC；(2)求证：AE·AB=AD·AC．能力提升练一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH⋅PCA．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④2．如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（）A．∠DAE=30° B．EFFB=12 C． 3．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位长度/秒的速度向点A运动，同时点Q从点出发以2个单位长度/秒的速度向点B运动，其中一点到达另一点即停．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（

）A．2411秒 B．95秒 C．2411秒或954．如图，正方形ABCD的边长为25，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②CHHF=23；③GH=A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若∠DAF=n°，则∠ABG的度数为（

A．2n° B．90°−n° C．45°+n° D．135°−3n°二、填空题6．正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为_______．7．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=11，点D在AC上，AD=8，∠DBA=∠A，则AB=______．8．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE=2DE，连接AE并延长交CD于点P，点F是BC边上一点，且CF=2BF，连接交BD于点G，连接EF，PF.下列四个结论：①DP=CP；②S△ABF=S△FCP；③AE=EF；④∠DPF=29．如图，G为正方形ABCD对角线AC上一点，连接BG，过点G作EF⊥BG交AB于点E，交CD于点F．若AG=22，CF＝2，则△EGB的面积为_____10．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足，一条平行于AC的直线分别交AB、AM、AN的延长线于点D、E、F，则EFDE=________三、解答题11．正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF=BE，AE与F交于G点．(1)如图1，求证：①AE=BF，②AE⊥(2)连接并延长交AB于点H．①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；②当点E在BC的边上滑动（不与B、C重合）时，直接写出的最小值．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x,CE=y(1)如图，当点P在边BC上时（P点与点B、C不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2)当x=3时，求CF的长；(3)当PEAP=113．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．(1)AB＝_______；当x＝1时，PEPB＝______(2)试探究：PEPB(3)连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．14．如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．(1)求证：△DEP(2)如图1，若BEBC=3(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP=3，请直接写出GF+GQ的最小值．15．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接．设运动时间为ts，解答下列问题：(1)设△APQ的面积为S，求出S的表达式（用含t(2)如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C．当四边形PQ(3)当t为何值时，△APQ16．如图，平行四边形ABCD中，DB为对角线，DF平分∠ADB，交AB于点E，交CB延长线于点F．(1)如图1，求证∶AE(2)如图2，点G为EF上一点，连接GB并延长交DC延长线于点，若BG=BE，∠BCD=2∠ABD，求证∶BC=HC；(3)在（2）的条件下，若CF=10，AE=2，求线段的长．拓展培优练一、单选题1．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（

）A．ADDB=AEEC B．DEBC=DFFC2．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．5 B．6 C．163 D．3．如图，若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC=∠A． B．−2 C．−12 D．4．如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点，连结AG,AH．则下列说法错误的是（

A．AG=CG B．∠B=2∠HAB C．△CAH≅△BAG D．B5．西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（

）A．y=12x B．y=12x+1.6 C6．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（

）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是______．8．如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为_____．9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k10．如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形是矩形，EH=2EF,AD是△ABC的高．BC=8,AD=6，那么EH的长为____________．11．如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为25﹣2．其中正确的是______．（请填写序号）12．已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交于点，交于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE=19，则MC+MN13．如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、上，且△ACD∽△A'C'D14．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，，点D在AC上，CD=3，连接DB，AD=DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP=x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．(1)求AC的长；(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．(1)求证：FB(2)若AB=6．求FB和EG的长．17．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证△CED∽△BAD；(2)当DC=2AD时，求CE的长．18．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6,将△AEB沿翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G,延长交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，∠D=60°,将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P,求CP的长．

