27.1 图形的相似 同步练习

27.1图形的相似基础过关练一、单选题1．已知：xyA．5x=3y B．x+yx=83 C．x+y=82．若a，b，c，d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=8cm，则线段dA．2cm B．4cm C．5cm D．6cm3．在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km4．下列说法不正确的是（

）A．所有矩形都是相似的B．若线段a=5cm，b=2cmC．菱形的对角线互相垂直D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm5．下列图形中，不一定是相似图形的是（

）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形C．两个长方形 D．两个圆二、填空题6．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9,c=4，那么_____．7．如图，已知DE∥AC，DF∥BC，求：（1）CFAC+ECBC=________；（8．如图，学校元旦晚会的舞台AB的长为20米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．9．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．10．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______．三、解答题11．已知线段a，b，c满足a3=b(1)求a，b，c的值；(2)请再写出一条线段长，使这条线段以及线段a，c这三条线段中的一条线段是另外两条线段的比例中项．12．如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A(1)求A'B'(2)线段A'B'，AB，，13．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．14．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a:b)．设S甲、又设V甲、（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（

）A．两个球体 B．两个锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化）15．如图，AC∥EF∥BD．(1)求证：+＝；(2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值．能力提升练一、单选题1．如果线段b是线段a，c的比例中项，a:c=4:9，那么下列结论中正确的是（

）A．a:b=4:9 B．b:c=2:3 C．a:b=2:2 D．b:c=3:22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（

）A．152 B．5 C．3 D．3．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD(AB<BC)中,∠ABC的平分线交AD边于点E,EF⊥BC于点F,则下列结论错误的是（

）A．AEAD=DEAE B．CFBF=BFBC4．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2 B．3 C．22 D．5．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D．若l1与l2的距离为1，l1与A．22 B．345 C．425二、填空题6．在△ABC中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，BDEA=2，CEFB=37．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1______.(填“>”“＝”或“<”)8．如图，在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，则CF：FG：GM＝_______．9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝_____．10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是________．三、解答题11．阅读理解：如图①，点C将线段AB分成两部分，若ACAB=BCAC，则点某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S=问题解决：如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点．(1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．12．如图，已知矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，延长AD到点E，使AE＝15，连结BE交AC于点P．(1)求AP的长；(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；(3)已知以点A为圆心，r1为半径的动OA，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．①则动⊙A的半径r1的取值范围是▲；②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，则r2的取值范围是▲．13．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是ab（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得a+mb+m，则两个分数的大小关系是a+mb+m（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.14．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，直接写出线段FC的长．15．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，ACAB＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足BDAB＝ADBD，所以点D材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．请根据以上材料，回答下列问题（1）如图，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝，CD＝．（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求mn拓展培优练一、单选题1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．2．如图，在平面直角坐标系中，为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过作CD∥OB交AB于点D，、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（

A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣164．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则S△AMDS△MBNA．34 B． C．1 D．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若，则CD的长是（

A．6 B．3 C．1.5 D．1二、填空题6．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．7．已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则nm的值为________．8．下列命题中，正确命题的个数为________．①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似9．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DEBC10．如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14三、解答题11．（2012·江苏南京·中考真题）“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅．小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．12．如图，正比例函数y=x与反比例函数y=4x的图象交于A，(1)求A，B两点的坐标；(2)将直线y=x向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若CDDE=1313．（2019·广东·中考真题）如图，在ΔABC中，点D是边AB上的一点.（1）请用尺规作图法，在ΔABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若ADDB=2，求AE14．（2016·山东淄博·中考真题）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME//AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．(1)求证：AE＝AF；(2)求证：BE＝12(AB＋AC)15．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥(2)在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC=α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．

27.1图形的相似基础过关练一、单选题1．已知：xyA．5x=3y B．x+yx=83 C．x+y=8【答案】C【详解】解：A、∵xy∴5x=3y，故A不符合题意；B、∵xy∴x+yx=1+yC、∵xy∴x+y不一定等于8，故C符合题意；D、∵xy∴x+3y+5=x故选：C．2．若a，b，c，d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=8cm，则线段dA．2cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【详解】解：∵a，b，c，d成比例线段，∴可得：ab又∵a=5cm，b=2.5cm，∴52.5解得：d=4∴线段d的长为4cm．故选：B3．在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【答案】A【详解】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．4．下列说法不正确的是（

