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文档简介

2025届北京海淀区高三压轴卷数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.等比数列的前项和为,若,,,,则()A. B. C. D.2.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()A.48 B.63 C.99 D.1203.若复数,其中为虚数单位,则下列结论正确的是()A.的虚部为 B. C.的共轭复数为 D.为纯虚数4.已知集合,集合,则A. B.或C. D.5.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c6.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知复数满足:,则的共轭复数为()A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图,当输出的时,则输入的的值为()A.-2 B.-1 C. D.10.已知,为两条不同直线,,,为三个不同平面,下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中正确命题序号为()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③11.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.已知集合,集合,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若幂函数的图象经过点,则其单调递减区间为_______.14.某校高三年级共有名学生参加了数学测验(满分分),已知这名学生的数学成绩均不低于分,将这名学生的数学成绩分组如下:,,,,,,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法中正确的是________(填序号).①;②这名学生中数学成绩在分以下的人数为;③这名学生数学成绩的中位数约为;④这名学生数学成绩的平均数为.15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P是上底面16.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款,则有________种不同的支付方式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若对任意恒成立,求的取值范围.18.(12分)已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形ABCD为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:(1)证明:平面平面ABC;(2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.19.(12分)设等比数列的前项和为,若(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在和之间插入个实数,使得这个数依次组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证:.20.(12分)已知数列的前项和和通项满足.(1)求数列的通项公式;(2)已知数列中,,,求数列的前项和.21.(12分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若函数的值域为A,且,求a的取值范围.22.(10分)已知,函数.(1)若,求的单调递增区间;(2)若,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析:由于在等比数列中,由可得:,又因为,所以有:是方程的二实根,又,,所以,故解得:,从而公比;那么,故选D.考点:等比数列.2、C【解析】

观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.【详解】解:观察各式发现规律,根号内分母为分子的平方减1所以故选:C.【点睛】本题考查了归纳推理,发现总结各式规律是关键,属于基础题.3、D【解析】

将复数整理为的形式,分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为,错误;,错误;,错误;,为纯虚数,正确本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识,属于基础题.4、C【解析】

由可得,解得或,所以或,又,所以,故选C.5、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【详解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小关系为b>c>a.故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6、C【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若,根据线面平行的性质定理,可得;若,根据线面平行的判定定理,可得.故选:C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理,属于基础题.7、C【解析】

化简复数为、的形式,可以确定对应的点位于的象限.【详解】解:复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.8、B【解析】

转化,为,利用复数的除法化简,即得解【详解】复数满足:所以故选:B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.9、B【解析】若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,符合题意;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;综上选B.10、C【解析】

根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若,,则,故①正确;若,,平面可能相交,故②错误;若,,则可能平行,故③错误;由线面垂直的性质可得,④正确;故选:C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.11、A【解析】

首先根据为上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.【详解】由于为上的减函数,则有,可得,所以当最小时,,函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,等价于函数与的图像有两个交点.画出函数的简图如下,而函数恒过定点,数形结合可得的取值范围为.故选:A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.12、D【解析】

可求出集合,,然后进行并集的运算即可.【详解】解:,;.故选.【点睛】考查描述法、区间的定义,对数函数的单调性,以及并集的运算.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求出的单调递减区间.【详解】解:幂函数的图象经过点,则,解得;所以,其中;所以的单调递减区间为.故答案为:.【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,属于基础题.14、②③【解析】

由频率分布直方图可知,解得,故①不正确;这名学生中数学成绩在分以下的人数为,故②正确;设这名学生数学成绩的中位数为,则,解得,故③正确;④这名学生数学成绩的平均数为,故④不正确.综上,说法正确的序号是②③.15、π.【解析】

设三棱锥P-ABC的外接球为球O',分别取AC、A1C1的中点O、O1,先确定球心O'在线段AC和A1C1中点的连线上,先求出球O【详解】如图所示,设三棱锥P-ABC的外接球为球O'分别取AC、A1C1的中点O、O1由于正方体ABCD-A则△ABC的外接圆的半径为OA=2设球O的半径为R,则4πR2=所以,OO则O而点P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,点P所构成的图形的面积为π×O【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题,根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹,属于中档题.16、1【解析】

按照个位上的9元的支付情况分类,三个数位上的钱数分步计算,相加即可.【详解】9元的支付有两种情况,或者,①当9元采用方式支付时,200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;②当9元采用方式支付时:200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;所以总的支付方式共有种.故答案为:1.【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于中档题.做题时注意分类做到不重不漏,分步做到步骤完整.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)通过讨论的范围,分为,,三种情形,分别求出不等式的解集即可;(2)通过分离参数思想问题转化为,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到的范围.【详解】(1)当时,原不等式等价于,解得,所以,当时,原不等式等价于,解得,所以此时不等式无解,当时,原不等式等价于,解得,所以综上所述,不等式解集为.(2)由,得,当时,恒成立,所以;当时,.因为当且仅当即或时,等号成立,所以;综上的取值范围是.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想,转化思想,属于中档题.18、(1)见解析(2)【解析】

(1)设的中点为,连接.由展开图可知,,.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,则平面,即可证得平面平面.(2)由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角,且,最大即为最短时,即是的中点建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.【详解】(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意,得,,.在中,,O为AC的中点,,在中,,,,,.,平面,平面ABC,平面PAC,平面平面ABC.(2)由(1)知,,,平面PAC,是直线BM与平面PAC所成的角,且,当OM最短时,即M是PA的中点时,最大.由平面ABC,,,,于是以OC,OB,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图示空间直角坐标系,则,,设平面MBC的法向量为,直线MA与平面MBC所成角为,则由得:.令,得,,即.则.直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.19、(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】

(Ⅰ),,两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出.(Ⅱ)由题设可得,可得,利用错位相减法即可得出.【详解】解:(Ⅰ)因为,故,两式相减可得,,故,因为是等比数列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由题设可得,所以,所以,①则,②①-②得:,所以,得证.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20、(1);(2)【解析】

(1)当时,利用可得,故可利用等比数列的通项公式求出的通项.(2)利用分组求和法可求数列的前项和.【详解】(1)当时,,所以,当时,,①,②所以,即,又因为,故,所以,所以是首项,公比为的等比数列,故.(2)由得:数列为等差数列,公差,,,.【点睛】本题考查数列的通项与求和,注意数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.21、(1)或(2)【解析】

(1)分类讨论去绝对值即可;(2)根据条件分a<﹣3和a≥﹣3两种情况,由[﹣2,1]⊆A建立关于a的不等式,然后求出a的取值范围.【详解】(1)当a=﹣1时,f(x)=|x+1|.∵f(x)≤|2x+1|﹣1,∴当x≤﹣1时,原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2,∴x≤﹣1;当时,原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2,∴x≤﹣1,此时不等式无解;当时,原不等式可化为x+1≤2x,∴x≥1,综上,原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.(2)当a<﹣3时,,∴函数g(x)的值域A={x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2,1]⊆A,∴,∴a≤﹣5;当a≥﹣3时,,∴函数g(x)的值域A={x|﹣a﹣3≤x≤3+

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