27.2相似三角形基础过关练一、单选题1．如图，能保证△ABC与△ACD相似的条件是（

A． B． C．AC2=AD⋅AB 【答案】C【详解】解：∵∠A是公共角，，∴不能证明△ABC∽△ACD同理可得，B错误；∵AADAC=​∵∠A=∴△ABC∽△ACD∵CADCD=​不能证明△ABC∽△ACD故选：C．2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻高为1.8m的竹竿影长为3m，某一高楼的影长为90m，那么高楼的高度为（）A．54m B．45m C．56m D．42m【答案】A【详解】解：设这幢高楼的高度为xm，依题意得：1.83=x故这幢高楼的高度为54m．故选：A．3．如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接、CF、DG．则BE:CF:DG等于（）A．1:1:1 B．1:2:1 C．1:3:1【答案】B【详解】解：连接AC、∵正方形ABCD和AEFG，∴，AD=AB，∠DAB=∠∴∠DAG=在△ABE和△ADGAG=AE∠DAG=∠∴DG=BE，∵正方形ABCD和AEFG，∴∠DAC=∴∠DAG=由勾股定理得：AFAG∴△ABE∽ACF，∴BECF∴BE:CF:DG=1:故选：B．4．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECPA．∠APB=∠EPC B．AB⋅PC=EC⋅BP C．P是BC的中点 D．BP:BC=2:3【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∠∵E为CD中点，∴，即，当∠APB=∠EPC时，结合∠B=∴△ABP∽ECP，故选项A不符合题意；由AB⋅PC=EC⋅∵∠B=∴ΔABP∼ΔECP，故选项B不符合题意；当BP:BC=2:3时，则有BP:PC=2:1，且，∴，结合∠B=∠C，∴ΔABP∼ΔECP，故选项D不符合题意；当P是BC中点时，则有BC=2PC，可知PC=CE，则△ECP而BP≠AB，即△ABP故不能推出△ABP与△ECP相似，故C故选：C．5．如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点．．连接AE，BD交于点F，则S△DEF:S△ABFA．2：5 B．2：25 C．4：5 D．4：25【答案】D【详解】解：在平行四边形ABCD中，DC=AB,DC∥∴△DEF∽BAF，∵，∴DE:DC=2:5，∴DEAB∴S△故选D．二、填空题6．如图，矩形DEFG为△ABC的内接矩形，点G，F分别在AB,AC上，AH是BC边上的高，BC=10,AH=6,EF:GF=2:5，则矩形DEFG的面积为_________．【答案】72【详解】解：∵EF:GF=2:5，∴可设EF=2x,GF=5x，∵矩形DEFG为△ABC的内接矩形，AH是BC边上的高，∴KH=EF=2x，GF∥BC∴AK=6−2x，AH⊥∵GF∥∴，∴，即6−2x6解得：x=6∴EF=12∴矩形DEFG的面积为EF⋅故答案为：727．已知一棵树的影长是30米，同一时刻一根长1.5米的标杆的影长为3米，则这棵树的高度是___________米．【答案】15【详解】解：设这棵树的高度为x米，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的得：，∴．∴这棵树的高度是15米．故答案为：15．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB,AC的中点，与CD相交于点O，S△BOC=4，则△ABC的面积为_______【答案】12【详解】解：如图,连接DE，∵D、E分别是AB,AC的中点，∴DE∥∴△DOE∽COB，∴ODOC=∴OC=2OD，∵S△∴S△∴S△∵D是AB的中点，∴S△故答案为：129．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为________．【答案】2【详解】解：如图，∵△ABC∴AB=BC=AC=3，∠∴∠BAP+∵∠APD=60°∴∠APB+∴，又∠B=∴△BAP∽CPD，∴ABCP∵AB=BC=3，BP=1，∴，∴，解得：CD=2故答案为：2310．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝6cm,BC＝3cm，点D是BC的中点，点E在边AB上从点A出发，以1cm/秒的速度沿着A→B的方向运动，运动到点B后停止，联结DE，当△BDE与△【答案】352【详解】解：∵∠C＝90°,AC＝6∴AB＝AC2+BC2＝＝∵BC＝3cm，D是BC∴BD＝32（设运动时间是t秒时，△BDE与△ABC若△BDE∽BCA，∴，∴BE＝352∴t＝3若△BDE∽BAC，∴，∴，∴BE＝3510∴t＝35故答案为：352或三、解答题11．古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O'B'，比较棒子的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O'【答案】金字塔的高度OB为137米．【详解】解：由于太阳光是平行光线，∴∠OAB=∠又∵∠ABO=∠∴△OAB∽△∴OBO'B'=ABA∴BO=ABO答：金字塔的高度OB为137米．12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD交于点M．(1)求证：△EDM∽FBM；(2)若DB=9，求BM．【答案】(1)见解析；(2)BM=3【详解】（1）证明：∵AB=2CD，E是AB的中点，∴BE=CD，∵AB∥∴四边形ABCD是平行四边形，∴