）A．所有矩形都是相似的B．若线段a=5cm，b=2cmC．菱形的对角线互相垂直D．四条长度依次为1cm，2cm，2cm【答案】A【详解】解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，∴所有矩形不一定是相似的，本选项说法不正确，符合题意；B、若线段，b=2cm，则a:b=5:2，本选项说法正确，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，本选项说法正确，不符合题意；D、∵12∴四条长度依次为1cm，2cm，2cm故选：A．5．下列图形中，不一定是相似图形的是（

）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形C．两个长方形 D．两个圆【答案】C【详解】解：A、∵等边三角形的三个内角都是60°，∴任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故该选项不符合题意；B、∵等腰直角三角形的三个内角分别为45°、45°、90°，∴任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故该选项不符合题意；C、∵任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，∴任意两个长方形不一定相似，故该选项符合题意；D、∵任意两个圆中，其中一个圆放大或缩小后能够与另一个圆重合，∴任意两个圆一定相似，故该选项不符合题意．故选：C二、填空题6．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9,c=4，那么_____．【答案】6【详解】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则故答案为：67．如图，已知DE∥AC，DF∥BC，求：（1）CFAC+ECBC=________；（【答案】

1

1【详解】解：（1）∵DE∥∴ECBC∵DF∥∴CFAC∴BDAB+故答案为：1；（2）∵DF∥∴CF∵DE∥∴CE∴CF故答案为：1．8．如图，学校元旦晚会的舞台AB的长为20米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．【答案】【详解】解：∵舞台AB的长为20米，点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，∴（米），故答案为：．9．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．【答案】2【详解】根据题意，得AE=1将代入ADAE=ABAD，得AB2故答案为：2．10．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______．【答案】4【详解】∵l1∥l2∥l3，∴ABBC又∵AB=5，DE=2，AC=15，∴BC=10，∴5∴EF=4，故答案为：4．三、解答题11．已知线段a，b，c满足a3=b(1)求a，b，c的值；(2)请再写出一条线段长，使这条线段以及线段a，c这三条线段中的一条线段是另外两条线段的比例中项．【答案】(1)a=3，b=2，c=6；(2)32或32【详解】（1）解：设a3=b∵a+2b+c=13∴3k+4k+6k=13，解得k=1故a=3，b=2，c=6．（2）设另外一条线段长为x．若x为a，c的比例中项，则x2解得x=32若a为x，c的比例中项，则a2解得x=3若c为a，x的比例中项，则c2解得x=12综上所述，写出的线段长可为32或32或12．如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A(1)求A'B'(2)线段A'B'，AB，，【答案】(1)12，12；(2)线段A'B'，AB，B'C'，【详解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴A'B'AB＝48＝12（2）由（1）知A'B'AB＝48＝12，∴A'B'∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．13．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．【答案】16【详解】解：∵四边形ABCD为中正方形，∴∠DAB=90°，∠DAC=45°又EF⊥AB，EG⊥AD，∴∠AFE=∴四边形是矩形，，，，∴矩形是正方形，∵四边形ABCD是正方形，∴正方形正方形ABCD，∵AE：EC=2：1，∴AE：AC=2：3，S正方形AFEGS∴S∴正方形AFEG的面积为16．14．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a:b)．设S甲、又设V甲、（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（

）A．两个球体

B．两个锥体

C．两个圆柱体

D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化）【答案】（1）A；（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；（3）60.75【详解】解：（1）A、两个球体，形状完全相同，是相似体；B、两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体；C、两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体；D、两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体；故选：A；（2）根据阅读材料进行归纳可以得到：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；②相似体表面积的比等于相似比的平方；③相似体体积的比等于相似比的立方；故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；（3）由题意知他的体积比为(1.11.65)3又因为体重之比等于体积比，若设初三时的体重为x千克，则有(1.11.65)3=18解得x=2434=60.75答：初三时的体重为60.75千克．故答案为：60.75．15．如图，AC∥EF∥BD．(1)求证：+＝；(2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值．【答案】(1)见解析；(2)6【详解】（1）证明：∵EF∥BD，∴EFBD∵EF∥AC，∴EFAC①+②得EFBD∴1AC（2）解：∵1∴1∴BD＝6．能力提升练一、单选题1．如果线段b是线段a，c的比例中项，a:c=4:9，那么下列结论中正确的是（

）A．a:b=4:9 B．b:c=2:3 C．a:b=2:2 D．b:c=3:2【答案】B【详解】解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，即a=4又∵b是a，c的比例中项∴a：b=b：c，即b∴b=2∴a：b=49c：23c=2：.故选B.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（

