新高考数学一轮复习第3章 第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 精讲+精练（学生版）

第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离变量法高频考点二：分类讨论法高频考点三：等价转化法第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量SKIPIF1<0的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若SKIPIF1<0)对SKIPIF1<0恒成立，则只需SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则只需SKIPIF1<0．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)求解．3、等价转化法当遇到SKIPIF1<0型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数SKIPIF1<0或者“右减左”的函数SKIPIF1<0，进而只需满足SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二）设SKIPIF1<0为正实数，函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高二）若不等式SKIPIF1<0对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高二）已知函数SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离变量法1．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数SKIPIF1<0，若对任意两个不等的正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习）已知对SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的最小值是（

）A．e B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）SKIPIF1<01）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；SKIPIF1<02）不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的极值；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．7．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性与极值；(2)若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围.8．（2022·河南·三模（文））已知函数SKIPIF1<0（e是自然对数的底数），曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0.(1)求a，b的值；(2)若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求正实数m的取值范围.高频考点二：分类讨论法1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极值点，当SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数m的取值范围．2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调减区间；(2)若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)若SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0．(1)证明：对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．5．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围.6．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当x>1时，SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范围.高频考点三：等价转化法1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)讨论f（x）的单调性；(2)当a=1时，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求m的取值范围.2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0对一切正实数SKIPIF1<0都成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值；(2)当SKIPIF1<0时，若对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，求实数a、b的值；(2)若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.5．（2022·山东日照·高三期末）已知函数SKIPIF1<0，中SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0，对任意实数SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值.高频考点四：最值法1．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)若函数SKIPIF1<0的极小值为0，求实数m的值；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数m的取值范围．2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的最大值(2)若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的值3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)判断SKIPIF1<0的单调性；(2)若对SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.4．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0处都取得极值.(1)求a，b的值；(2)若对任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数c的取值范围.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数m的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的解析式；(2)若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.第四部分：高考真题感悟第四部分：高考真题感悟1．（2019·天津·高考真题（理））已知SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2020·海南·高考真题）已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范围．3．（2020·全国·高考真题（理））已知函数SKIPIF1<0.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥SKIPIF1<0x3+1，求a的取值范围.4．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）一、单选题1．（2022·河南南阳·高二期末（文））若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·高二）函数f(x)＝SKIPIF1<0x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是（

）A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全国·高二）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立．则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m，n为实数，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．28．（2022·宁夏中卫·一模（理））已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，e为自然对数的底数，若关于x的不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______．10．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______.11．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的最小值是________．12．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为SKI