DE∥BC，BC=DE，∴∠BDE=∠DBF，∠DEF=∠BFM，∴△EDM∽FBM；（2）解：∵BC=DE，F是BC的中点，∴

DE=2BF，∵△EDM∽FBM，∴BF∴BM=又∵DB=9，∴BM=313．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE=35，过点E作EF∥CB交(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．【答案】(1)45；(2)【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，∴CD=BC−BD=5−1=4，∵EF∥∴∠AEF=∵∠EAF=∴△AEF∽△ACD，∴AEAC=EF∴EF=4（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，∴AD=A∵∴△AEF∽△ACD，∴AEAC=AF∴AF=1，∴DF=AD−AF=5−1=4，∵EFBD∴EFBD∵∠EFD=又∵∠AEF=∴∠EFD=∴△DEF∽△ABD14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为ts．当△PBQ与△ABC【答案】t的值是125或【详解】解：当△PBQ∽△ABC时，，即，解得，经检验：t=12当△PBQ∽△CBA时，，即，解得t=18经检验：t=18∴t的值是125或1815．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE相交于O点，且EOBO(1)求证：△OEB∽△ODC；(2)求证：AE·AB=AD·AC．【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】（1）证明：∵EOBO∴，∵∠EOB=∴△OEB（2）证明：∵△OEB∴∠ABD=∴△ABD∴，∴AE·AB=AD·AC．能力提升练一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH⋅PCA．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠∵△BCP是等边三角形，∴∠PBC=∠∴∠ABE=30°∴BE=2AE，故①正确，∵AD∥BC∴∠DFP=∠∵∠PHB=∠又∵CD=CP,∠PCD=30°∴∠CDP=∠∴∠DPF=105°，∴∠PHB=∠∴△DFP∽△∵∠DPB=60°+75°=135°≠∠∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，∵∠PDH=∠∴∠PDH=∠∵∠DPH=∠∴△PDH∽△∴PDPC=∴PD2故选：D．2．如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（）A．∠DAE=30° B．EFFB=12 C． 【答案】D【详解】解：在矩形ABCD中，△ABE是等边三角形，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，∴∠DAE=90°-60°=30°，故A说法正确；设EC的长为x，易得∠ECB=30°，∴BE=2EC=2x，BC=3AB=BE=2x，∵DC∥∴∠ECA=∠CAB，又∵∠EFC=∠BFA，∴△ECF∽△BAF，∴，故B说法正确；，∴，故C说法正确．由相似的性质可知：，∵，∴，∴，故D说法错误．故选：D3．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位长度/秒的速度向点A运动，同时点Q从点出发以2个单位长度/秒的速度向点B运动，其中一点到达另一点即停．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（

）A．2411秒 B．95秒 C．2411秒或95【答案】C【详解】解：设运动时间为t秒．BP=t，CQ=2t，BQ=BC−CQ=6−2t，当ΔBAC∽ΔBPQ，即t8解得t=24当ΔBCA∽ΔBPQ，即t6解得t=9综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与ΔABC相似时，运动时间为2411s或故选：C．4．如图，正方形ABCD的边长为25，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②CHHF=23；③GH=A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD是边长为25的正方形，点E是BC∴AB=AD=BC=CD=25，BE=CE=5，∠DCE=∠ABE=90°，∴△ABE∴∠CDE=∠BAE，DE=AE，∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，∴△ABG∴∠BAE=∠BCF，∴∠BCF=∠CDE，又∵∠CDE+∴∠BCF+∴∠CHE=90°∴CF⊥DE，故①正确；∵CD=25，CE=由勾股定理得，DE=C∵S△∴CH=2，∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴，∴，∴CF=5，∴HF=CF﹣CH=3，∴CHHF如图，过点A作AM⊥DE于点M，∵DC=25，CH=2由勾股定理得，DH=2∵∠CDH+∠ADM=90°，∠DAM+∴∠CDH=∠DAM，又∵AD=CD，∠CHD=∴△ADM∴CH=DM=2，AM=DH=4，∴MH=DM=2，又∵AM⊥DH，∴AD=AH，故④正确；∵DE=5，DH=4，∴HE=1，∴ME=HE+MH=3，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴∠AME=∠GHE，∵∠HEG=∠MEA，∴△MEA∽△HEG，∴GHAM∴，∴HG=43综上，正确的有：①②④．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若∠DAF=n°，则∠ABG的度数为（