）A．152 B．5 C．3 D．【答案】D【详解】解：如图，作点C关于AD对称的对称点C'，连接∵AD平分∠∴点C'在AB上，△ACC'为等腰三角形，AD∴CE=∴CE+EF=∵E、F分别是AD，AC上的动点∴当F、E、C'三点共线，且C'F⊥AC时，∵C∴C∴C∵A∴C故选：D．3．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD(AB<BC)中,∠ABC的平分线交AD边于点E,EF⊥BC于点F,则下列结论错误的是（

）A．AEAD=DEAE B．CFBF=BFBC【答案】C【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∵

EF⊥BC，即∠BFE=90°∴四边形ABFE是矩形，是∠ABC的平分线，且EA⊥AB,

EF∴AE=EF∴四边形ABFE是正方形，∴AE=EF=AB=BF又∵四边形ABCD是黄金矩形，且，∴AB设AB=(5−1)a(a≠0)，则∴AE=EF=BF=AB=(∴DE=AD−AE=(3−BE=A则AEAD=AB即AEAD=DE

CFBF=即

CFBF=

AEBE=即

AEBE≠

DEEF=故选：C．4．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2 B．3 C．22 D．【答案】A【详解】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N’，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN=PN'，∴PM﹣PN=PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴，∵O为AC中点，∴，∵N为OA中点，∴ON=22∴ON∴AN∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴CMBM∴PM∥AB∥CD∵∠N'CM=45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM=MN'=2，即PM-PN的最大值为2，故选：A．5．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D．若l1与l2的距离为1，l1与A．22 B．345 C．425【答案】C【详解】解：如图：作BF⊥l3，AE⊥l3，由题意，则AE=4，BF=4−1=3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，∠BFC=∴△ACE≌△CBF；∴CE=BF=3，CF=AE=4，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7，∴AB=1∵l2∥l3，∴DGCE∴DG=1∴BD=BG−DG=7−3∴ABBD故选：C．二、填空题6．在△ABC中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，BDEA=2，CEFB=3【答案】1【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点P，∵BDDC=S△ABD∴S△∴BDDC同理可得：CEEA∴BD∵BDEA=2∴2×3×∴AFDC故答案为：17．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1______.(填“>”“＝”或“<”)【答案】=【详解】分析：根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2．详解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故答案为：=．8．如图，在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，则CF：FG：GM＝_______．【答案】5：3：2【详解】解：如图所示．作已知图形的中心对称图形，以M为对称中心．令CF=a，FG=b，GM=c．∵E′B∥AE，D′B∥AD∴a：（2b+2c）=EC：BE=1：2∴a=b+c，而（a+b）：2c=DC：BD=2：1∴a+b=4c，∴，∴CF：FG：GM=5：3：2．故答案为：5：3：2．9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝_____．【答案】40400【详解】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴＝，即＝，∵AB＝5，BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2020E2020+5D2020F2020＝20，∴4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2020＝40400；故答案为：40400．10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是________．【答案】【详解】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，∴PB+PM=PD+PM当D、P、M共线时，P'∵CM=BC=2∵∠ABC=120°，∴∠DBC=∠ABD=60°∴△DBC是等边三角形，∵BC=6，∴CM=2，HM=1，DH=33在Rt△DMH中，DM=∵CM∥AD∴P∴P故答案为：．三、解答题11．阅读理解：如图①，点C将线段AB分成两部分，若ACAB=BCAC，则点某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S=问题解决：如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点．(1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．【答案】(1)对．理由见解析；（2）三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．（3）直线EF也是△ABC的黄金分割线．【详解】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：∵点D是AB的黄金分割点，∴ADAB∵S△ADCS△ABC∴S△∴直线CD是△ABC的黄金分割线；（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD=BD，∴S△ADCS△ABC∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；（3）∵DF∥CE，∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，∵S△∴S△∴直线EF是△ABC的黄金分割线．12．如图，已知矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，延长AD到点E，使AE＝15，连结BE交AC于点P．(1)求AP的长；(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；(3)已知以点A为圆心，r1为半径的动OA，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．①则动⊙A的半径r1的取值范围是▲；②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，则r2的取值范围是▲．【答案】(1)AP=，（2）⊙A与BE相交，（3）①6＜r1＜8，②2＜r2＜4或16＜r2＜18，【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵AB=8，BC=6，∴AC=10，∵APCP=AE解得：AP=，（2）∵AB=8，AE=15，∴BE=17．作AH⊥BE，垂足为H，则AB•AE=BE•AH，∴AH＝AB·AEBE∵507∴⊙A与BE相交．（3）6＜r1＜8，②∵AC=10，∴2＜r2＜4，或16＜r2＜18．13．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是ab（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得a+mb+m，则两个分数的大小关系是a+mb+m（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.【答案】(1)12；14；16；18；19；；25；27；29；15；（2）＞；（3【详解】解：（1）12、14、16、18、19，、25、27、29（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）思路1：如图2所示，由a<b，得s+s1>s+s2，即ab+bm>ab+am思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：1−ab=因为a、b、m>0，且a<b，故1−ab（5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；（6）数学问题举例：①若ab是假分数，会有怎样的结论？②a、b不是正数，或不全是正数，情况如何？14．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，直接写出线段FC的长．【答案】(1)见解析；(2)13【详解】（1）证明：证明的剩余部分，∴BDCD=ABEA，∠2＝∠ACE，∠∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴ABAC即ABAC（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,∴ABAC∴BD=11∴AB=BD+CD=26∴CD=15∵E是BC的中点，∴CE=1∵EF∥AD，∴CFAC∴CF=13．15．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，ACAB＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足BDAB＝ADBD，所以点D材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．请根据以上材料，回答下列问题（1）如图，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝，CD＝．（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求mn【答案】（1）25﹣2，45﹣8；（2）b﹣a＝5﹣2；（3）mn的值是5+35【详解】解：（1）∵AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，∴AC＝BD＝5−12AB＝5−12×4＝2∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（25﹣2）﹣4＝45﹣8；故答案为：25﹣2，45﹣8；（2）∵b为0，1的黄金数，且实数0＜b＜1，∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），b2+b﹣1＝0，b1＝−1−52＜0（舍），b2＝−1+5∵a为0，1的白银数，且实数0＜a＜1，∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），a2﹣3a+1＝0，a1＝＞1（舍），a2＝3−52＜1∴b﹣a＝−1+52﹣3−52＝（3）∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数k＜n＜m＜t，∴(m−k分两种情况：i）当k≥0时，t＝2k，由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），m2﹣km﹣k2＝0，m＝1±52由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），n2﹣5kn+5k2＝0，n＝5±52∵k＜n＜m＜t，∴m＝1+52k，n＝∴mn＝1+52k5−ii）当k＜0时，t＝﹣2k，由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），m2﹣5km﹣5k2＝0，m＝5±352由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），n2+7kn+k2＝0，n＝−7±352k＞∵k＜n＜m＜t，∴m＞0，∴m＝5−352k，n＝−7+3∴

