高等应用数学基础课件：随机事件及概率

第8章随机事件及概率教学要求:掌握随机事件的运算、概率的加法公式和乘法公式、条件概率和全概公式、二项概型.熟悉事件独立性概念、古典概型的条件,会求解较简单的古典概型问题.事物确定因素随机因素不确定因素微积分理论

概率数理统计线性

代数模糊

数学三大因素与数学现象必然现象：必然发生的现象。如同性相斥随机现象：随时都发生，也可能不发生的现象。如抽一件商品检查结果为次品。试验E：研究随机现象的统计规律而进行的各种试验或观察统计

规律样本空间U每一个可能发生的结果（基本事件）随机事件：可能发生也可能不发生的事件A必然事件：在一定条件下必定发生的事件

不可能事件：在一定条件下绝对不发生的事件

事件间的关系UBA包含:A

BUBA和事件:A+B包含、和事件UBA积事件:ABUBA差事件:A-B积事件、差事件UBAA与B互不相容

AB=UA

逆事件

非A互不相容、逆事件交换律结合律分配律摩根律事件的运算性质例设A、B、C为三个事件，试用A、B、C分别表示下列事件：（1）

A、B、C中至少有一个发生一个发生二个发生三个发生事件的描述（2）

A、B、C中只有一个发生（3）

A、B、C中至多有一个发生一个发生一个都未发生（4）

A、B、C中至少有两个发生二个发生三个发生（5）

A、B、C中不多于两个发生同（3）

概率:表达随机事件A发生的可能性的大小的数值P(A),称为事件A的概率。任意事件A:0

P(A)1,P(

)=0,P(U)=1

A

B

P(A)

P(B),A=B

P(A)=P(B)

AB=

P(A+B)=P(A)+P(B)

B

A

P(A-B)=P(A)-P(B)事件的概率及性质若基本事件组A1,A2,···,An

满足：（1）等概性（2）完全性（3）两两互斥则称A1,A2,···,An为等概基本事件组，若n为有限数，则称此概率模型为古典概型。若则古典概型定义

例110个灯泡中有3个次品，现从中任取4个，求至少有2个次品的概率。解：设B={取出的4个灯泡中至少有2个次品}

A1={取出的4个灯泡中恰有2个次品}

A3={取出的4个灯泡中恰有3个次品}

因B=A1+A2

且A1A2=,所以，

P(B)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)10个灯泡中任取4个，没有顺序，应是组合数分两步，第1步3个次品中取2个；第2步7个正品中取2个

例2将张三、李四、王五三个等可能地分配到三间房中去，试求每一个房间恰有一人的概率。

解：首先将张三分配到三间房中的任意一间去，有3种分法；然后将李四分配到三间房中的任意一间去，也有3种分法；最后分王五，仍有3种分法。由乘法原理，共有3×3×3=33种分法。

设A={每个房间恰有一人}，首先分张三，有3种分法；再分李四时，只有两间空房，故只有2种分法；最后一间空房分给王五，只有1种分法，由乘法原理，共有3×2×1=3！种分法。于是

解：首先将张三分配到三间房中的任意一间去，有3种分法；然后将李四分配到三间房中的任意一间去，也有3种分法；最后分王五，仍有3种分法。由乘法原理，共有3×3×3=33种分法。

设A={每个房间恰有一人}，首先分张三，有3种分法；再分李四时，只有两间空房，故只有2种分法；最后一间空房分给王五，只有1种分法，由乘法原理，共有3×2×1=3！种分法。于是概率的运算及法则B发生的条件下A发生加法乘法全概率A与B

独立对于任意两个集合A、B，有UBA证明：因A+B=A+(B-AB)且A(B-AB)=,

又AB

B,

所以,P(B-AB)=P(B)-P(AB)

从而,P(A+B)=P(A)+P(B-AB)

=P(A)+

P(B)-P(AB)加法公式及应用例掷两个均匀骰子,设A表示“第一个骰子出现奇数”,B表示“第二个骰子出现偶数”,求P(A+B)36

999一等品3件二等品4件次品3件例110件产品中，有次品3件，7件正品中有一等品3件、2等品4件，如图求从10件中任取1件为一等品的概率？条件概率和乘法公式条件概率：事件B发生的条件下，事件A发生的概率P(A|B)UBA乘法公式现在我们来解前例设：A={取到一等品}，B={取到正品}，则求从10件中任取1件为一等品的概率为P(A|B)例2已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次，每次抽取1件，求下列事件的概率：（1）第一次取到次品，第二次取到正品；100件正品96件次

品

4

件（3）两次抽取中恰有一

次取到正品。（2）两次都取到正品：例2已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次，每次抽取1件，求下列事件的概率：（3）两次抽取中恰有一

次取到正品。设：A={第一次取到次品}，B={第二次取到正品}第一次取走1件次品，剩下只有99件（1）（2）第一次取走1件正品，剩下只有95件正品（3）两次抽取中恰有一次取到正品，即是说：第一次取到次品而第二次取到正品（AB），或第一次取到正品而第二次取到次品（）两次抽取中恰有一次取到正品，即是说：第一次取到次品而第二次取到正品（AB），或第一次取到正品而第二次取到次品（）理解：某一事件A发生有各种可能的原因Ai，如果A是原因Ai所引起的，则A发生的概率与P(AAi)有关，且等于它们的总和。“全”就是“总和”的意思。设A1+A2+···+An=U,AiAj=,A

U,则

P(A)=P(Ai)P(A|Ai)全概率公式例某厂有四条流水线生产同一产品，该四条流水线的产量外别占产量的15%,20%,30%,35%,各流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02从出厂

产品中随机拙取一件，求此产品为次品的概率是多少?P(A1)

=15%P(A2)=20%P(A3)=30%P(A4)=40%A1A2A3A4解设A={任取一件产品为次品},Ai={任取一件产品是第条流水线生产的产品},

(i=1,2,3,4)独立重复n次每次投中的概率每次未投

中的概率n次试验投中k次的概率结果只有中

A或未中贝努里概型例某种产品的次品率为5％，现从大批该产品中抽出