A．2n° B．90°−n° C．45°+n° D．135°−3n°【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=DC，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF，在△ADF和△DCE中，AD=DC∴△ADF∴∠AFD=∵，∴∠AFD+∴．如图：延长DE交AB的延长线于H，∵BE=12BC=∴△HBE∴BE∴BH=AB,点B是AH的中点，∵，∴∠AGH=90°∴GB=HB，∴∠H=∵∠H+∴∠H=∴∠ABG=故选：A．二、填空题6．正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为_______．【答案】52或【详解】分情况讨论：①如图1，BM交边AD于点F

图1∵∠ABE=∠BAF=90°,∴Rt△ABE≌Rt△BAFHL∴AF=BE

∵BE=3连接FE，则四边形ABEF为矩形，∴BM=1∵AB=4,BE=3

∴②如图2，射线BM交边CD于点F

图2∵△ABC≌△BCF∴∠BAE=∠∴∠BEM+∴∠BME=9即BF垂直AE，∴△BME∼△ABE∴AB∵AB=4,AE=5,BE=3∴BM=故答案为：527．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=11，点D在AC上，AD=8，∠DBA=∠A，则AB=______．【答案】【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于∵DE⊥AB，CF⊥∴DE∥∴△ADE∴ADAC又∵AC=11，AD=8，∴DECF设AE=8a，则AF=11a，∴EF=3a，∵∠DBA=∴AD=BD=8，△ABD又∵DE⊥∴E是AB的中点，∴AE=BE=8a，∴BF=BE−EF=5a，∵∠ABC=60°，CF⊥∴CF=3∵DE⊥AB，BD=8，BE=8a∴DE=B又∵DECF∴DE=8∴81−a2∴AB=AE+BE=16a=88故答案为：．8．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE=2DE，连接AE并延长交CD于点P，点F是BC边上一点，且CF=2BF，连接交BD于点G，连接EF，PF.下列四个结论：①DP=CP；②S△ABF=S△FCP；③AE=EF；④∠DPF=2【答案】①②③④【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD=BC，∠ABF=∴△ABE∴DPAB∴DP=1∴DP=CP，故①正确；∵CF=2BF，AB=2CP，∴S△如图所示，过点E作MN⊥AD交AD于M、交BC于N，则四边形ABNM和四边形CDMN都是矩形，∴∠AME=∠ENF=90°，MD=NC，AM=BN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDE=∠NBE=45°，∴∠MED=∠NEB=45°，∴△MED和△NEB∴NB=NE，ME=MD，∴NE=AM同理可证△BNE∴BNDM∴BN=2DM=2CN，又∵CF=2BF，∴BF+FN=2CN，CN+CF=2BF，∴FN=CN=DM=ME，∴△AME∴AE=EF，∠AEM=∠EFN，故③正确；∵∠NEF+∠NFE=90°，∴∠NEF+∠AEN=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=∠EFA=45°，∵AB∥∴∠APD=∠BAP，∴∠APD=∠BAF+∠EAF=∠BAF+45°，又∵∠BGF=∠BAF+∠ABD，∠ABD=45°，∴∠BGF=∠BAF+45°=∠APD设AD=6a，则AM=4a，DM=EM=2a，DP=3a，∴AE=EF=AM2∴PE=5∴PEEF又∵∠ADP=∠FEP=90°，∴△ADP∴∠APD=∠APF，∴∠DPF=2∠APD=2∠BGF，故④正确；故答案为：①②③④9．如图，G为正方形ABCD对角线AC上一点，连接BG，过点G作EF⊥BG交AB于点E，交CD于点F．若AG=22，CF＝2，则△EGB的面积为_____【答案】5【详解】解：如图，过点G作GH⊥BC于H，过点G作MN⊥AB于M，交CD于N，∵四边形ABCD是正方形，∵AB∥CD，∠BCD=∠BAD=∠ADB=90°，∠ACD=∠ACB=∠CAB=45°，∴MN⊥DC，GN=GH，四边形AMND是矩形，∴∠GNF=∠GHB=90°，AM=DN，∵∠CHG=∠NCH=∠CNG=90°，∴四边形CHGN是正方形，∴∠NGH=90°，∵BG⊥EF，∴∠BGF=90°=∠NGH，∴∠NGF=∠HGB，∵∠NGF=∠HGB，GN=GH，∠GNF=∠GHB，∴△NGF≌△HGB(ASA)，∴BH=FN，Rt△AMG中，∠MAG=45°，AG=22∴AM=MG=BH=FN=2，即DN=2，∵CF=2，∴CN=CF+FN=4，∴CG=42∴AB=CD=DN+CN=2+4=6，∵AE∥CF，∴△AEG∽△CFG，∴AECF=∴AE=1，∴BE=AB−AE=6−1=5，∴△EGB的面积=12・BE・MG=12故答案为：5．10．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足，一条平行于AC的直线分别交AB、AM、AN的延长线于点D、E、F，则EFDE=________【答案】3【详解】过点M作MG∥DF，点G在AB上，过点N作NH∥DF，H在AB上，NH交AM于I，则有MG∥DF∥NH∥AC∵GM∥NH，BM=MN∴△BMG∽△BNH∴又∵BM=12∴∵MG∥NH∥AC，MN=NC∴∴∵MG∥NH∴△AHI∽△AGM

