高等应用数学基础课件：线性方程组

线性方程组教学要求：掌握矩阵的运算,掌握初等行变换及其应用（求逆矩阵、矩阵的秩、以及求解方程组的解）.掌握向量的线性组合与线性表出的方法、求向量组的秩和矩阵的秩的方法、用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的情况、齐次线性方程组基础解和通解的求法、求非齐次线性方程组通解的方法.矩阵是什么？矩阵的应用如何？矩阵（数表）研究线性方程组矩阵及其运算地基毛坯室外室内5%/天5%/天5%/天5%/天100元/天80元/天150元/天70元/天1组2组地基105毛坯2010室外57室内53工程决算由m

n个数排m成n行列，并括

以方括号（或圆或弧）的数表行列称m行n列矩阵.记为：A=[aij]m

n或A矩阵定义Am×nm=1

A1×n

行矩阵n=1

Am×1

列矩阵元素全为零0

零矩阵n=mAn×n

方阵主对角线下方

的元素全为零上三角

矩阵主对角线上方

的元素全为零下三角

矩阵主对角线上的元

素全为1，其余的

元素全为零I

单位矩阵|A|矩阵的行列式线性方程组应用应用其他···特殊矩阵

若两个矩阵A=[aij]s×p,B=[bij]r×q,

且满足：s=r,p=q,

aij=bij,i,j=1,2,···,s;j=1,2,···,p,

则A=B相等运算解：由矩阵相等的定义

x=3,y=-2,z=2已知A=B,其中求x,y,z的值例题（矩阵相等）

设记为都是矩阵，矩阵为A与B的和。则称其中矩阵加法

设有矩阵A=(aij)m

n,C=kA

cij=(kaij),i=1,2,3,

,m,j=1,2,3,

,n数乘矩阵设有矩阵A=(aij)m

n,B=(bij)m

n,

C=(cij)m

n，

(1)(A+B)+C=A+(B+C)

(2)A+B=B+A

(3)A+0=0+A=A

(4)A+(-A)=(-A)+A=0

(5)k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA

(6)(kl)A=k(lA),1A=A性质1

设有矩阵A=(aij)mn,B=(bij)n

l,

则C=AB=(cij)ml

,其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+···+ainbnj说明:(1)左矩阵A的列数等于右矩阵B行数;

(2)cij为左矩阵A的第i行的元素与右矩阵B的第j列对应元素的乘积的和。矩阵的乘法矩阵的乘法一般不满足交换律！不满足交换律(1)(AB)C=A(BC)结合律

(2)A(B+C)=AB+AC

左分配律

(B+C)A=BA+CA

右分配律

(3)k(AB)=(kA)B对称矩阵的乘积矩阵不一定是对称矩阵性质2当且一般推不出

时矩阵的乘法一般不满足消去律！若AB=0,不能得出A=0或B=0若A为n阶方阵，则AkAl=Ak+l不满足消去律特殊的对角矩阵----数量矩阵数量矩阵行换成列--矩阵的转置矩阵的转置(1)(A+B)T=AT+BT

(2)(kA)T=kAT

(3)(AB)T=BTAT

(4)(AT)T=A性质3矩阵的初等行变换是指：（1）将矩阵的两行对换位置（2）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k加到另一行任何可逆矩阵均能经过初等行变换化为单位矩阵矩阵的初等行变换

第1、2行

交换位置第1行乘2

加到第2行第3行加

到第2行例题例用矩阵的初等行变换求矩阵的秩矩阵A矩阵的初等行变换阶梯矩阵秩(A)=非零行行数求矩阵的秩若AB=BA=I,则称矩阵A与B互逆。记为：A-1=B或B-1=A方阵A可逆的充分必要条件为A非奇异,即|A|

