新高考数学一轮复习第2章 第10讲 函数与基本初等函数测（基础卷）（教师版）

第二章函数与基本初等函数（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））设全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．（1，2） B．（1，2]C．（2，+∞） D．[2，+∞）【答案】DSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.2．（2022·山西·高二阶段练习）若函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.3．（2022·山西运城·高二阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过x的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，例如：SKIPIF1<0．已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D因为SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故选：D.4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和SKIPIF1<0的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是SKIPIF1<0．下列结论中正确的是（

）A．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，二氧化碳处于液态B．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，二氧化碳处于气态C．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，二氧化碳处于超临界状态D．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，SKIPIF1<0时对应的是非超临界状态，故C错误.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，因SKIPIF1<0,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是R上的奇函数，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0对任意实数x都有SKIPIF1<0，并且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由函数SKIPIF1<0对任意实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，可得函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，又由对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，可得函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减函数，则在区间SKIPIF1<0上单调递增函数，由SKIPIF1<0，所以A不正确；由SKIPIF1<0，所以B不正确；由SKIPIF1<0，所以C正确；由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D不正确.故选：C.7．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的增函数，实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的增函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：B8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A（1）当a<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有三个零点，则SKIPIF1<0，无解，即不可能有三个零点；（2）当a=0时，SKIPIF1<0，由（1）知有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个零点，满足题意；（3）当a>0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时有一个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数的一个零点，所以当SKIPIF1<0时函数只有一个零点，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即不论a取大于0的何值，SKIPIF1<0是函数的一个零点，故有三个零点，综上，实数a的取值范围是SKIPIF1<0故选:A二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·广东茂名·高一期末）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（

）A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多【答案】AD解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：SKIPIF1<0元，乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：SKIPIF1<0元，故选：AD.10．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）若SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD由于SKIPIF1<0对于选项A：由于SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为减函数，所以SKIPIF1<0，故选项A错误对于选项B：由于SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为减函数，所以SKIPIF1<0，故选项B错误对于选项C：由于SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0，故选项C正确对于选项D：SKIPIF1<0，根据运算关系，当真数相同时，底数越大，对数越大，所以SKIPIF1<0，故选项D正确故选：CD11．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0是定义在区间SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC解：根据题意，函数SKIPIF1<0是定义在区间SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：AC.12．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0是偶函数C．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数D．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称【答案】BD解：函数SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故函数定义域为SKIPIF1<0，A选项错误；SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0是偶函数，B选项正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是减函数，外层SKIPIF1<0也是减函数，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，故C选项错误；由SKIPIF1<0，可得f(x)的图象关于直线SKIPIF1<0对称，故D选项正确.故选：BD三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若SKIPIF1<0是奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．（2022·河北沧州·模拟预测）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为SKIPIF1<0，一年四季均可繁殖，繁殖间隔SKIPIF1<0为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）来描述该物种累计繁殖数量SKIPIF1<0与入侵时间SKIPIF1<0（单位：天）之间的对应关系，且SKIPIF1<0，在物种入侵初期，基于现有数据得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加SKIPIF1<0倍所需要的时间为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）____________天.【答案】24.8##SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．设初始时间为SKIPIF1<0，初始累计繁殖数量为SKIPIF1<0，累计繁殖数量增加SKIPIF1<0倍后的时间为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（天SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．15．（2022··模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为___________.【答案】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为增函数，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0恒成立，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因此，原不等式的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.16．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有4个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________；若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0

SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不相等的实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是____________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0由题意，函数SKIPIF1<0，根函数的图象变换，函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，根据二次函数的性质，可得函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，在坐标系中作出函数SKIPIF1<0的图象，如图所示，函数SKIPIF1<0有4个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0有8个不等的实数根，则方程SKIPIF1<0必有4个实数根，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有2个不同的实数根，令SKIPIF1<0，可得其对称轴的方程为SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0是奇函数.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)判断函数SKIPIF1<0的单调性并证明.【答案】(1)1(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，证明见解析(1)解：由SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上奇函数可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.经检验，此时对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.(2)解：由SKIPIF1<0递增，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，证明如下：对于任意实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数.18．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知函数SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上.(1)求函数SKIPIF1<0的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数SKIPIF1<0的图象；(2)若方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0，图象见解析(2)SKIPIF1<0(1)解：因为点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其图象如图所示：(2)解：将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，因为方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，所以直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象（如图所示），由图象，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.19．（2022·湖南·高一课时练习）某企业生产SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品，根据市场调查和预测，SKIPIF1<0产品的利润SKIPIF1<0（万元）与投资额SKIPIF1<0（万元）成正比，其关系如图（1）所示；SKIPIF1<0产品的利润SKIPIF1<0（万元）与投资额SKIPIF1<0（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．(1)分别将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品的利润表示为投资额的函数；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0产品投入3.75万元，SKIPIF1<0产品投入6.25万元，企业获得最大利润为SKIPIF1<0万元，即4.0625万元．(1)设投资额为SKIPIF1<0万元，SKIPIF1<0产品的利润为SKIPIF1<0万元，SKIPIF1<0产品的利润为SKIPIF1<0万元，由题设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由图可知SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0产品投入SKIPIF1<0万元，则SKIPIF1<0产品投入SKIPIF1<0万元，设企业的利润为SKIPIF1<0万元，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0产品投入3.75万元，SKIPIF1<0产品投入6.25万元，企业获得最大利润为SKIPIF1<0万元，即4.0625万元．20．（2022·上海静安·模拟预测）因函数SKIPIF1<0的图像形状象对勾，我们称形如“SKIPIF1<0”的函数为“对勾函数”．(1)证明对勾函数具有性质：在SKIPIF1<0上是减函数，在SKIPIF1<0上是增函数．(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用上述性质，求函数SKIPIF1<0的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数SKIPIF1<0和函数SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.(1)设SKIPIF1<0是任意两个实数，且任取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，所以对勾函数具有性质：在SKIPIF1<0上是减函数，在SKIPIF1<0上是增函数；(2)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由对勾函数的性质，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，在SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上可得，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0．(3)由（2）知SKIPIF1<0时，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，只需SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上有解即可，即SKIPIF1<0最小值，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，在SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．21．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间SKIPIF1<0上的两个函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0；(2)若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)由SKIPIF1<0，则二次函数的对称轴为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)SK