∴又∵∴∴又∵DF∥NH

∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，∴IH∴∴故答案是：3．三、解答题11．正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF=BE，AE与F交于G点．(1)如图1，求证：①AE=BF，②AE⊥(2)连接并延长交AB于点H．①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；②当点E在BC的边上滑动（不与B、C重合）时，直接写出的最小值．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)BH=43；CG的最小值为2【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠在ΔABE和中，AB=BC∠∴ΔABE≌∴AE=BF；②∵ΔABE≌∴∠BAE=∵∠ABF+∴∠ABF+∠BAE=90°，即∠AGB=90°∴AE⊥（2）解：①∵E为BC的中点，即，∴AE=B∵∠AGB=90°,∵∠AEB=∴ΔABE∼ΔBGE，∴BGAB∴BG4解得BG=4，∵CD∥∴ΔCFG∼ΔHBG.，∴，∴，∴；②取AB的中点H，连接．由（1）得：∠AGB=90°∵A、B为定点，∴G点的轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，的值最小，∵BH=2,CH=42+∴CG=CH−HG=2∴的最小值为．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x,CE=y(1)如图，当点P在边BC上时（P点与点B、C不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2)当x=3时，求CF的长；(3)当PEAP=1【答案】(1)y=−14x2+5【详解】（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠∵BP=x，CE=y，∴PC=5−x，∵AP∴∠APE=90°，∵∠1+∴∠2=∴ΔABPCEBP=yx=∴y=自变量的取值范围为：0<x（2）当x=3时，y=即CE=3∴DE=∵四边形ABCD是矩形，∴AD平行于．∴ΔAEDADCF=5CF=∴CF（3）①当点P在线段BC上时，E在线段CD上，∵ΔPCEPCAB=∴PC∴PC∴PB=5−2=3，②当P在点的右侧时，如图∵∠EPC+∠BPA=90°，∴∠EPC=∵∠B=∴ΔABPPEAP=∴PC∴PC∴PB=5+2=7综上所述，PB的长为3或7.13．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．(1)AB＝_______；当x＝1时，PEPB＝______(2)试探究：PEPB(3)连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．【答案】(1)4，34;(2)是定值，34;【详解】（1）解：作PM⊥AB于M交CD于N．如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，∵AC＝5，∴AB＝A∵∠∴△∴AP∴PM=35，∴BM=AB−AM=16∵MN＝AD＝3，∴PN=MN−PM=12∵∠PMB=∴∠BPM+∠EPN=90°，∠∴∠BPM=∴△BMP∴PEPB故答案为4，34（2）结论：PEPB的值为定值3当点E在点C左侧时，如图1所示：由PA＝x，可得PM=3∴AM=45x，BM=4−∵△BMP∽△PNE，∴PEPB当点E在点C右侧时，如图2所示：同理得出PEPB综上所述：PEPB的值为定值PE（3）在Rt△PBM中，PB∵PEPB∴PE=3∴S=1∵0＜x＜5，∴x=165时，S有最小值＝14．如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．(1)求证：△DEP(2)如图1，若BEBC=3(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP=3，请直接写出GF+GQ的最小值．【答案】(1)见解析;(2)732;(3)【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B=∴∠BEC=∵DP⊥CE，点P为CE的中点，∴CD=DE，∠DPE=90°∴∠DCE=∴∠DPE=∠B，∠DEP=∴△DEP（2）解：如图1，延长AP交DC的延长线于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠H=∵点P为CE的中点，∴PC=PE，又∠CPH＝∴△PCH≌△PEA（AAS），∴CH=AE，PH=PA，∵BEBC=34，设BE=3k（∵∠B=90°∴EC=B∴PE=PC=1∵△DEP∴DEEC=DP∴DE=256k由（1）知：CD=DE，∴CD=AB=25∴AE=CH=AB−BE=25∴DH=CD+CH=25∵AB∥∴△AEF∴EFDF（3）解：∵DP是线段CE的垂直平分线，∴直线DP是△DCE的对称轴，作点Q关于DP的对称点Q'，点Q'在DC上，且DQ'=DQ，连接GQ、G当F、G、Q'三点在同一条直线上，且FQ'⊥CD由（2）知：PE=PC=5∵CP=3，∴52k=3，解得：∴DE=256k=5，AE=∵EFDF∴DF=32∵FQ∴∠D∵∠ADC=90°∴∠ADC+∴FQ∴△FDQ'∴FQ'AD∴FQ∴GF+GQ的最小值为25615．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接．设运动时间为ts，解答下列问题：(1)设△APQ的面积为S，求出S的表达式（用含t(2)如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C．当四边形PQ(3)当t为何值时，△APQ【答案】(1)S=−310t2+32t，0<t<4;(2)2013s;【详解】（1）解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于∵∠C=90°∴，∴PH∥∴△APH∴PHBC∵AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，∴PH3∴PH=3−3∴△AQPS=12⋅AQ⋅PH=（2）解：如图乙，连接PP'，PP'交当四边形PQP'C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC∴△APE∴AEAC∴AE=APQE=AE−AQ=−4又∵QE=1∴−9解得：t=20∵0<20∴当四边形PQP'C为菱形时，t的值是（3）解：如图，由（1）知，PH=3−3与（2）同理得：QH=AH−AQ=−4∴PQ=PH2在△APQ①当AQ=AP，即t=5−t时，解得：t1②当PQ=AQ，即185t2−18t+25=t③当PQ=AP，即185t2−18t+25=5−t∵0<t<4，∴t3=5，∴当t为52s或2513s或4013s16．如图，平行四边形ABCD中，DB为对角线，DF平分∠ADB，交AB于点E，交CB延长线于点F．(1)如图1，求证∶AE(2)如图2，点G为EF上一点，连接GB并延长交DC延长线于点，若BG=BE，∠BCD=2∠ABD，求证∶BC=HC；(3)在（2）的条件下，若CF=10，AE=2，求线段的长．【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)GE=【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC，AD∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ABF∴△AED∽△BEF∴AEBE∴AE∵BF平分∠ADB，∴∠ADF＝∠FDB，∴∠FDB＝∠F，∴BD＝BF，∴AE（2）证明：∵∠BCD＝2∠ABD∴设∠ABD=α，∠∵BG＝BE，∴∠BGE＝∠BEG∵∠F＝∠FDB，∴∠∴∠∴BC＝HC（3）如图2，过点D作DN⊥CF于N，∵∠F=∠FDB，∴BF=BD，∵∠H=∠HBC=α，∴BC=CH，∵∠∴∠∵AB∥CD∴∠ABD=∠BDC=α，∠BEG=∠HDG，∴∠H=∠BDH=α，∴BD=BH=BF，设BE=BG=x，BC=y，∴AB=2+x=CD，BF=10-y，∴DH=2+x+y，BF=DB=BH=10-y，∵BE=BG=x，∴GH=BG+BH=x+10-y，∵∠BEG=∠BGE，∠BEG=∠HDG，∴∠HDG=∠BGE，∴GH=DH，∴x+10-y=2+x+y，∴y=4，∴AD=BC=4，∴BF=DB=BH=6，∵AD∴△∴AEBE=∴2BE=46,∴AB=CD=5，BG=BE=3，∴ADBF=∵DN2∴DB2∴36−BN2∴BN=278∴FN=BF+BN=6+278∴DF2∴DF=1522，∴∵AB∥CD∴GEDE=∴GE32∴GE=3拓展培优练一、单选题1．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（