0,且A-1=|A|-1A*矩阵的逆例题（存在性）（1）(A-1)-1=A

（2）(kA)-1=k-1A-1

（3）(AB)-1=B-1A-1

（4）(AT)-1=(A-1)T

（5）设A、B为n方阵，若AB=I,

则A与B都可逆,且A-1=B,B-1=A性质4例用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵求逆矩阵方法作矩阵矩阵初等行变换Aij是A中去掉aij所在行所在列的元素剩下的元素按照原来的排列顺序组成的n-1阶行列式伴随矩阵设问：当a、b、c、d满足什么条件时，矩阵A可逆？当矩阵A可逆时，求A-1答案例题例设对角矩阵A=diag[abcd]，判别A是否可逆？当A可逆时，求A-1答案若A-1=AT,则称A为正交矩阵如若A为正交矩阵，则

AAT=ATA=I

AA-1=A-1A=I

|A|=1或-1正交矩阵

线性方程组高斯消元法基础解系解法设AX=0(秩(A)=r)的基础解系为X1,X2,···Xn-r,

AX=B的特解为X0,则AX=B的全部解为

X=X0+k1X1+k2

X2+···+kn-r

Xn-r线性方程组则矩阵方程高斯消元法高斯消元法其中CHIr解：

×(-1)+

×(-2)+

×(-1)+×(-1)+x3为自由未知量例1解非齐次线性方程组因x3为自由未知量，所以x3可取k用基础解系表示解解×(-3)+

×(-1)+

×(-2)+

×(-1)+

×(-1)+

(,)×(-1)+例2解齐次线性方程组×(1/2)

×(-2)+k1

、k2

为任意常数（1）对增广矩阵[A¦B](而不是系数矩阵A）进行初等行变换后的矩阵不能与前面的矩阵写等号“=”，而只能写箭头“”；（2）最后的矩阵一定要化成阶梯矩阵或行简化阶梯矩阵；（3）不要认为方程个数小于（大于）未知量个数的线性方程组一定有解（无解）用消元法解线性方程组应注意的问题：

n维向量:=(a1,a2,…,an)T线性组合：线性相关n维向量线性相关线性无关等价定义

（2）向量组（1）含有零向量的向量组必线性相关。组线性无关则向量若齐次线性方程组线性相关若齐次线性方程组有非零解，则向量组只有零解，结论（3）向量组（4）若n维向量的向量组中向量的个数超过n，则该向量组一定线性相关。设矩阵若则向量组线性无关若则向量组线性相关列向量（4）若n维向量的向量组中向量的个数超过n，则该向量组一定线性相关。（5）若向量组的一个部分组线性相关则整个向量组线性相关（6）向量组线性无关则向量组的一个部分组线性无关线性相关不全为0（1）线性无关单位向量例判断向量组的相关性证明：设即所以，向量组e1,e2,e3,e4线性无关

易证明任意一个四维向量均可由向量组e1,e2,e3,e4线性表出同样n维单位向量组e1,e2,e3,···,en线性无关

易证明任意一个n维向量均可由向量组e1,e2,e3,···,en线性表出(2)解：作矩阵每一个向量作成一列+可化为单位矩阵因为r=3=s,所以线性无关

极大无关组：若向量组S中的部分向量组S0满足:S0线性无关；S中的每一个向量都是S0中向量的线性组合。则称部分向量组为向量组的极大无关组.

性质：对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量的个数都相同。向量组中每一个向量由极大无关组向量线性表出的表达式是唯一的。向量组的秩：对于向量组S，其极大无关组所含向量个数称为向量组S的秩。用矩阵求向量组秩的方法：把向量作为矩阵的列构成一个矩阵，用初等变换将其化为阶梯阵，则非零行的数目即为向量组的秩，主元所在列对应的原来向量组即为极大无关组。极大无关组与向量组的秩例设向量组求向量组的秩及其一个极大无关组解作矩阵A初等行变换阶梯矩阵

1

，

2

，

4

为其中的一个极大无关组秩（

1

2

3

4

5）=3结论：（1）矩阵A的秩=矩阵A列向量组的秩=矩阵A行向量组的秩。（2）向量组中每一个向量由其极大无关组向量线性表出的表达式是唯一确定的。1.线性方程组的相容性AX=B

