111112一次函数图像与直线方程直线的倾斜角斜率及其关系课件高二上学期数学北师大版选择性

1.1.1&1.1.2一次函数图像与直线方程直线的倾斜角、斜率及其关系

春风学校数学组课标要求：内容要求：1.结合图形掌握确定直线位置的几何要素（重点）

2.理解直线倾斜角和斜率的概念，能够用直线上两点求出直线的斜率（重点）

3.掌握直线的斜率与倾斜角的关系，直线的斜率与直线方向向量的关系（难点）学业要求：

会求直线的斜率，掌握倾斜角与直线斜率的关系.素养要求：数学运算能力、直观想象素养考情分析：1、考察形式：不单独出现，作为工具与圆锥曲线相结合.2、历年真题：2023全国甲，理8，文92023全国乙，理11，文122022全国乙，理5学习目标1.结合图形掌握确定直线位置的几何要素（重点）2.理解直线倾斜角和斜率的概念，能够用直线上两点求出直线的斜率（重点）3.掌握直线的斜率与倾斜角的关系，直线的斜率与直线方向向量的关系（难点）情景导入交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?阅读课本P2-7页内容（5分钟）然后合上课本，根据课本内容的理解，独自完成导学案“了解感知”内容

时间：4分钟

认真阅读课本内容，根据自己的理解，思考并完成导学案“深入学习”

时间:3分钟

完成导学案“迁移应用”：时间:3分钟自主预习：自查自纠

1：对学：前后桌一起，针对自主预习部分内容进行合作，解决个性问题，不会的问题做好标记，在组内进行讨论。（2分钟）

小组合作：2：组长组织，先对“自主预习”部分进行组内交流，针对于组员个性问题进行解答，并对组内共性问题进行讨论（3分钟）

一、直线的倾斜角

在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按______方向绕着交点旋转到和直线l__________所成的角,称为直线l的倾斜角.规定:当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为____.思考：倾斜角的范围？逆时针首次重合时0二、直线的斜率公式已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)．(1)直线P1P2的斜率公式是k＝________.(2)当直线P1P2垂直于x轴(即x1＝x2)时，直线的斜率________．(3)当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合(即y1＝y2)时，直线的斜率为________．不存在

0例1:求满足下列条件的直线的斜率（1）经过点A（2，-8），B（5,1）；（2）经过点C（0，2），D（2,-1）；（3）经过点M（-1，3），N（0,3）；

例2:已知直线l经过点A（-1,2），且斜率k=-2，判断B（1，-2），C（0,4），D（0,0）中，哪些点在直线上l上，哪些点不在直线上l.

思考：已知直线上两点，如何求直线的斜率？思考：同一条直线上任意不重合两点求出的斜率什么关系？问题2：如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？问题1：直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？k∈(－∞,＋∞)，α∈[0,π).而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有即k＝tanα.αα三、直线的斜率与倾斜角的关系如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当α=

时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.例3:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k.（1）若0≤α≤

，求斜率k的取值范围；（2）若

≤α≤

，求斜率k的取值范围；解:（1）由

及正切函数的性质，可得∴斜率k的取值范围是当

时，综上，斜率k的取值范围是{k|k≤-1或k≥1}.（2）由正切函数的性质，可得当

时，当

时，斜率k不存在.思考：直线的倾斜角和斜率之间满足什么函数关系？解:（3）由

，可得又0≤α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是例3:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k.（3）若

≤k≤

，求倾斜角α的取值范围；（4）若-1≤k≤

，求倾斜角α的取值范围.（4）由

，可得又0<α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是{α|0≤α≤

或

≤α<π}.例4:已知直线l1的倾斜角α=30°，且l2⊥l1，求直线l1和l2的斜率.解：依题意画图，由于直线山的倾斜角α=30°，于是，直线l1的斜率k1=tan30°=

，直线l2的斜率k2=tan120°=

.且l2⊥l1，则直线l2的倾斜角β=120°.思考：已知直线的倾斜角，如何求直线的斜率？1.直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tanα(其中

).2.斜率k与倾斜角α有如下关系：当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大.当α＝

时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.方法总结思考1：什么是直线的方向向量？如何求？直线上的向量及与之平行的非零向量称为直线的方向向量，当x1＝x2时，

＝(0，y2－y1)是垂直于x轴的直线的方向向量.则

＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.如果P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两个不同的点，三、直线的斜率与方向向量的关系1.在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量

是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量

之间的关系是2.若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝

思考2：直线的斜率与方向向量有何关系？例5:已知直线l的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标.解:设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(其中x1≠x2)为直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v=(x2－x1,y2－y1)．即y2－y1＝2(x2－x1).所以v=(x2－x1,y2－y1)=(x2－x1)(1,2).因此，(1,2)是直线l的一个方向向量的坐标.由经过两点的直线斜率的计算公式，可得思考：直线的方向向量和斜率之间什么关系解:设直线l的倾斜角为α．例6:根据下列条件，求直线l的倾斜角：(1)斜率为;(2)经过A(－2，0)，B(－5,3)两点；(3)一个方向向量为(1)∵直线l的斜率为

，∴tanα=又∵0≤α<π,∴(2)由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k=又∵0≤α<π,∴(3)由直线l的一个方向向量为可得斜率k=又∵0≤α<π,∴思考：直线的倾斜角和斜率之间有什么关系？

解析：由k＝tanα知k＝tan45°＝1，故选C.C当堂检测2．直线x＝2021的倾斜角为(

)A．90°B．0°C．180°D．45°A解析：因为直线x＝2021垂直于x轴，所以倾斜角为90°，故选A.3．已知过点A(a，2)，B(－1，4)的直线的斜率为－1，则a＝(

)A．－2B．－1C．1

D．2

C4．[多选题]已知直线l的斜率为2，则它的方向向量的坐标可能为(

)A．(1，2)B．(2，1)C．(－1，－2)D．(3，6)ACD解析：由题意知v＝(1，k)是它的一个方向向量，则A、C、D都可能为直