专项04 二次函数与几何图形的综合

专项04二次函数与几何图形的综合类型一线段最值问题1.(2023山东潍坊二模)如图，已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)交x轴于点A(4，0)和点B(-2，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标.类型二周长与面积最值问题2.(2023湖南张家界中考)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2，0)和点B(6，0)，与y轴交于点C(0，6).D为线段BC上的一动点.(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.类型三特殊三角形存在性问题3.(2023山东莘县二模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(-2，0)，(6，-8).(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形.类型四特殊四边形存在性问题4.(2023山东东阿一模)如图，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于A(4，0)和B(-1，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；(3)取(2)中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

专项04二次函数与几何图形的综合答案全解全析1.解析(1)∵抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)经过点A(4，0)和点B(-2，0)，∴16a+4∴抛物线的解析式为y=12x2(2)由(1)知抛物线的解析式为y=12x2-x-4∴C(0，-4)，设直线AC的解析式为y=kx-4(k≠0)，将A(4，0)代入，得0=4k-4，解得k=1，∴直线AC的解析式为y=x-4，∵OA=OC=4，∴∠OAC=45°，设P(m，n)，则n=12m2-m-4(0<m<4)∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，∴D(n+4，n)，E(m，0)，∴PD=m-4-n，PE=-n，∴PD+PE=m-4-n-n=m-4-21=-m2+3m+4=-m-32∵-1<0，∴当m=32时，PD+PE取得最大值，此时n=12×322-∴点P的坐标为322.解析(1)将A(-2，0)，B(6，0)，C(0，6)三点坐标代入y=ax2+bx+c，得4a-2∴抛物线的表达式为y=-12x2(2)作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，∵B(6，0)，C(0，6)，∴OB=OC=6，∵O、E关于直线BC对称，∠BOC=90°，∴四边形OBEC为正方形，∴E(6，6)，连接AE，交BC于点D，由对称性知DE=DO，此时DO+DA有最小值，最小值为AE的长，AE=AB2+BE∵△AOD的周长=DA+DO+AO，AO=2，DA+DO的最小值为10，∴△AOD的周长的最小值为10+2=12.(3)设直线BC的表达式为y=kx+n(k≠0)，将B(6，0)，C(0，6)代入得，6k+∴直线BC的表达式为y=-x+6，同理可得，直线AC的表达式为y=3x+6，∵PD∥AC，∴可设直线PD的表达式为y=3x+q，设Pm,-12m2+2m+6(0<m<6)，将P点坐标代入直线PD的表达式，∴直线PD的表达式为y=3x-12m2-m+6由y=−x∴D18∵P，D都在第一象限，∴S=S△PAD+S△PBD=S△PAB-S△DAB=12·AB·yP-12=12·AB·=4×-38m2+94m=-32∵-32<0，∴当m=3时，S取得最大值，为272，此时P点坐标为3.解析(1)将A(-2，0)，D(6，-8)代入y=ax2+bx-8，得4解得a∴抛物线的函数表达式为y=12x2-3x-8∵y=12x2-3x-8=12(x-3)2-∴抛物线的对称轴为直线x=3.∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(-2，0)，∴点B的坐标为(8，0)，设直线l的函数表达式为y=kx(k≠0)，将D(6，-8)代入，得6k=-8，解得k=-43∴直线l的函数表达式为y=-43∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，∴纵坐标为-43×3=-4∴点E的坐标为(3，-4).(2)抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE.点F的坐标为(3-17，-4)或(3+17，-4).(3)由题意知分两种情况：①当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形.∵点E的坐标为(3，-4)，∴OE=32+过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则OMOP=OEOQ，∴点M的坐标为(0，-5).设直线ME的函数表达式为y=k1x-5(k1≠0)，将E(3，-4)代入得3k1-5=-4，解得k1=13∴直线ME的函数表达式为y=13x-5令y=0，得13x-5=0，解得x=15∴点H的坐标为(15，0)，∵MH∥PB，∴OPOM=OBOH，即-m5=8②当QO=QP时，△OPQ是等腰三角形.∵当x=0时，y=12x2-3x-8=-8∴点C的坐标为(0，-8)，∴CE=32+(8-4)2=5，∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，设直线CE交x轴于点N，则可设其函数表达式为y=k2x-8(k2≠0)，将E(3，-4)代入得3k2-8=-4，解得k2=43∴直线CE的函数表达式为y=43x-8令y=0，得43x-8=0，解得x=6∴点N的坐标为(6，0)，∵CN∥PB，∴OPOC=OBON，即-m8=8综上所述，当m的值为-83或-323时4.解析(1)把A(4，0)，B(-1，0)代入y=ax2+bx-4，得16解得a∴抛物线的解析式为y=x2-3x-4.(2)由题意可得C(0，-4)，则OC=4，设直线AC的函数解析式为y=kx+b1，依题意得0=4k+∴直线AC的函数解析式为y=x-4，设P(m，m2-3m-4)(0<m<4)，则E(m，m-4)，∴PE=(m-4)-(m2-3m-4)=-m2+4m=-(m-2)2+4，∵-1<0，∴当m=2时，PE有最大值，为4，此时P(2，-6).(3)存在.点Q的坐标为(2，2)或(6，-2)或(-2，-10).详解：设Q(c，n)，①当AC、PQ为平行四边形的对角线时，AC与PQ的中