(A

0)有解

r(A)=r([A¦B])r(A)=n

唯一解r(A)<n

无穷多解无解

r(A)r([A¦B])AX=0只有零解

r(A)=n(m=n,|A|0)非零解

r(A)<n(m=n,|A|=0)线性方程组的相容性和解的结构②若齐次线性方程组AX=0的解向量组X1，X2

，X3，

，Xs

是AX=0的所有解向量组的一个极大无关组（基础解系），则齐次线性方程组AX=0的全部解为：k1X1+k2X2+···+ksXs①若X1和X2为齐次线性方程组AX=0的解，则k1X1+k2X2也是AX=0的解。③当A为m

n矩阵，秩(A)=r时，方程组AX=0的每一个基础解系含有n-r个解向量。若X1,X2,X3,,Xn-r为AX=0的一个基础解系，则AX=0的全部解为：k1X1+k2X2+···+kn-rXn-r齐次线性方程组AX=0有解的性质第一步，写出系数矩阵A；

第二步，对系数矩阵A施行初等行变换化为阶梯矩阵（行简化阶梯矩阵）；

第三步，写出同解方程组的一般解；

第四步，分别令自由元中一个为１其余为０的办法，求得n-r个解向量____基础解系。求齐次线性方程组AX=0基础解系方法

设X0是非齐次线性方程组AX=B的一个解,X1,X2,X3,,Xn-r为相应的齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则AX=B的通解为:

X0+k1X1+k2X2+···+kn-rXn-rK1,

k2,

···,kn-r为任意常数。非齐次线性方程组AX=B解的性质问

，

为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？例题1（无解、唯一解、无穷多解判别）解+

×(-2)++r(A)=2当=5时3当5时r([A¦B])=2当=5且=-3时3其他当=5而-3时，方程组无解当5时，方程组有唯一解当=5而=-3时，方程组有无穷多解设齐次线性方程组求其基础解系和通解例题2（求基础解系和通解）解系数矩阵A×2+

+

×(-3)+各个元素要准确！×(-2)+×(-1)+×(-1/5)阶梯矩阵×3+行简化阶梯矩阵单位矩阵对应的线性方程组为一般解x3,x4,x5为自由元令(

x3,x4,x5)=(5,0,0),得X1=(-4,7,5,0,0)T令(

x3,x4,x5)=(0,5,0),得X2=(1,-3,0,5,0)T令(

x3,x4,x5)=(0,0,5),得X3=(-11,-2,0,0,5)T这样令主要是使基础解系中得解向量为整数型该齐次线性方程组的一个基础解系为X1=(-4,7,5,0,0)T

X2=(1,-3,0,5,0)T

X3=(-11,-2,0,0,5)T全部解为X=k1X1+k2X2+k3X3=k1(-4,7,5,0,0)T+k2(1,-3,0,5,0)T+k3(-11,-2,0,0,5)Tk1,k2,k3为任意常数设非齐次线性方程组当a,b为何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有解时，求其解。此方程组称含参数的线性方程组例题3（含参数的线性方程组求解问题）解增广矩阵[A¦B](,)×(-a)+

×(-1)+(,)×(ab-1)/b

+(b0)(1)若b0,a=1且4b-2ab-10时,即b0,b1/2,a=1时,r(A)r([A¦B]),方程组无解当b=0时,原方程组中第2,3方程矛盾,方程组无解(2)若b0,a1时,r(A)=r([A¦B])=3=n,方程组有唯一解，且解为(3)若b0,a=1且4b-2ab-1=0时,即a=1,b=1/2时，r(A)=r([A¦B])=2<3=n,方程组有无穷多解，这时通解为X=(2,2,0)T+k(-1,0,1)T(k为任意常数)

为何值时，下列非齐次线性方程组有解？有解时求出它的通解例题4（含参数的线性方程组求解问题）解（1）增广矩阵[A¦B]

当=0时，线性方程组有解，一般解为x3,x4

为自由元令(x3,x4)=(0,0)得X0=(3/5,1/5,0,0)T（2）对应得齐次线性方程组的同解线性方程组为取消非齐次线性方程组的一般解中的常数项得到x3,x4

为自由元令(x3,x4)=(5,0)得X1=(-7,1,5,0)T令(x3