）A．ADDB=AEEC B．DEBC=DFFC【答案】C【详解】解：∵DE∥∴ADBD=AEEC，△DEF∽△CBF，△ADE∽△∴DECB=DFCF=EFBF∴EFBF=AE故选C．2．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．5 B．6 C．163 D．【答案】C【详解】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴=2，∴S阴影故选：C．3．如图，若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC=∠A． B．−2 C．−12 D．【答案】A【详解】设A(x1,0)(x1∵二次函数y=ax2+bx+c∴OC=c，∵∠OAC=∠OCB，OC⊥∴△OAC

∴OAOC∴OC即，令ax根据根与系数的关系知x1∴−x故ac=−1故选：A．4．如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点，连结AG,AH．则下列说法错误的是（

A．AG=CG B．∠B=2∠HAB C．△CAH≅△BAG D．B【答案】C【详解】解：由题意可知，DE垂直平分AC，CG=HG，∴AG=CG，则选项A∵AB=AC,∴∠C=∵AG=CG，CG=HG，∴∠CAG=∠C=36°，AG=HG，∴∠AGB=∠CAG+∠C=72°，∠AHG=∴∠HAB=∴∠B=2∠HAB假设△CAH∴∠CAH=又∵∠CAH=∠BAG=∴∠CAH≠∠BAG则假设不成立，选项C错误；∵∠BAG=72°=∠AGB，AB=AC，∴BG=AB=AC在△ABC和△GAC中，∠B=∴△ABC∽△GAC，∴ACCG=∴BG2故选：C．5．西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（

）A．y=12x B．y=12x+1.6 C【答案】B【详解】解：由题意可知，四边形ABGF是矩形，∴AF=BG=xm,FG=AB=1.6m∵EG=ym∴EF=EG−FG=又∵CD∴CD∴△AEF∽△ADC，∴EF∵CD=a=30∴y−1.6整理得：y=1故选：B．6．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（

）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【详解】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，AC⊥BD，OA=∵∠BAC=∴∠ACB=∠ADC=60°，△ABC与为等边三角形，又∠MAC=∠DAN=∴∠MAC=在△CAM与△DAN∠∴△CAM∴AM=AN，即△AMN为等边三角形，故①正确；∵AC⊥当MN最小值时，即AM为最小值，当AM⊥BC时，∵AB=2,BM=1∴AM=即，故②正确；当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，∴MN∥∴AC⊥在△CMNCE=C∴S△而菱形ABCD的面积为：2×3∴18故③正确，当OM⊥∠∴△∴OC∴O∴O故④正确；故选：D．二、填空题7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是______．【答案】27【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∴∠EDF=∵∠EFD=∠CFB，∠∴△DEF∽△BCF∵AE=2DE，AD=BC，∴DE：BC=1：3，∴S△DEF：S△BCF=DE2：BC∴S故答案为：27．8．如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为_____．【答案】18【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k【答案】4【详解】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于∵∠ABO＝90°，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE=S△BOD=12k∵CE∥∴△OCE∽△OAB，∴S△∴4S∴4×1∴k＝43故答案为：4310．如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形是矩形，EH=2EF,AD是△ABC的高．BC=8,AD=6，那么EH的长为____________．【答案】24【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥∴△AEF∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，∴AMAD∴AM=AD−DM=AD−EF=6−EF，∵EH=2EF，代入可得：6−EF6解得EF=12∴EH=2×故答案为：24511．如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为25﹣2．其中正确的是______．（请填写序号）【答案】①②【详解】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，AB=BC∠∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴AGBC∴，∴AG＝3，∴AG＝12∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△COG＝2S△BOG，∴∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴∠BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝32BC＝3∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝21，∴OP最小＝OI﹣PI＝21﹣2，故④不正确，故答案为：①②．12．已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交于点，交于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE=19，则MC+MN【答案】5【详解】解：连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴A点与点关于BD对称，∴CM=AM，∴当A、M、N三点共线时，的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE=，∵DG，，，，SΔDCGSCDCF=∵正方形边长为4，∴CF=12∵AD∥CF，ADCF=∴DE=1，CE=3，在Rt△CEF中，EF∴EF=∵N是EF的中点，∴EN=在Rt△ADE中，∴AE=∴AN=AE+EN=的最小值为5172故答案为：517三、解