mn＝5−352k−7+3综上，mn的值是5+3510拓展培优练一、单选题1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．【答案】B【详解】解：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，∴x2∴x=5−1≈1.24即该雕像的下部设计高度约是1.24m，故选：B．2．如图，在平面直角坐标系中，为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过作CD∥OB交AB于点D，、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】解：∵CD∥∴ACAO∵AC:OC=1:2，∴ACAO∵、D两点纵坐标分别为1、3，∴，∴2OB解得：OB=6，∴B点的纵坐标为6，故C正确．故答案为：6．3．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（

A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16【答案】D【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，∵D点在双曲线y=k∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，∵D点在矩形的对角线OB上，∴矩形OEDF∽矩形OABC，∴SOEDF∵S矩形OABC=36，∴S矩形OEDF=16，∴|k|=16，∵双曲线y=k∴k=-16，故选：D．4．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则S△AMDS△MBNA．34 B． C．1 D．1【答案】A【详解】解：设，∵四边形ABCD是正方形，，，在和ΔDCF中，DA=DC∠，在ΔDAM和ΔDCN中，∠ADM=，，∵AB=BC∴BM=BN∵CN//AD∴，，，∴，故选：A．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若，则CD的长是（

A．6 B．3 C．1.5 D．1【答案】C【详解】解：由作图可得：MN是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，∴AG=CG,MN∵∠ACB=90°∴MN∴AG∴AD=BD,∵AB=3,∴CD=故选C二、填空题6．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．【答案】1.2【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，2.5a=3×1，解得a=1.2，故答案为：1.2．7．已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则nm的值为________．【答案】11【详解】解：设，则a=2k+1，，，．，b，c为非负实数，∴解得：−1∴当k=−12时，S取最大值，当k=3∴m=−4×．nm=故答案为：118．下列命题中，正确命题的个数为________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似【答案】1【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确；所有的菱形不一定相似，所以②错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；故答案是：1．9．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DEBC【答案】12或【详解】解：∵D为AB中点，∴ADAB=DE取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，DE∴AE在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则DE∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝12∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝12∴E1E2＝14∵AE∴AE2=综上，AEAC的值为：12或故答案为：12或110．如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14【答案】1【详解】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°∴AEBC=AF∴AE4∴AE=1，故答案为：1．三、解答题11．（2012·江苏南京·中考真题）“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅．小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划