新高考数学一轮复习第3章 第14讲 拓展七 极值点偏移问题 精讲（学生版）

第14讲拓展七：极值点偏移问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：不含参数的极值点偏移问题高频考点二：含参数的极值点偏移问题高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题第三部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、极值点偏移的含义函数SKIPIF1<0满足对于定义域内任意自变量SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称．可以理解为函数SKIPIF1<0在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若SKIPIF1<0为单峰函数，则SKIPIF1<0必为SKIPIF1<0的极值点，如图(1)所示，函数SKIPIF1<0图象的顶点的横坐标就是极值点SKIPIF1<0；①若SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则刚好满足SKIPIF1<0，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若SKIPIF1<0，则极值点偏移．若单峰函数SKIPIF1<0的极值点为SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0满足定义域SKIPIF1<0左侧的任意自变量SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0极值点SKIPIF1<0左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数SKIPIF1<0定义域内任意不同的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与极值点SKIPIF1<0必有确定的大小关系：若SKIPIF1<0，则称为极值点左偏如图（2）；若SKIPIF1<0，则称为极值点右偏如图（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为SKIPIF1<0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点SKIPIF1<0．(2)构造函数，即对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0，通过研究SKIPIF1<0的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论SKIPIF1<0的单调性．(5)比较大小，即判断函数SKIPIF1<0在某段区间上的正负，并得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令SKIPIF1<0.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用SKIPIF1<0表示)表示两个极值点，即SKIPIF1<0，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用SKIPIF1<0表示)表示两个极值点，即SKIPIF1<0，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题求解．2.4．对数均值不等式法两个正数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对数平均定义：SKIPIF1<0对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：SKIPIF1<0（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．2.5指数不等式法在对数均值不等式中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据对数均值不等式有如下关系：SKIPIF1<03、极值点偏移问题的类型（1）加法型（2）减法型（3）平方型（4）乘积型（5）商型第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析高频考点一：不含参数的极值点偏移问题①对称化构造法1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极值.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0有极值时，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）当SKIPIF1<0时，若在SKIPIF1<0定义域内存在两实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．（1）若函数SKIPIF1<0在定义域内单调递增，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若函数SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．4．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为自然对数的底数.（1）求函数SKIPIF1<0的单调区间和极值；（2）设方程SKIPIF1<0的两个根分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.②对数均值不等式法1．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0的两个不同零点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．高频考点二：含参数的极值点偏移问题①对称化构造法1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x－alnx(1)求函数f(x)的极值点；(2)若方程SKIPIF1<0有2个不等的实根SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的零点个数；(3)若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．(1)求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．4．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数）.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0有两个零点，求a的取值范围；（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0②利用韦达定理代换法令SKIPIF1<01．（2022·广东·珠海市第一中学高二阶段练习）函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求a的值；(2)若SKIPIF1<0有两个不相等的实数解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0.2．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在定义域上单调递增，求ab的最小值；(2)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有两个不同的实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．(1)SKIPIF1<0，研究函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，求整数SKIPIF1<0的最小值；(3)SKIPIF1<0，正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．5．（2022·江西·南昌十中高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.6．（2022·全国·高三专题练习）已知实数SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求正实数k的最大值．7．（2022·江苏江苏·高三期末）设f(x)＝xex－mx2，m∈R.(1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：x1＋x2＞2.③比值代换法1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（1）当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）若函数SKIPIF1<0恰有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0有两个相异零点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.4．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)设SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0.(3)若SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0的两个零点，求证：SKIPIF1<0.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（1）若SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数)，求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值；（2）若函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<07．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)设函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)设函数SKIPIF1<0的两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在定义域内单调递增，求SKIPIF1<0的最小值.(2)当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（SKIPIF1<0）的大小；（3）若函数f(x)有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试证明x1x2＞e2．3．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；（2）若SKIPIF1<0存在三个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求k的取值范围，并证明：SKIPIF1<0.4．（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0极值点的个数．(2)若SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，试判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；（2）存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKI